Zentrische Streckung/Vierstreckensatz: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:01 Uhr

Lernpfad: Vierstreckensatz

In diesem Lernpfad durchläufst du 5 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:

1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung
2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung
3. Station: Zweiter Vierstreckensatz
4. Station: Zusammenfassung
5. Station: Übung

1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung

Zoll ist eine Längeneinheit, die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.
Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden.
Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:

die algebraische Berechnung
oder die geometrische.

Als Beispiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15-Zoll-Laptop.

Finde heraus wie du die Aufgabe algebraisch lösen kannst:

Aufgabe

Gegeben: Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.

Gesucht: Umrechnung von 15 Zoll in cm.

Lösung: Berechne in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!

(Bitte mach ein Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit.)

15 Zoll entsprechen 38,1 cm (Tipp: Berechne mit Hilfe des Dreisatzes).

Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe geometrisch lösen kannst.

Aufgabe

Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden die Längen 1 cm und 15 cm ab! Benenne die Endpunkte der Strecken mit $A$ und $B$
Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B
Schritt: Trage in $Z$ die Strecke $[ZA']$ mit $\overline{ZA'} = 2,54\ cm$ ab
Schritt: Zeichne eine Parallele durch $A'$ zu $[AB]$
Schritt: Benenne Schnittpunkt mit $B'$
Schritt: Miss $\overline{ZB'}$ ab

Die Rechnung, die dahinter steckt:

Vorausgesetzt wird, dass die Gerade ${A'B'}$ zu ${AB}$ parallel ist. Das Dreieck ${A'ZB'}$ kann somit als das Bild des Dreiecks $AZB$ (Urbild) mit dem Streckungszentrum $Z$ aufgefasst werden. Der Punkt $A$ wurde also auf den Punkt $A'$ und Punkt $B$ wurde auf Punkt $B'$ abgebildet.

Aus dem vorherigen Lernpfad wissen wir, dass das Längenverhältnis von Strecken bei einer zentrischen Streckung, wegen der
Eigenschaft der Längenverhältnistreue, gleich ist.

Aufgabe

Was bedeutet dies? Eine kleine Wiederholung kann nicht schaden. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:

$\overline{ZA'}$ = $\mid k \mid \cdot \overline{ZA}$ $\mathit{und}$ $\overline{ZB'} =$ $\mid k \mid \cdot \overline{ZB}$
Aufgelöst nach $\mid k \mid$ :
$\mid k \mid =$ ${\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}$ $\mathit{und}$ $\mid k \mid$ $= {\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}$
Gleichsetzen: ${\overline{ZA'}\over\overline{ZA}} =$ ${\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}$
Einsetzen der Werte ergibt:
${{2,54\ cm}\over{1\ Zoll}} =$ ${x} \over {15\ Zoll}$ $\Rightarrow x = 38,1\ cm$

Merke

Die Formel sagt aus, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten wie die Abschnitte auf der anderen Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den ersten Vierstreckensatz. In unserem Beispiel wurden die Schenkel betrachtet, deshalb wird es auch die Schenkellösung genannt.

