Quelltext der Seite Einführung in die Automatentheorie/2. Stunde

{{Einführung in die Automatentheorie}}
==Zustände und Übergänge==

Automaten kann man sich als eine Art "Maschine" vorstellen, die stur einem festgelegtem Schema folgt, so wie zum Beispiel eine Kaffeemaschine. Eine Kaffeemaschine kann sich in verschiedenen Zuständen befinden (warten, Kaffe kochen, Kaffee warm halten). Das festgelegte Schema sagt ihr, dass sie, wenn sie angeschaltet wird, Kaffee kochen soll. Wenn sie damit fertig ist, soll sie den Kaffee warm halten, solange, bis sie ausgeschaltet wird.

Im Allgemeinen haben alle Automaten ein solches festes vorgegebenes Schema wie eine Kaffeemaschine.


Wie wir bereits gesehen haben, setzt sich ein Automat aus Zuständen und Übergängen zusammen. Ein festgelegtes Schema gibt vor, wann ein Automat von einem Zustand in einen anderen übergeht.


{{Definition|Zu jedem Zeitpunkt befindet sich ein Automat in genau einem '''Zustand'''. '''Übergänge''' werden anhand einer '''Übergangsfunktion''' beschrieben. Eine Übergangsfunktion gibt an, mit welchem Zeichen von einem bestimmten Zustand in einen anderen gewechselt werden kann.}}
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Schauen wir uns hierzu nochmal den Parkscheinautomat an.

[[Datei:Zeichnungen_4.jpeg|600px]]

Beschriften wir die Zustände und Übergänge ein wenig anders, sieht das ganze so aus: 

[[Datei:Zeichnungen_6.jpeg|600px]]

Dieser Automat hat folgende Zustände:

* z<sub>0</sub>: Der Automat wartet auf eine Eingabe. '''Wartezustnd'''

* z<sub>1</sub>: Der Automat merkt sich, wie viel Geld eingeworfen wurde.

* z<sub>2</sub>: Der Automat druckt das Parkticket und gibt es aus.

Außerdem hat der Automat folgende Übergänge:

* v<sub>1</sub>: Geld wird eingeworfen.<br> => Der Automat wechselt von z<sub>0</sub> nach z<sub>1</sub>.

* v<sub>2</sub>: Es wird mehr Geld eingeworfen. <br> => Der Automat bleibt in z<sub>1</sub> und zählt die Minuten.

* v<sub>3</sub>: Der Knopf "Parkschein ausgeben" wird gedrückt. <br> => Der Automat wechselt in z<sub>2</sub>.

* v<sub>4</sub>: Der Parkschein wird entnommen. <br> => Der Automat wechselt zurück in den Zustand z<sub>0</sub>.

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Diese Abstraktion hat den Vorteil, dass nun eine gewisse Vergleichbarkeit mit anderen Automaten geschaffen wird und so generelle Aussagen und allgemeine Betrachtungen möglich sind.


{{Aufgaben|1=2.1|2=

Eine einfache Supermarktkasse funktioniert folgendermaßen:<br>

* Wird ein Preis eingegeben, addiert die Kasse diesem zum Gesamtpreis.

* Drückt jemand auf die Taste "Kassieren", wird der Gesamtpreis angezeigt und die Geldlade geöffnet.

* Wird die Geldlade geschlossen, wartet die Kasse darauf, dass erneut ein Preis eingegeben wird. 
[[Datei:Zeichnungen_6.jpeg|300px]]
<br>
Ordne die verschiedenen Zustände der Kasse und die Aktionen des Kassenbetreibers den Zuständen und Übergängen der Skizze zu.<br>
}}
<div class="zuordnungs-quiz">

{| 
| z<sub>0</sub> || Die Kasse wartet auf die Eingabe eines Preises  
|-
| z<sub>1</sub> || Ein Preis wurde eingegeben || und der Knopf "Kassieren" wurde allerdings noch nicht gedrückt
|-
| z<sub>2</sub> || Der Gesamtpreis wird angezeigt || und die Geldlade ist geöffnet       
|-
| v<sub>1</sub> || Der erste Preis eines Artikels wird eingegeben
|-
| v<sub>2</sub> || Ein weiterer Preis wird eingeben
|-
| v<sub>3</sub> || Der Knopf "Kassieren" wird gedrückt
|-
| v<sub>4</sub> || Die Geldlade wird geschlossen
|}

</div>

==Besondere Zustände==
Auf den Zustand mit dem Startpfeil sind wir ja schon eingegangen, dieser Zustand heißt '''Startzustand'''. 

Jeder andere Zustand hat noch einen anderen "besonderen" Zustand, einen '''Endzustand'''. der Endzustand wird im Allgemeinen durch einen doppelten Kreis gekennzeichnet. '''Ein Automat''' kann auch '''mehrere''' Endzustände haben. Dazu aber später mehr.

In unserem Beispiel ist der Startzustand gleich dem Endzustand.

