Flächen und Volumina/Kreisumfang

Info

Auf dieser Seite erkundest du den Umfang eines Kreises, erfährst was der Kreis mit der Zahl π zu tun hat und lernst, wie man diesen berechnet.

Erste Erkundungen

Jannis und Paula überlegen, wie sie den Umfang eines Kreises berechnen können.

Aufgabe 1

Beschreibe Jannis und Paulas Ideen in eigenen Worten. Zeichne einen Kreis mit einem Radius von 5cm in dein Heft. Berechne den Kreisumfang näherungsweise mit beiden Vorgehensweisen. Benenne Vor- und Nachteile von Jannis' und Paulas Methode.

Welche erste Abschätzung für den Kreisumfang lässt sich aus den beiden Vorgehensweisen erkennen? Kreuze alle richtigen Antwortmöglichkeiten an.

Der Umfang ist größer als (1x Durchmesser) (2x der Durchmesser) (3x der Durchmesser) (!4x der Durchmesser)

Der Umfang ist kleiner als (!1x der Durchmesser) (!2x der Durchmesser) (!3x der Durchmesser) (4x der Durchmesser)

Forscherauftrag

Kreise begegnen uns vielfach im Alltag. Suche dir mindestens fünf kreisrunde Gegenstände. Bestimme den Durchmesser und den Umfang dieser Gegenstände, indem du geeignete Messinstrumente verwendest (z.B. Lineal, Faden, Maßband).

Halte deine Ergebnisse in einer Tabelle fest.

Gegenstand	Durchmesser d (in cm)	Umfang U (in cm)
...	...	...

Erkundung

Betrachte die Messergebnisse in der Tabelle. Kannst du eine Regelmäßigkeit erkennen?

Untersuche, welcher Zusammenhang zwischen dem Durchmesser d und dem Umfang U des Kreises besteht. Notiere deine Vermutungen.

Pia hat folgende Messergebnisse. Sie schaut sich das Verhältnis von Umfang und Durchmesser $\frac{U}{d}$ an und ergänzt ihre Tabelle.

Welches Muster lässt sich hier erkennen? Überprüfe deine Vermutung an deinen eigenen Messwerten.

Überprüfe deine Vermutung mithilfe des Applets. Du kannst die Genauigkeit deiner Messungen kontrollieren und weitere Daten sammeln. Sollte das Applet nicht richtig laden, klicke [1].

Der Kreisumfang

Merke

Der Umfang U eines Kreises ist ungefähr dreimal so groß wie sein Durchmesser d. Genauer beschreibt die Kreiszahl $\pi\approx 3,14$ das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser: Für einen Kreis mit dem Radius $r$ und dem Durchmesser $d=2r$ gilt

$U= d \cdot \pi = 2 \cdot r \cdot \pi$.

Ergänze deinen Regelhefteintrag um eine Skizze und ein Beispiel.

Aufgabe 2

Berechne den Kreisumfang. Runde auf zwei Nachkommastellen.

1. Der Radius des Kreises beträgt $r=3$cm.
2. Der Radius des Kreises beträgt $r=5$mm.
3. Der Radius des Kreises beträgt $d=12$cm.
4. Der Radius des Kreises beträgt $d=8$m.

Lösungen:

1. $U=2\cdot 3cm \cdot \pi \approx 18,85cm$
2. $U=2\cdot 5mm \cdot \pi \approx 31,42mm$
3. $U=12cm \cdot \pi \approx 37,7cm$
4. $U=8m \cdot \pi \approx 25,13cm$

Aufgabe 3

Bestimme die Länge der Strecke, die ein Fahrrad mit einem 26-Zoll-Reifen bei einer Radumdrehung zurück legt.

Hinweis: 1 Zoll entspricht 2,54cm

Der Raddurchmesser beträgt 26 und damit 66,04 cm. Es gilt $U= 66,04 cm \cdot \pi \approx 207,47 cm$.

Mit einer Umdrehung legt das Fahrrad 207,47 cm zurück.

Die Kreisfläche erkunden