Zentrische Streckung/Vierstreckensatz: Unterschied zwischen den Versionen

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__NOTOC__
{{Lernpfad
{{Lernpfad-M|
| Titel = Vierstreckensatz
===Vierstreckensatz===
| Bild = [[Bild:Porzelt_Vierstreckensatz.jpg]]
|
In diesem Lernpfad durchläufst du 5 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:
 
* 1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung
* [[/2.Station|2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung]]
* [[/3.Station|3. Station: Zweiter Vierstreckensatz]]
* [[/4.Station|4. Station: Zusammenfassung]]
* [[/5.Station|5. Station: Übung]]
}}
}}
<br>
 
[[Bild:Porzelt_Vierstreckensatz.jpg|center]]
==1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung==
[[Bild:Porzelt_Laptop.jpg]]<br>
'''Zoll''' ist eine '''Längeneinheit''', die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern. <br>
Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden. <br>
Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:<br>
 
*die algebraische Berechnung<br>
*oder die geometrische.<br>
 
Als Beispiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15-Zoll-Laptop.<br>
<br>
<br>


==1. Station: Erster Vierstreckensatz==
*Finde heraus wie du die Aufgabe '''algebraisch''' lösen kannst:
[[Bild:Porzelt_Laptop.jpg]]
{{Aufgabe|1=
:'''Zoll''' ist eine '''Längeneinheit''' die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.
:'''Gegeben''': Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.
:Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden.
:'''Gesucht''': Umrechnung von 15 Zoll in cm.
:Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:
:'''Lösung''': Berechne in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!  
:*die algebraische Berechnung
:::(Bitte mach ein Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit.)
:*oder die geometrische.
:Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15 Zoll Laptop.
<br>
*Finde heraus wie du die Aufgabe '''algebraisch''' lösen kannst:  
::'''Gegeben''': Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.
::'''Gesucht''': Umrechnung von 15 Zoll in cm.
::'''Lösung''': Berechne in deinem Heft und trage hier deine berechnete Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
15 Zoll entsprechen '''38,1 cm (Tipp:  Berechne mit Hilfe des Dreisatzes)'''.
15 Zoll entsprechen '''38,1 cm (Tipp:  Berechne mit Hilfe des Dreisatzes)'''.
</div>
</div>
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}}
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<br>
*Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe '''geometrisch''' lösen kannst.
 
{{Aufgabe|1=
 
# Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden die Längen 1 cm und 15 cm ab! Benenne die Endpunkte der Strecken mit <math>A</math> und <math>B</math>
# Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B
# Schritt: Trage in <math>Z</math> die Strecke <math>[ZA']</math> mit <math>\overline{ZA'} = 2,54\ cm</math> ab
# Schritt: Zeichne eine Parallele durch <math>A'</math> zu <math>[AB]</math>
# Schritt: Benenne Schnittpunkt mit <math>B'</math>
# Schritt: Miss <math>\overline{ZB'}</math> ab
 
{{TODO
| Hier fehlt die Geogebra Datei Porzelt_geometrisch.ggb
|<ggb_applet height="300" width="950" showResetIcon="true" filename="Porzelt_geometrisch.ggb" />
}}
}}
 
====Die Rechnung, die dahinter steckt:====
 
Vorausgesetzt wird, dass die Gerade '''<math>{A'B'}</math> zu <math>{AB}</math> parallel''' ist. Das '''Dreieck <math>{A'ZB'}</math>''' kann somit als das '''Bild''' des '''Dreiecks <math>AZB</math> (Urbild)''' mit dem Streckungszentrum <math>Z</math> aufgefasst werden. Der Punkt <math>A</math> wurde also '''auf''' den Punkt <math>A'</math> und Punkt <math>B</math> wurde '''auf''' Punkt <math>B'</math> abgebildet.
 
Aus dem vorherigen Lernpfad wissen wir, dass das '''Längenverhältnis von Strecken''' bei einer zentrischen Streckung, wegen der <br>Eigenschaft der '''Längenverhältnistreue''', '''gleich''' ist.


*Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe '''geometrisch''' lösen kannst.
{{Aufgabe
<br>
|1=
<div style="border: 2px solid #9c9c9c; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''Was bedeutet dies?''' Eine kleine Wiederholung kann nicht schaden. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:
'''Klicke die Schritte nacheinander an:'''<br>
1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden <br>
:die Längen 1 cm und 15 cm ab. Benenne die Endpunkte der Strecken mit A und B. <br>
2. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B.<br>
3. Schritt: Trage in Z die Strecke [ZA'] mit <span style="text-decoration: overline;">ZA'</span> = 2,54 cm ab. <br>
4. Schritt: Zeichne eine Parallele durch A' zu [AB].<br>
5. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit B'. <br>
6. Schritt: Miss <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> ab. 
<ggb_applet height="300" width="950" showResetIcon="true" filename="Porzelt_geometrisch.ggb" />
</div> 
<br>
:'''Die Rechnung die dahinter steckt:'''
:Vorrausgesetzt wird dass die Gerade '''A'B' zu AB parallel''' ist. Das Dreieck A'ZB' kann somit als das Bild des Dreiecks AZB
:mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt A wurde also auf den Punkt A' und Punkt B wurde auf Punkt B' abgebildet.
:Aus dem vorherigen Lernpfad wissen wir, dass das Längenverhältnis von Strecken bei einer zentrischen Streckung, wegen der <br>Eigenschaft der '''Längenverhältnistreue''', gleich ist.
:'''Was bedeutet dies?''' Eine kleine Wiederholung kann nicht schaden. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücken ein:
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
<math>\overline{ZA'}</math> = '''|k| ∙ <math>\overline{ZA}</math>''' <math>\wedge</math> <math>\overline{ZB'}</math> = '''|k| ∙ <math>\overline{ZB}</math>'''<br>
<math>\overline{ZA'}</math> = '''<math>\mid k \mid \cdot \overline{ZA}</math>''' <math>\mathit{und}</math> <math>\overline{ZB'} =</math> '''<math>\mid k \mid \cdot \overline{ZB}</math>'''<br>
Aufgelöst nach |k|:<br>
Aufgelöst nach <math>\mid k \mid</math>:<br>
|k| = '''<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}</math>''' <math>\wedge</math> '''|k|''' = <math>{\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
<math>\mid k \mid =</math> '''<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}</math>''' <math>\mathit{und}</math> '''<math>\mid k \mid</math>''' <math>= {\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
Gleichsetzen:
Gleichsetzen:
<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}</math> = <math>{\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
<math>{\overline{ZA'}\over\overline{ZA}} =</math> <math>{\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}</math><br>
Einsetzen der Werte ergibt: <br>
Einsetzen der Werte ergibt: <br>
'''<math>{2,54 cm}\over{1 Zoll}</math>''' = <math>{x cm}\over{15 Zoll}</math> <math>\Rightarrow</math> x = 38,1 cm
<math>{{2,54\ cm}\over{1\ Zoll}} =</math> <math>{x} \over {15\ Zoll}</math> <math>\Rightarrow x = 38,1\ cm</math>
</div>
</div>
:Die Formel sagt aus, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten, wie die Abschnitte auf der anderen  
}}
:Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den '''ersten Vierstreckensatz'''.
 
<br>
[[Bild:Porzelt_lobenderPanto8.jpg]]
 
{{Merke|1=
[[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|left]]
Die Formel sagt aus, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten wie die Abschnitte auf der anderen Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den '''ersten Vierstreckensatz'''. In unserem Beispiel wurden die Schenkel betrachtet, deshalb wird es auch die '''Schenkellösung''' genannt.
}}
 


==2. Station: Erster und zweiter Vierstreckensatz==
{{Fortsetzung
  |weiter=Weiter zur 2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung
  |weiterlink=/2.Station}}{{TODO|Lernpfad Navigation als Vorlage/Include einsetzen}}
[[Kategorie:Keine Kategorie]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:01 Uhr

Lernpfad: Vierstreckensatz

In diesem Lernpfad durchläufst du 5 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:

Porzelt Vierstreckensatz.jpg


1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung

Porzelt Laptop.jpg
Zoll ist eine Längeneinheit, die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.
Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden.
Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:

  • die algebraische Berechnung
  • oder die geometrische.

Als Beispiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15-Zoll-Laptop.

  • Finde heraus wie du die Aufgabe algebraisch lösen kannst:
Aufgabe
Gegeben: Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.
Gesucht: Umrechnung von 15 Zoll in cm.
Lösung: Berechne in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!
(Bitte mach ein Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit.)

15 Zoll entsprechen 38,1 cm (Tipp: Berechne mit Hilfe des Dreisatzes).

  • Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe geometrisch lösen kannst.


Aufgabe
  1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden die Längen 1 cm und 15 cm ab! Benenne die Endpunkte der Strecken mit und
  2. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B
  3. Schritt: Trage in die Strecke mit ab
  4. Schritt: Zeichne eine Parallele durch zu
  5. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit
  6. Schritt: Miss ab

Die Rechnung, die dahinter steckt:

Vorausgesetzt wird, dass die Gerade zu parallel ist. Das Dreieck kann somit als das Bild des Dreiecks (Urbild) mit dem Streckungszentrum aufgefasst werden. Der Punkt wurde also auf den Punkt und Punkt wurde auf Punkt abgebildet.

Aus dem vorherigen Lernpfad wissen wir, dass das Längenverhältnis von Strecken bei einer zentrischen Streckung, wegen der
Eigenschaft der Längenverhältnistreue, gleich ist.


Aufgabe

Was bedeutet dies? Eine kleine Wiederholung kann nicht schaden. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:

=
Aufgelöst nach :

Gleichsetzen:
Einsetzen der Werte ergibt:

Porzelt lobenderPanto8.jpg


Merke
Porzelt Panto-2.jpg
Die Formel sagt aus, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten wie die Abschnitte auf der anderen Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den ersten Vierstreckensatz. In unserem Beispiel wurden die Schenkel betrachtet, deshalb wird es auch die Schenkellösung genannt.