Zylinder Pyramide Kegel/Der Satz von Cavalieri: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM-Unterrichten
Main>Karl Kirst
(Arbeiten -> Aufgaben)
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
 
(19 dazwischenliegende Versionen von 4 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
{{Lernpfad Inhalt und Drumherum}}
{{Navigation verstecken
 
|{{Lernpfad Inhalt}}
|Lernschritte einblenden
|Lernschritte ausblenden
}}
__NOTOC__
==Zur Person==
==Zur Person==
{|
|width=220px|[[Datei:Bonaventura Cavalieri.jpeg|200px]]


|width=350px| Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.
[[Datei:Bonaventura Cavalieri.jpeg|200px|right]]
Im "Satz von Cavalieri" (auch "Prinzip von Cavalieri" genannt) geht es um die Volumengleichheit zweier Körper.
<br><br>
|}
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) war ein <br>
italienischer Mathematiker und Astronom. <br>
Im "Satz von Cavalieri" (auch "Prinzip von Cavalieri" genannt) <br>
geht es um die Volumengleichheit zweier Körper.
<br><br>




=='''Erarbeitung des Satzes von Cavalieri'''==
=='''Erarbeitung des Satzes von Cavalieri'''==
<br>


{|
 
|width=220px|
[[Datei:Zylinder_gerade_geschwungen.jpg|180px]]
|width=500px|
Peter: "Gib mir das rechte Glas, da passt mehr rein! Ich hab so einen Durst!"<br>
Peter: "Gib mir das rechte Glas, da passt mehr rein! Ich hab so einen Durst!"<br>


Sandra: "So ein Quatsch! In die Gläser passt doch gleich viel!"
Sandra: "So ein Quatsch! In die Gläser passt doch gleich viel!"


|}
<br>
[[Datei:Zylinder_gerade_geschwungen.jpg|180px|center]]
 
<br><br>
<br><br>


{{Aufgaben|1=1|2=
{{Box|1=Wer hat nun Recht?|2=
<u>'''Wer hat nun Recht?'''</u>
<br><br>
Um diese Frage zu beantworten, musst du wissen, welche Kriterien zwei Körper erfüllen müssen, damit sie das gleiche Volumen besitzen!<br>
Um diese Frage zu beantworten, musst du wissen, welche Kriterien zwei Körper erfüllen müssen, damit sie das gleiche Volumen besitzen!<br>


<span style="color:red">'''Arbeite diese Kriterien mit Hilfe der folgenden beiden Geogebra-Applets heraus und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Volumina auf deinem Laufzettel!'''</span>
Arbeite diese Kriterien mit Hilfe der folgenden beiden Geogebra-Applets heraus und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Volumina auf deinem Laufzettel!
}}
 
'''Zusätzliches Anschauungsmaterial zum Anfassen:'''<br>
Wenn es dir schwer fällt, dir das Ganze richtig vorzustellen, nimm dir vorne am Pult zwei der Bierdeckelstapel und stelle die einzelnen Situationen damit nach.
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
'''Volumenvergleich von Zylindern 1 '''
 
*Ziehe an dem grünen Punkt, um den Grundflächeninhalt des zweiten Zylinders zu verändern. 
*Ziehe an dem roten Punkt, um die Höhe des dritten Zylinders zu verändern.


{{Achtung|1= '''Zusätzliches Anschauungsmaterial zum Anfassen:'''<br>
<ggb_applet id="mpQGZVpe" width="100%" height="450" border="888888" />
Wenn es dir schwer fällt, dir das Ganze richtig vorzustellen, nimm dir vorne am Pult zwei der Bierdeckelstapel und stelle die einzelnen Situationen damit nach.}}
<br>


[https://ggbm.at/mpQGZVpe GeoGebra Applet "Volumenvergleich von Zylindern (1) + (2)"]


<br>
<br>
'''Volumenvergleich von Zylindern 2'''
*Welche der Zylinder besitzen das gleiche Volumen? Begründe deine Antwort! Nutze dazu die beweglichen Elemente!
<ggb_applet id="W9hf8qwn" width="100%" height="450" border="888888" />


[https://ggbm.at/W9hf8qwn GeoGebra Applet "Volumenvergleich von Zylindern (3)"]


<br>
<br>


<span style="color:blue">'''Zurück zur Ausgangsfrage:'''</span> <br>
'''Zurück zur Ausgangsfrage:'''Wer hat nun Recht? Peter oder Sandra? Begründe deine Antwort!


