Arithmico/Arithmico Online-Anleitung/Wertetabellen und das Lösen von Gleichungen

5 Wertetabelle

table(f, u?, v?, w?)

gibt zu der Funktion f eine Wertetabelle mit Wertepaaren

[x; f (x)]

für x-Werte aus dem Intervall

[u; v]

aus. Dabei gibt w die Schrittweite der x-Werte an. Wenn die optionalen Parameter u, v und w nicht angegeben werden, gelten für sie die Vorgabewerte u=-10, v=10 und w=1.

Beispiel 5.1 Wertetabelle für $f (x) = x^{2}$

Gib für die Funktion $f (x) = x^{2}$ eine Wertetabelle für die x-Werte aus dem Intervall $[- 2; 3]$ mit der Schrittweite 1 aus.

Eingabe: f(x):=x^2

Ausgabe: (x: any) → x^2

Eingabe: table(f; -2; 3; 1)

Ausgabe: [[-2; 4]; [-1; 1]; [0; 0]; [1; 1]; [2; 4]; [3; 9]]

oder kurz:

Eingabe: table(x->x^2; -2; 3)

Ausgabe: [[-2; 4]; [-1; 1]; [0; 0]; [1; 1]; [2; 4]; [3; 9]]

6 Gleichung mit einer Unbekannten lösen

nsolve(u; v?; w?)

bestimmt alle Lösungen der Gleichung u im Intervall

[v; w]

. Wenn die Untergrenze v und die Obergrenze w nicht angegeben werden, werden die Lösungen im Intervall

[- 20; 20]

bestimmt.
Diejenige Variable, nach der die Gleichung u aufgelöst werden soll, darf vorher noch nicht mit dem Zuweisungsoperator := definiert und mit einem festen Wert belegt worden sein. Gegebenenfalls müssen vorab die bisherigen Definitionen über die Schaltfläche "Definitionen" gelöscht werden.

6.1 Lineare Gleichung ohne Intervallangabe lösen

Beispiel 6.1.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $3 x - 5 = x + 7$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Eingabe: nsolve(3*x -5 = x +7)

Ausgabe: [6]

6.2 Quadratischen Gleichung ohne Intervallangabe

Beispiel 6.2.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $2 x^{2} + 4 x - 30 = 0$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Eingabe: nsolve(2*x^2 +4*x -30 =0)

Ausgabe: [-5; 3]

Die Gleichung besitzt zwei Lösungen: $x_{1} = - 5$ und $x_{2} = 3$

Beispiel 6.2.2 Berechne die Lösungen der Gleichung $x^{2} + 0, 25 = x$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Eingabe: nsolve(x^2 +0,25 =x)

Ausgabe: [0,5]

Die Gleichung besitzt nur die eine Lösung: $x = 0, 5$ .

Beispiel 6.2.3 Berechne die Lösungen der Gleichung $x^{2} = - 4$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Eingabe: nsolve(x^2 =-4)

Ausgabe: []

Für die Gleichung gibt es keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer.

6.3 Kubische Gleichung ohne Intervallangabe

Beispiel 6.3.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $x^{3} + x^{2} - 17 x + 15 = 0$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Eingabe: nsolve(x^3 +x^2 -17*x +15 =0)

Ausgabe: [-5; 1; 3]

6.4 Lösen einer Gleichung mit Intervallangabe

Beispiel 6.4.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $x - 1 = 20$ mit nsolve zunächst ohne explizite Intervallangabe.

Eingabe: nsolve(x-1 = 20)

Ausgabe: []

Die Lösung $x = 21$ liegt außerhalb des Standardintervalls $[- 20; 20]$ . Daher wird hier die leere Menge als Lösungsmenge angezeigt.

Beispiel 6.4.2 Berechne die Lösungen der Gleichung $x - 1 = 20$ im Intervall $[0; 30]$ .

Eingabe: nsolve(x -1 =20; 0; 30)

Ausgabe: [21]

Die Lösung $x = 21$ liegt jetzt innerhalb des angegebenen Intervalls $[0; 30]$ .

