Trigonometrische Funktionen/Einfluss von a: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM-Unterrichten
K (Kilian Schoeller verschob die Seite Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss von a nach Trigonometrische Funktionen/Einfluss von a, ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen) |
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
(6 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
__NOTOC__ | |||
===FAQ=== | ===FAQ=== | ||
[[Trigonometrische_Funktionen | [[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]] | ||
===Einfluss von a=== | ===Einfluss von a=== | ||
{| | Wir betrachten nun den Einfluss von <math> a </math> in | ||
| | |||
{{ | :<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math>. | ||
{{Box|1=Aufgabe A1|2= | |||
<ggb_applet height="450" width="900" id="yye6hqbw" /> <br> | |||
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> a </math> ändern. <br> | |||
# Stelle den Schieberegler auf <math> a = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br> | |||
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> a = 3 </math> und <math> a = -1 </math> sowie <math> a = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. <br> | |||
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Box|1=Merke|2= | |||
Man erhält den Graph der Funktion | |||
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math> | |||
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>y</math>-Achse. Genauer: | |||
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>a</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> a </math> gestreckt. | |||
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>a</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> a </math> gestaucht. | |||
* <span style="background-color:yellow;"> Falls <math> a </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>x</math>-Achse gespiegelt. | |||
Der Betrag von <math> a </math> wird auch als Amplitude bezeichnet.|3=Merksatz}} | |||
</span> | |||
[[Bild:N_sin_a.jpg|center]] | |||
[[Bild:N_sin_a-.jpg|center]] | |||
}} | |||
{{Box|1=Aufgabe A2|2= | |||
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen! | Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen! | ||
}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
| | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig. | |||
Eine mögliche formale Begründung: | |||
<math>a\cdot \sin x = 0</math> mit <math>a\neq 0</math> | |||
<math>\Leftrightarrow \sin x = 0</math> | |||
d.h. die Nullstellen bleiben gleich. Ferner wird jeder Funktionswert mit dem gleichen Faktor multipliziert. Ist der Betrag dieses Faktors größer als 1, so wird der Graph in Richtung der y-Achse um diesen Faktor gestreckt, ist er kleiner als 1, so wird er entsprechend gestaucht. Ist der Faktor negativ, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.}} | |||
{{Box|1=Aufgabe A3|2= | |||
{{ | |||
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen! | Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen! | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
} | } | ||
| <math> | | <math>a<-1; </math> | <math> -1<a<0; </math> | <math> 0<a<1; </math> | <math> 1<a</math> | ||
---- Verschiebung nach oben | ---- Verschiebung nach oben | ||
Zeile 47: | Zeile 61: | ||
---- Verschiebung nach rechts | ---- Verschiebung nach rechts | ||
---- Verschiebung nach links | ---- Verschiebung nach links | ||
---- Streckung in <math> | ---- Streckung in <math> x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz | ||
---- Stauchung in <math> | ---- Stauchung in <math> x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz | ||
+--+ Streckung in <math> | +--+ Streckung in <math> y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude | ||
-++- Stauchung in <math> | -++- Stauchung in <math> y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude | ||
++-- Spiegelung an <math> | ++-- Spiegelung an <math> x </math>- Achse | ||
</quiz> | </quiz> | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
Nun betrachten wir den Einfluss von <math> a </math> in | |||
:<math> x \rightarrow a\cdot \cos x </math>. | |||
{{Box|1=Aufgabe A4|2= | |||
<ggb_applet height="450" width="900" id="k8rxjyxa" /> <br> | |||
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe A1 noch einmal für <math>cos</math>. | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
[[ | Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> a </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion. | ||
[[Bild:N_cos_a.jpg|center]] | |||
}} | |||
---- | ---- | ||
Zeile 88: | Zeile 95: | ||
---- | ---- | ||
{{Fortsetzung|weiter=Zurück zu Station 1: Einfluss der Parameter|weiterlink=Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter}} | |||
[[Kategorie:Interaktive Übung]] | |||
[[Kategorie:GeoGebra]] |
Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:27 Uhr
FAQ
Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.
Einfluss von a
Wir betrachten nun den Einfluss von in
- .
Aufgabe A1
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
- Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von ändern.
- Stelle den Schieberegler auf ein. Wie ändert sich der Graph?
- Überlege dir, wie sich die Werte und sowie auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
- Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
Merke
Man erhält den Graph der Funktion
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der -Achse. Genauer:
- Ist der Betrag von größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in -Richtung mit dem Faktor Betrag von gestreckt.
- Ist der Betrag von kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in -Richtung mit dem Faktor Betrag von gestaucht.
- Falls negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der -Achse gespiegelt.
Aufgabe A2
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.
Eine mögliche formale Begründung:
mit
d.h. die Nullstellen bleiben gleich. Ferner wird jeder Funktionswert mit dem gleichen Faktor multipliziert. Ist der Betrag dieses Faktors größer als 1, so wird der Graph in Richtung der y-Achse um diesen Faktor gestreckt, ist er kleiner als 1, so wird er entsprechend gestaucht. Ist der Faktor negativ, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
Aufgabe A3
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
Nun betrachten wir den Einfluss von in
- .
Aufgabe A4
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe A1 noch einmal für .
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe A1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!