Weiter zur 2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung

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-__NOTOC__
+{{Lernpfad
-{{Lernpfad-M|
+| Titel = Vierstreckensatz
-===Vierstreckensatz===
+| Bild = [[Bild:Porzelt_Vierstreckensatz.jpg]]
+|
+In diesem Lernpfad durchläufst du 5 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:
+* 1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung
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+* [[/4.Station|4. Station: Zusammenfassung]]
+* [[/5.Station|5. Station: Übung]]
 }}
-<br>
-[[Bild:Porzelt_Vierstreckensatz.jpg|center]]
-<br>
 ==1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung==
-[[Bild:Porzelt_Laptop.jpg]]
+[[Bild:Porzelt_Laptop.jpg]]<br>
-:'''Zoll''' ist eine '''Längeneinheit''' die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.
+'''Zoll''' ist eine '''Längeneinheit''', die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern. <br>
-:Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden.
+Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden. <br>
-:Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:
+Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:<br>
-:*die algebraische Berechnung
-:*oder die geometrische.
+*die algebraische Berechnung<br>
-:Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15 Zoll Laptop.
+*oder die geometrische.<br>
+Als Beispiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15-Zoll-Laptop.<br>
 <br>
-*Finde heraus wie du die Aufgabe '''algebraisch''' lösen kannst:
-::'''Gegeben''': Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.
+*Finde heraus wie du die Aufgabe '''algebraisch''' lösen kannst:
-::'''Gesucht''': Umrechnung von 15 Zoll in cm.
+{{Aufgabe|1=
-::'''Lösung''': Berechne in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!
+:'''Gegeben''': Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.
-::::(Bitte mach ein Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit.)
+:'''Gesucht''': Umrechnung von 15 Zoll in cm.
+:'''Lösung''': Berechne in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!
+:::(Bitte mach ein Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit.)
 <div class="lueckentext-quiz">
 Zoll entsprechen '''38,1 cm (Tipp:  Berechne mit Hilfe des Dreisatzes)'''.
 </div>
-<br>
+}}
-<br>
-<br>
+*Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe '''geometrisch''' lösen kannst.
+{{Aufgabe|1=
+# Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden die Längen 1 cm und 15 cm ab! Benenne die Endpunkte der Strecken mit <math>A</math> und <math>B</math>
+# Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B
+# Schritt: Trage in <math>Z</math> die Strecke <math>[ZA']</math> mit <math>\overline{ZA'} = 2,54\ cm</math> ab
+# Schritt: Zeichne eine Parallele durch <math>A'</math> zu <math>[AB]</math>
+# Schritt: Benenne Schnittpunkt mit <math>B'</math>
+# Schritt: Miss <math>\overline{ZB'}</math> ab
+{{TODO
+| Hier fehlt die Geogebra Datei Porzelt_geometrisch.ggb
+|<ggb_applet height="300" width="950" showResetIcon="true" filename="Porzelt_geometrisch.ggb" />
+}}
+}}
+====Die Rechnung, die dahinter steckt:====
+Vorausgesetzt wird, dass die Gerade '''<math>{A'B'}</math> zu <math>{AB}</math> parallel''' ist. Das '''Dreieck <math>{A'ZB'}</math>''' kann somit als das '''Bild''' des '''Dreiecks <math>AZB</math> (Urbild)''' mit dem Streckungszentrum <math>Z</math> aufgefasst werden. Der Punkt <math>A</math> wurde also '''auf''' den Punkt <math>A'</math> und Punkt <math>B</math> wurde '''auf''' Punkt <math>B'</math> abgebildet.
+Aus dem vorherigen Lernpfad wissen wir, dass das '''Längenverhältnis von Strecken''' bei einer zentrischen Streckung, wegen der <br>Eigenschaft der '''Längenverhältnistreue''', '''gleich''' ist.
-*Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe '''geometrisch''' lösen kannst.
+{{Aufgabe
-<br>
+|1=
-<div style="border: 2px solid #9c9c9c; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+'''Was bedeutet dies?''' Eine kleine Wiederholung kann nicht schaden. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:
-'''Klicke die Schritte nacheinander an:'''<br>
-. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden <br>
-:die Längen 1 cm und 15 cm ab. Benenne die Endpunkte der Strecken mit A und B. <br>
-. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B.<br>
-. Schritt: Trage in Z die Strecke [ZA'] mit <span style="text-decoration: overline;">ZA'</span> = 2,54 cm ab. <br>
-. Schritt: Zeichne eine Parallele durch A' zu [AB].<br>
-. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit B'. <br>
-. Schritt: Miss <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> ab.
-<ggb_applet height="300" width="950" showResetIcon="true" filename="Porzelt_geometrisch.ggb" />
-</div>
-<br>
-:'''Die Rechnung die dahinter steckt:'''
-:Vorrausgesetzt wird dass die Gerade '''A'B' zu AB parallel''' ist. Das '''Dreieck A'ZB'''' kann somit als das '''Bild''' des '''Dreiecks AZB (Urbild)'''
-:mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt '''A''' wurde also '''auf''' den Punkt '''A'''' und Punkt '''B''' wurde '''auf''' Punkt '''B' abgebildet'''.
-:Aus dem vorherigen Lernpfad wissen wir, dass das '''Längenverhältnis von Strecken''' bei einer zentrischen Streckung, wegen der <br>Eigenschaft der '''Längenverhältnistreue''', '''gleich''' ist.
-:'''Was bedeutet dies?''' Eine kleine Wiederholung kann nicht schaden. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:
 <div class="lueckentext-quiz">
-<math>\overline{ZA'}</math> = '''|k| ∙ <math>\overline{ZA}</math>''' <math>\wedge</math> <math>\overline{ZB'}</math> = '''|k| ∙ <math>\overline{ZB}</math>'''<br>