6.5 Nullstellen der Sinusfunktion im Intervall [0; 7]

Beispiel 6.5.1 Berechne die Nullstellen der Standard-Sinus-Funktion $\sin (x)$ im Intervall $[0; 7]$ . (x-Werte im Bogenmaß)

Eingabe: nsolve(sin(x)=0; 0; 7)

Ausgabe: [0; 3,14159; 6,28319]

Die Nullstellen im Intervall $[0; 7]$ lauten 0, $π$ und $2 π$ .

6.6 Nullstellen einer Exponentialfunktion

Beispiel 6.6.1 Berechne die Nullstellen der Funktion $f (x) = (x^{2} - 2 x) \cdot e^{0, 5 x}$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Eingabe: nsolve((x^2 -2*x)*e^(0,5*x)=0)

Ausgabe: [0; 2]

6.7 Lösungen einer Exponentialgleichung

Beispiel 6.7.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $10 e^{0, 1 t} = 50 - 40 e^{- 0, 1 t}$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Die Variable t darf vorher noch nicht definiert worden sein!

Eingabe: nsolve(10*e^(0,1*t) = 50-40*e^(-0,1*t))

Ausgabe: [0; 13,86294]

6.8 Nullstellen einer rationalen Funktion

Beispiel 6.8.1 Berechne die Nullstellen der Funktion $f (x) = \frac{(x + 2)^{2}}{x - 1}$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Eingabe: nsolve((x+2)^2/(x-1)=0)

Ausgabe: [-2]

7 Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen

lsolve(u; v; ...)

löst ein System von linearen Gleichungen mit den Gleichungen u, v, ... Die Anzahl der Gleichungen muss mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen.

7.1 LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

Beispiel 7.1.1 Löse das LGS

I: $x + y = 5$
II: $2 x - y = 1$

Eingabe: lsolve(x+y=5; 2*x-y=1)

Ausgabe: [x = 2; y = 3]

7.2 LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten

Beispiel 7.2.1 Löse das LGS

I: $z + y + x = 4$
II: $2 x + 2 z = y - 1$
III: $x = z + 3$

Eingabe: lsolve(z+y+x=4; 2*x+2*z=y-1; x=z+3)

Ausgabe: [z = -1; y = 3; x = 2]

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5 Wertetabelle

Beispiel 5.1 Wertetabelle für $f (x) = x^{2}$

6 Gleichung mit einer Unbekannten lösen

6.1 Lineare Gleichung ohne Intervallangabe lösen

Beispiel 6.1.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $3 x - 5 = x + 7$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

6.2 Quadratischen Gleichung ohne Intervallangabe

Beispiel 6.2.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $2 x^{2} + 4 x - 30 = 0$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Beispiel 6.2.2 Berechne die Lösungen der Gleichung $x^{2} + 0, 25 = x$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Beispiel 6.2.3 Berechne die Lösungen der Gleichung $x^{2} = - 4$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

6.3 Kubische Gleichung ohne Intervallangabe

Beispiel 6.3.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $x^{3} + x^{2} - 17 x + 15 = 0$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

6.4 Lösen einer Gleichung mit Intervallangabe

Beispiel 6.4.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $x - 1 = 20$ mit nsolve zunächst ohne explizite Intervallangabe.

Beispiel 6.4.2 Berechne die Lösungen der Gleichung $x - 1 = 20$ im Intervall $[0; 30]$ .

6.5 Nullstellen der Sinusfunktion im Intervall [0; 7]

Beispiel 6.5.1 Berechne die Nullstellen der Standard-Sinus-Funktion $\sin (x)$ im Intervall $[0; 7]$ . (x-Werte im Bogenmaß)

6.6 Nullstellen einer Exponentialfunktion

Beispiel 6.6.1 Berechne die Nullstellen der Funktion $f (x) = (x^{2} - 2 x) \cdot e^{0, 5 x}$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

6.7 Lösungen einer Exponentialgleichung

Beispiel 6.7.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $10 e^{0, 1 t} = 50 - 40 e^{- 0, 1 t}$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