'''Wer hat nun Recht? Peter oder Sandra? Begründe deine Antwort!'''
<br><br><br><br>


{{Aufgaben|1=2|2=
<u>'''Verallgemeinerung der Erkenntnisse'''</u> <br>


{{Box|1=Verallgemeinerung der Erkenntnisse'|2=
Es ist relativ leicht nachzuvollziehen, dass die Kriterien, die du für die Volumengleichheit von Zylindern herausgearbeitet hast, auch für andere volumengleiche Körper (z.B. Prismen) gelten müssen. <br>
Es ist relativ leicht nachzuvollziehen, dass die Kriterien, die du für die Volumengleichheit von Zylindern herausgearbeitet hast, auch für andere volumengleiche Körper (z.B. Prismen) gelten müssen. <br>
'''Fasse deine gewonnenen Erkenntnisse zusammen und formuliere eine allgemeine Regel: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn für sie gilt ...'''
'''Fasse deine gewonnenen Erkenntnisse zusammen und formuliere eine allgemeine Regel: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn für sie gilt ...'''
}}
 
:{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Du hast gerade Sachverhalte herausgearbeitet, welche Bonaventura Cavalieri in seinem berühmten (grundlegenden) Satz formuliert hat. Du kannst den Satz in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf S. 22 oder Fokus Mathematik, Ausgabe 2016 auf S. 44 nachlesen und deine Aufzeichnungen - wenn nötig - ergänzen oder berichtigen!
Du hast gerade Sachverhalte herausgearbeitet, welche Bonaventura Cavalieri in seinem berühmten (grundlegenden) Satz formuliert hat. Du kannst den Satz in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf S. 22 oder Fokus Mathematik, Ausgabe 2016 auf S. 44 nachlesen und deine Aufzeichnungen - wenn nötig - ergänzen oder berichtigen!
}}
}}
<br><br>
|3=Arbeitsmethode}}


{{Aufgaben|1=3|2=
<u>'''Was ist bei unterschiedlichen Grundflächen?'''</u> <br>


{{Box|1=Was ist bei unterschiedlichen Grundflächen?|2=
Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.<br>
Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.<br>
Gilt der Satz von Cavalieri auch für Körper mit unterschiedlicher Grundflächenform? Untersuche dies mit Hilfe des folgenden Geogebra-Applets und '''begründe''' deine Antwort!
Gilt der Satz von Cavalieri auch für Körper mit unterschiedlicher Grundflächenform? Untersuche dies mit Hilfe des folgenden Geogebra-Applets und '''begründe''' deine Antwort!
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
'''Volumenvergleich von Prismen mit unterschiedlicher Grundflächenform'''


<br>
<ggb_applet id="r6yKgffu" width="100%" height="450" border="888888" />
[https://ggbm.at/r6yKgffu GeoGebra Applet "Volumenvergleich von Prismen mit unterschiedlicher Grundflächenform"]


<br><br>
*Nutze die beweglichen Elemente!
*Durch Ziehen an dem orangenen Punkt kannst du auch das dreiseitige gerade Prisma in ein dreiseitiges schiefes Prisma überführen.
{{Lösung versteckt|1=Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächen'''inhalt''' an!<br>
{{Lösung versteckt|1=Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächen'''inhalt''' an!<br>
Bsp.: Ein Prisma mit quadratischer Grundflächen und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche haben das gleiche Volumen, wenn ihre '''Grundflächeninhalte''', ihre '''Höhe''' und die zur Grundfläche parallelen '''Schnittflächen''' in gleicher Höhe gleich groß sind.}}
Bsp.: Ein Prisma mit quadratischer Grundflächen und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche haben das gleiche Volumen, wenn ihre '''Grundflächeninhalte''', ihre '''Höhe''' und die zur Grundfläche parallelen '''Schnittflächen''' in gleicher Höhe gleich groß sind.}}
<br><br><br>
 


