Quelltext der Seite Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale Änderungsrate

{{Navigation verstecken|{{Vorlage:Lernpfad-Navigation|* Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff<br />[[Das Funktionsmikroskop]]}}
|Navigation anzeigen |Navigation verbergen }}
==Porsche==
Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion ... beschreiben.

[[Datei:Porsche Weg Zeit Kurve.png|mini|alternativtext=|450x450px]]

:{| class="wikitable"
!'''Zeit (Sekunden)'''!!Strecke (Meter)
|-
|0||0
|-
|1||4,7
|-
|2||19,6
|-
|3||45,9
|-
|4||84,8
|-
|5||137,5
|-
|6||205,2
|-
|7
|289,1
|-
|8
|390,4
|-
|9
|510,3
|}

==Mittlere Änderungsrate==
Überlegen sie zunächst welcher physikalischen Größe die [[mittleren Änderungsrate]] in diesem Beispiel zuzuordnen ist und wie man diese berechnet. Notieren Sie Ihre Lösung in ihrem Heft. 

:
{{Box|Aufgabe 1|Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.

a) zwischen Sekunde 1 und 2 <br /> b) zwischen Sekunde 2 und 3 <br /> c) zwischen Sekunde 3 und 4 <br /> d) Notiere deine Schätzung zu welchem Zeitpunkt der Porsche 100 km/h erreicht hat.<br />
Überprüfe deine Ergebnisse in folgendem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.

{{Lösung versteckt|<ggb_applet height="750" width="900" showmenubar="true" showreseticon="true" id="ceu9yjy3" />}}|Arbeitsmethode
}}

<br />

==Momentane Änderungsrate==
{{Box|Aufgabe 2|Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinere dieses. Nutzen Sie hierzu die folgende Tabelle. <br /> a) Verkleinern Sie das Intervall mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest. <br /> b) Schätzen Sie die Geschwindigkeit des Porsches nach 3 Sekunden und begründe Sie Ihre Schätzung.
<ggb_applet id="fmzb7fjd" width="90%" height="400" border="888888">Weg - Zeit - Kurve Porsche </ggb_applet> 
c) Führe die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in diesem Applet durch.<br /> Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halte dies schriftlich fest.<br /> d) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden? <br />
e) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?|Arbeitsmethode
}}{{Box|Tangente|Die Geraden, die durch den Punkt P(x0{{!}}f(x0)) verläuft und die gleiche Steigung wie der Graph von f an dieser Stelle hat, nennt man Tangente.|Merksatz
}}

==Der Differentialquotient==
{{Box|Aufgabe 3|a) Schauen Sie sich die Aufgaben zur Intervallverkleinerungen aus Aufgabe 2 erneut an. Notieren Sie wie man die Verkleinerung des Intervalls Differenzenquotienten ausdrücken könnte. Das Ergebnis des neuen Quotienten soll die Steigung der Tangente sein. Hilfe einbauen! 
|Arbeitsmethode
}}