6.8 Nullstellen einer rationalen Funktion

Beispiel 6.8.1 Berechne die Nullstellen der Funktion $f (x) = \frac{(x + 2)^{2}}{x - 1}$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

7 Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen

7.1 LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

Beispiel 7.1.1 Löse das LGS

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Beispiel 7.2.1 Löse das LGS

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5 Wertetabelle

Beispiel 5.1 Wertetabelle für f(x)=x2

6 Gleichung mit einer Unbekannten lösen

6.1 Lineare Gleichung ohne Intervallangabe lösen

Beispiel 6.1.1 Berechne die Lösungen der Gleichung 3x−5=x+7 im Intervall [−20;20].

6.2 Quadratischen Gleichung ohne Intervallangabe

Beispiel 6.2.1 Berechne die Lösungen der Gleichung 2x2+4x−30=0 im Intervall [−20;20].

Beispiel 6.2.2 Berechne die Lösungen der Gleichung x2+0,25=x im Intervall [−20;20].

Beispiel 6.2.3 Berechne die Lösungen der Gleichung x2=−4 im Intervall [−20;20].

6.3 Kubische Gleichung ohne Intervallangabe

Beispiel 6.3.1 Berechne die Lösungen der Gleichung x3+x2−17x+15=0 im Intervall [−20;20].

6.4 Lösen einer Gleichung mit Intervallangabe

Beispiel 6.4.1 Berechne die Lösungen der Gleichung x−1=20 mit nsolve zunächst ohne explizite Intervallangabe.

Beispiel 6.4.2 Berechne die Lösungen der Gleichung x−1=20 im Intervall [0;30].

6.5 Nullstellen der Sinusfunktion im Intervall [0; 7]

Beispiel 6.5.1 Berechne die Nullstellen der Standard-Sinus-Funktion sin⁡(x) im Intervall [0;7]. (x-Werte im Bogenmaß)

6.6 Nullstellen einer Exponentialfunktion

Beispiel 6.6.1 Berechne die Nullstellen der Funktion f(x)=(x2−2x)⋅e0,5x im Intervall [−20;20].

6.7 Lösungen einer Exponentialgleichung

Beispiel 6.7.1 Berechne die Lösungen der Gleichung 10e0,1t=50−40e−0,1t im Intervall [−20;20].

6.8 Nullstellen einer rationalen Funktion

Beispiel 6.8.1 Berechne die Nullstellen der Funktion f(x)=(x+2)2x−1 im Intervall [−20;20].

7 Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen

7.1 LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

Beispiel 7.1.1 Löse das LGS

7.2 LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten

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Beispiel 5.1 Wertetabelle für $f (x) = x^{2}$

Beispiel 6.1.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $3 x - 5 = x + 7$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Beispiel 6.2.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $2 x^{2} + 4 x - 30 = 0$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Beispiel 6.2.2 Berechne die Lösungen der Gleichung $x^{2} + 0, 25 = x$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Beispiel 6.2.3 Berechne die Lösungen der Gleichung $x^{2} = - 4$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Beispiel 6.3.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $x^{3} + x^{2} - 17 x + 15 = 0$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Beispiel 6.4.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $x - 1 = 20$ mit nsolve zunächst ohne explizite Intervallangabe.

Beispiel 6.4.2 Berechne die Lösungen der Gleichung $x - 1 = 20$ im Intervall $[0; 30]$ .

Beispiel 6.5.1 Berechne die Nullstellen der Standard-Sinus-Funktion $\sin (x)$ im Intervall $[0; 7]$ . (x-Werte im Bogenmaß)

Beispiel 6.6.1 Berechne die Nullstellen der Funktion $f (x) = (x^{2} - 2 x) \cdot e^{0, 5 x}$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Beispiel 6.7.1 Berechne die Lösungen der Gleichung $10 e^{0, 1 t} = 50 - 40 e^{- 0, 1 t}$ im Intervall $[- 20; 20]$ .

Beispiel 6.8.1 Berechne die Nullstellen der Funktion $f (x) = \frac{(x + 2)^{2}}{x - 1}$ im Intervall $[- 20; 20]$ .