=='''Übungsaufgaben'''==
=='''Übungsaufgaben'''==
<br>
{{Box|1=Aufgabe|2=
 
{{Aufgaben|1=4|2=


Berechne die Volumina der beiden Körper und gib das Ergebnis in Kubikdezimeter an! <br><br>
Berechne die Volumina der beiden Körper und gib das Ergebnis in Kubikdezimeter an! <br><br>
a)[[Datei:Schiefes_Prisma_Maße.jpg|200px]] b) [[Datei:Geschwungener_Zylinder_Maße.jpg|180px]]
a)[[Datei:Schiefes_Prisma_Maße.jpg|200px]] b) [[Datei:Geschwungener_Zylinder_Maße.jpg|180px]]
}}
{{Lösung versteckt|1= Das schiefe Prisma besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechtes Prisma mit den angegebenen Maßen. Also: <math>V=27000cm^{3}=27dm^{3}</math> <br>
{{Lösung versteckt|1= Das schiefe Prisma besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechtes Prisma mit den angegebenen Maßen. Also: <math>V=27000cm^{3}=27dm^{3}</math> <br>
Der geschwungene Zylinder besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechter Zylinder mit den angegebenen Maßen. Also: <math>V\approx 1696,46cm^{3}\approx 1,7dm^{3}</math> <br>
Der geschwungene Zylinder besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechter Zylinder mit den angegebenen Maßen. Also: <math>V\approx 1696,46cm^{3}\approx 1,7dm^{3}</math> <br>
<span style="color:red">'''Zu deiner Lösung gehört auch der Rechenweg!'''</span>
<span style="color:red">'''Zu deiner Lösung gehört auch der Rechenweg!'''</span>
}}
}}
<br><br>
|3=Üben}}
 


{{Aufgaben|1=5|2=
{{Box|1=Hausaufgabe für nächste Stunde|2=
'''Hausaufgabe für nächste Stunde'''<br><br>
Bearbeite in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) die Aufgaben Nr. 2 und Nr. 4 auf Seite 22.<br>
Bearbeite in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) die Aufgaben Nr. 2 und Nr. 4 auf Seite 22.<br>
Wenn du noch ein paar Minuten Zeit hast (und es sich somit nicht lohnt, mit der neuen Lerneinheit noch zu beginnen), kannst du die Aufgaben auch in der Stunde schon anfangen!
Wenn du noch ein paar Minuten Zeit hast (und es sich somit nicht lohnt, mit der neuen Lerneinheit noch zu beginnen), kannst du die Aufgaben auch in der Stunde schon anfangen!
<br>
{{Lösung versteckt|1= Zur Bearbeitung von Nr. 2 hilft dir eventuell die Beispielaufgabe auf Seite 22.
{{Hinweis versteckt|1= Zur Bearbeitung von Nr. 2 hilft dir eventuell die Beispielaufgabe auf Seite 22.}}
|2=Hinweis anzeigen|3=Hinweis einblenden}}
 
'''Zeige die Lösungen deiner Lehrerin.'''
'''Zeige die Lösungen deiner Lehrerin.'''
}}
|3=Üben}}
<br>
 
 
{{Fortsetzung|weiter=Rund um die Pyramide|weiterlink=../Rund_um_die_Pyramide}}
 
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 15:37 Uhr

Zur Person

Bonaventura Cavalieri.jpeg



Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) war ein
italienischer Mathematiker und Astronom.
Im "Satz von Cavalieri" (auch "Prinzip von Cavalieri" genannt)
geht es um die Volumengleichheit zweier Körper.