[[Datei:Zeichnungen_7.jpeg|300px]]

==Eingaben==
Ein Automat reagiert auf Aktionen. So wechselt der Parkscheinautomat zum Beispiel beim Einwurf von einer Geldmünze den Zustand. Eine Folge von Aktionen wird '''Eingabe''' genannt. So ist z.B. [20 ct - 10ct - 10ct - 20ct - Tickettaste drücken - Ticket entnehmen] eine Eingabe.

Ein Automat verarbeitet eine Eingabe, indem er die einzelnen Aktionen der Reihe nach betrachtet und entsprechend reagiert. 

'''Reagieren''' heißt hier: 

Der Automat sucht einen Übergang, der vom aktuellen Zustand ausgeht und mit der Aktion, die an der Reihe ist, beschriftet ist.
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Eingaben können unterschiedlich aussehen, es können sowohl Folgen von Zahlen, Wörtern, Zeichen oder Buchstaben sein. Bei realen Automaten sind dies Knöpfe, Münzen, Auswahltasten usw.

Um Automaten strukturiert und übersichtlich darstellen zu können, verwendet man oft Kürzel an den Übergängen. Diese Standardisierung ermöglicht uns außerdem die Analyse der Eigenschaften von Automaten.
<br><br>

{{Aufgaben|1=2.2|2=
Betrachte folgenden Automaten. 

[[Datei:Zeichnungen_8.jpeg|300px]]

Fülle den Lückentext aus.
<div class="lueckentext-quiz">
Start bei '''z0'''.<br />
Wechsel von '''z0''' nach '''z2''' mit '''c'''.<br />
Wechsel von '''z2''' nach '''z3''' mit '''a'''.<br />
Der Automat bleibt im Zustand '''z3''' mit '''a'''.<br />
Nach der Eingabe '''caa''' befindet sich der Automat also in Zustand '''z3'''.<br /><br />
Die Eingabe bbb hingegen kann der Automat nicht verarbeiten, da es vom Zustand '''z2''' aus keinen Übergang gibt, der mit '''b''' markiert ist.
</div>

}}


{{Aufgaben|1=2.3|2=
Betrachte den Automaten aus Aufgabe 2.2. 

Gegeben sind verschiedene Eingaben. Setze in die entsprechenden Lücken die passenden Zustände ein (z.B. "z0-z1-z2" oder schreibe "kein Endzustand". Du must deine Antwort genau so eingeben wie hier im Beispiel, nur ohne die Anführungszeichen).

<quiz>
{ Fülle die Lücken!
| type="{}" }
bbaaa { z0-z1-z2-z3-z3-z3 } <br>
aa { z0-z3-z3 }<br>
aab { kein Endzustand }<br>
caaaa { z0-z2-z3-z3-z3-z3 }
</quiz>

}}


Wie bereits erwähnt, können Eingaben sehr unterschiedlich sein. Deswegen ist es nötig, zu jedem Automaten anzugeben, aus welchen "Buchstaben" die "Sprache" besteht, die er versteht.

Die Menge dieser "Buchstaben" wird '''Eingabealphabet''' genannt. So ist das Eingabealphabet des Automaten aus dem Beispiel oben {a,b,c}.

Das Eingabealphabet muss natürlich nicht aus wirklichen Buchstaben bestehen, es kann genauso aus den ganzen Wörtern, Sätzen oder Zahlen bestehen.<br><br>

{{Definition|Das '''Eingabealphabet''' eines Automaten, ist die Menge an Zeichen, Wörtern oder Symbolen, auf die der Automat reagieren kann.}}
<br><br>

==Übungsaufgaben==
{{Aufgaben|1=2.4|2=
<quiz>
{ Fülle folgenden Lückentest aus!
| type="{}" }
Ein Automat setzt sich aus { Zuständen } und { Übergängen } zusammen. Dabei hat jeder Automat zwei besondere Zustände: Einen { Startzustand } und mindestens einen { Endzustand }. Der Startzustand wird stets mit einem { Pfeil } gekennzeichnet. Die Endzustände werden durch einen { doppelten Kreis } markiert. 

Ein festgelegtes Schema gibt vor, wann ein Automat von einem { Zustand } in einen anderen { Zustand } übergeht. Allgemein sagt man, dass der Automat eine { Eingabe } aus dem { Eingabealphabet } verarbeitet. </quiz>

}}

{{Aufgaben|1=2.5|2=
Versuche einen Lachautomaten mit dem Eingabealphabet {h,a} zu konstruieren, der nur die Eingaben '''ha''', '''haha''', '''hahaha''' usw. akzeptiert.

}}

{{Aufgaben|1=2.6|2=
Versuche einen Automaten mit dem Eingabealphabet {a,b} zu konstruieren, der nur die Eingaben '''aaab''', '''aaabaaab''', '''aaabaaabaaab''' usw. akzeptiert.

}}



{{Fortsetzung|weiter=weiter mit der 3. Stunde|weiterlink=Einführung in die Automatentheorie/3. Stunde}}
{{Einführung in die Automatentheorie}}