+<math>\overline{ZA'}</math> = '''<math>\mid k \mid \cdot \overline{ZA}</math>''' <math>\mathit{und}</math> <math>\overline{ZB'} =</math> '''<math>\mid k \mid \cdot \overline{ZB}</math>'''<br>
-Aufgelöst nach |k|:<br>
+Aufgelöst nach <math>\mid k \mid</math>:<br>
-|k| = '''<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}</math>''' <math>\wedge</math> '''|k|''' = <math>{\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
+<math>\mid k \mid =</math> '''<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}</math>''' <math>\mathit{und}</math> '''<math>\mid k \mid</math>''' <math>= {\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
 Gleichsetzen:
-<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}</math> = <math>{\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
+<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}} =</math> <math>{\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
 Einsetzen der Werte ergibt: <br>
-'''<math>{2,54 cm}\over{1 Zoll}</math>''' = <math>{x cm}\over{15 Zoll}</math> <math>\Rightarrow</math> x = 38,1 cm
+<math>{{2,54\ cm}\over{1\ Zoll}} =</math> <math>{x} \over {15\ Zoll}</math> <math>\Rightarrow x = 38,1\ cm</math>
 </div>
-<br>
+}}
-:Prima! Du hast dein Wissen noch einmal aufgefrischt!
-<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
-:Die Formel sagt aus, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten, wie die Abschnitte auf der anderen
-:Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den '''ersten Vierstreckensatz'''. In unserem Beispiel wurden die Schenkel betrachtet,
-:deshalb wird es auch die '''Schenkellösung''' genannt.
-</div>
-<br>
-==2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung==
+[[Bild:Porzelt_lobenderPanto8.jpg]]
-[[Bild:Porzelt_Vierstreckensatz_Abschnittlösung.jpg]]
-:Anhand der Eigenschaft der Längenverhältnisstreue der zentrischen Streckung, kannst du auch hier wieder die geeignete Formel
-:zur Berechnung der unbekannten Strecke herleiten. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:
-<div class="lueckentext-quiz">
-<math>\overline{AA'}</math> = '''|k| ∙ <math>\overline{ZA}</math> - <math>\overline{ZA}</math>''' <math>\wedge</math> <math>\overline{BB'}</math> = '''|k| ∙ <math>\overline{ZB}</math> - <math>\overline{ZB}</math>'''<br>
-Aufgelöst nach |k|:<br>
-|k| = '''<math>{\overline{AA'}\over\overline{ZA}}</math>''' - <math>{\overline{ZA}\over\overline{ZA}}</math> <math>\wedge</math> |k| = <math>{\overline{BB'}\over\overline{ZB}}</math> - '''<math>{\overline{ZB}\over\overline{ZB}}</math>'''<br>
-|k| = '''<math>{\overline{AA'}\over\overline{ZA}}</math> - 1''' <math>\wedge</math> '''|k|''' = <math>{\overline{BB'}\over\overline{ZB}}</math> - 1<br>
-Gleichsetzen:<br>
-<math>{\overline{AA'}\over\overline{ZA}}</math> - '''1''' = '''<math>{\overline{BB'}\over\overline{ZB}}</math> '''- 1 '''|+1'''<br>
-<math>{\overline{AA'}\over\overline{ZA}}</math> = <math>{\overline{BB'}\over\overline{ZB}}</math>
-</div>
-:Super! Du hast hier die '''Abschnittlösung des ersten Vierstreckensatzes''' hergeleitet. Denn auch hier verhalten sich die
-:Abschnitte auf der einen Halbgeraden, wie die Abschnitte auf der anderen Halbgeraden.
-:Berechne nun die Aufgabe in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!
-<div class="lueckentext-quiz">
-x= '''1 cm (Tipp:  Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit nicht vergessen!)'''.
-</div>
-<br>
-==3. Station: Zweiter Vierstreckensatz==
+{{Merke|1=
-[[Bild:Porzelt_4-Streckensatz-Kletterwand.jpg]]
+[[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|left]]
-:Auf dem Bild siehst du Panto neben einer 6 m hohen Kletterwand. Auch hier musst du wieder die eine passende Formel zur
+Die Formel sagt aus, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten wie die Abschnitte auf der anderen Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den '''ersten Vierstreckensatz'''. In unserem Beispiel wurden die Schenkel betrachtet, deshalb wird es auch die '''Schenkellösung''' genannt.
-:Berechnung der gesuchten Strecke x herleiten. Setze wieder die richtige Aussage in die passende Lücke ein:
+}}
-<div class="lueckentext-quiz">
-<math>\overline{ZA'}</math> = '''|k| ∙ <math>\overline{ZA}</math>''' <math>\wedge</math> <math>\overline{A'B'}</math> = '''|k| ∙ <math>\overline{AB}</math>'''<br>
-Aufgelöst nach |k|:<br>
-|k| = '''<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}</math>''' <math>\wedge</math> '''|k|''' = <math>{\overline{A'B'}\over\overline{AB}}</math><br>
-Gleichsetzen:
-<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}</math> = <math>{\overline{A'B'}\over\overline{AB}}</math><br>
-</div>
-:Fantastisch! Du hast hier den '''zweiten Vierstreckensatz''' hergeleitet. Er sagt aus, dass sich die Streckenabschnitte auf den
-:Parallelen, wie die zugehörigen Streckenlängen (von Z ausgehend) auf einer Geraden verhalten.
-:Berechne jetzt die Aufgabe in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!
-<div class="lueckentext-quiz">
-x= '''0,30 cm (Tipp:  Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit nicht vergessen!)'''.
-</div>
-:Wenn du wissen willst, ob es Panto auf die Kletterwand geschafft hat, dann lass es dir anzeigen.
-:{{Versteckt|
-[[Bild:Porzelt_4-Streckensatz-Kletterwand-Lösung.jpg]]|}}
-<br>
-==4. Station: Zusammenfassung==
-<br>
-==5. Station: Übung==
+{{Fortsetzung
+  |weiter=Weiter zur 2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung
+  |weiterlink=/2.Station}}{{TODO|Lernpfad Navigation als Vorlage/Include einsetzen}}
+[[Kategorie:Keine Kategorie]]

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