Erarbeitung des Satzes von Cavalieri

Peter: "Gib mir das rechte Glas, da passt mehr rein! Ich hab so einen Durst!"

Sandra: "So ein Quatsch! In die Gläser passt doch gleich viel!"


Zylinder gerade geschwungen.jpg




Wer hat nun Recht?

Um diese Frage zu beantworten, musst du wissen, welche Kriterien zwei Körper erfüllen müssen, damit sie das gleiche Volumen besitzen!

Arbeite diese Kriterien mit Hilfe der folgenden beiden Geogebra-Applets heraus und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Volumina auf deinem Laufzettel!

Zusätzliches Anschauungsmaterial zum Anfassen:

Wenn es dir schwer fällt, dir das Ganze richtig vorzustellen, nimm dir vorne am Pult zwei der Bierdeckelstapel und stelle die einzelnen Situationen damit nach.


Volumenvergleich von Zylindern 1

  • Ziehe an dem grünen Punkt, um den Grundflächeninhalt des zweiten Zylinders zu verändern.
  • Ziehe an dem roten Punkt, um die Höhe des dritten Zylinders zu verändern.
GeoGebra



Volumenvergleich von Zylindern 2

  • Welche der Zylinder besitzen das gleiche Volumen? Begründe deine Antwort! Nutze dazu die beweglichen Elemente!
GeoGebra



Zurück zur Ausgangsfrage:Wer hat nun Recht? Peter oder Sandra? Begründe deine Antwort!



Verallgemeinerung der Erkenntnisse'

Es ist relativ leicht nachzuvollziehen, dass die Kriterien, die du für die Volumengleichheit von Zylindern herausgearbeitet hast, auch für andere volumengleiche Körper (z.B. Prismen) gelten müssen.
Fasse deine gewonnenen Erkenntnisse zusammen und formuliere eine allgemeine Regel: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn für sie gilt ...

Du hast gerade Sachverhalte herausgearbeitet, welche Bonaventura Cavalieri in seinem berühmten (grundlegenden) Satz formuliert hat. Du kannst den Satz in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf S. 22 oder Fokus Mathematik, Ausgabe 2016 auf S. 44 nachlesen und deine Aufzeichnungen - wenn nötig - ergänzen oder berichtigen!


Was ist bei unterschiedlichen Grundflächen?

Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.

Gilt der Satz von Cavalieri auch für Körper mit unterschiedlicher Grundflächenform? Untersuche dies mit Hilfe des folgenden Geogebra-Applets und begründe deine Antwort!

Volumenvergleich von Prismen mit unterschiedlicher Grundflächenform

GeoGebra
  • Nutze die beweglichen Elemente!
  • Durch Ziehen an dem orangenen Punkt kannst du auch das dreiseitige gerade Prisma in ein dreiseitiges schiefes Prisma überführen.

Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächeninhalt an!

Bsp.: Ein Prisma mit quadratischer Grundflächen und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche haben das gleiche Volumen, wenn ihre Grundflächeninhalte, ihre Höhe und die zur Grundfläche parallelen Schnittflächen in gleicher Höhe gleich groß sind.


Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die Volumina der beiden Körper und gib das Ergebnis in Kubikdezimeter an!

a)Schiefes Prisma Maße.jpg b) Geschwungener Zylinder Maße.jpg

Das schiefe Prisma besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechtes Prisma mit den angegebenen Maßen. Also:
Der geschwungene Zylinder besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechter Zylinder mit den angegebenen Maßen. Also:

Zu deiner Lösung gehört auch der Rechenweg!


Hausaufgabe für nächste Stunde

Bearbeite in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) die Aufgaben Nr. 2 und Nr. 4 auf Seite 22.
Wenn du noch ein paar Minuten Zeit hast (und es sich somit nicht lohnt, mit der neuen Lerneinheit noch zu beginnen), kannst du die Aufgaben auch in der Stunde schon anfangen!

Zur Bearbeitung von Nr. 2 hilft dir eventuell die Beispielaufgabe auf Seite 22.
Zeige die Lösungen deiner Lehrerin.