Potenzfunktionen - 3. Stufe

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Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n IN

Funktionsgraph kennenlernen

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Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

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Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit ,

Wegen nennt man diese Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also ID = IR+0

Im Falle nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:


Im Falle nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: bzw. .


Beispiel: Quadratwurzeln

Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge über den Satz des Pythagoras () zu:

Die Lösung ist ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.


Auch die Länge der Raumdiagonale im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: ) zu:

Die Lösung ist also angeben.

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge ergibt sich über:

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen durch ziehen der 3.-Wurzel:

Einfluss von Parametern

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*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

Einschränkung auf IR+0

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung:

Wegen

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reelle Zahlen ein, also:

mit und

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

.

Dann gilt: IDg = IR.