Main>Leonie Porzelt |
Main>Leonie Porzelt |
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/2.Station|Weiter zur 2. Station]] | | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/2.Station|Weiter zur 2. Station]] |
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| ==2. Station: Geradentreue und Parallelentreue==
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| *'''Geradentreue''' bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
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| *'''Parallelentreue''' liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.
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| </div>
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| <br>
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| :Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
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| :auf den Punkt P' abgebildet.
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| :'''Arbeitsauftrag'''
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| :'''Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt.'''
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| :'''Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.'''
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| <br>
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| <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| {|
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| |<ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Geradentreue.ggb" />||
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| <quiz display="simple">
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| {'''Was zeigen die roten Spuren, die du gezeichnet hast?'''}
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| +Geraden
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| -Dreiecke
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| -Ich sehe keine Spuren.
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| {'''Ist die zentrische Streckung geradentreu?'''}
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| +Ja
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| -Nein
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| </quiz>
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| |}
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| </div>
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| <br>
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| :Um herauszufinden bei einer zentrische Streckung, ob eine Urstrecke auf eine parallele Bildstrecke mit
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| :|k|-facher Länge abgebildet wird, musst du dir das nächste Applet anschauen.
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| :'''Arbeitsauftrag:'''
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| :'''Klicke Schritt 1 an. Es wird eine Hilfsstrecke [ZP] mit [ZP] || [AB] und <span style="text-decoration: overline;">AB</span> = <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> eingezeichnet.'''
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| :'''Klicke Schritt 2 an. [ZH] wird zentrisch gestreckt, so dass gilt: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> '''
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| <br>
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| <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| {|
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| |<ggb_applet height="260" width="550" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Parallelentreue.ggb" />||'''Setze in die Lücken richtig ein:'''
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Das Viereck ZA'B'P' ist ein '''Parallelogramm'''. <br>
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| Mit <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = '''<span style="text-decoration: overline;">A'B'</span>''' und '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>''' = <span style="text-decoration: overline;">AB</span>. Daraus folgt durch einsetzen in die Gleichung zur in Schritt 2: <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> = '''|k|''' ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>'''
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| |}
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| </div>
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| <br>
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Ist die zentrische Streckung parallelentreu?'''
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| (Ja) (!Nein)
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| </div>
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| <br>
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/3.Station|Weiter zur 3. Station]]
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung|Zurück zur 1. Station]]
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| ==3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue==
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| *'''Winkeltreue''' bedeutet, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
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| *Ebenso gilt für die '''Längentreue''', dass alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
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| *'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.
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| </div>
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| <br>
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| :In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß,
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| :die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen.
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| :'''Arbeitsauftrag:'''
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| :'''Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaften zutreffen.'''
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| <br>
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| <ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Winkel_Flächen_Längentreu.ggb" />
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| <br>
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Welche Eigenschaften treffen auf die zentrische Streckung zu?'''
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| (Winkeltreue) (!Längentreue) (!Flächeninhaltstreue)
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| </div>
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| <br>
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| :Nur wie kann man jetzt den Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks berechnen?
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| :Finde es durch Umformung heraus! Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:
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| {|
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| |[[Bild:Porzelt_Dreiecke.jpg ]]||
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
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| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> ∙ h' <br>
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| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>''' ∙ '''|k|''' ∙ '''h''' <br>
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| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
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| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ '''A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>'''
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| </div>
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| |}
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| <br>
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/4.Station|Weiter zur 4. Station]]
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/2.Station|Zurück zur 2. Station]]
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| ==4. Station: Längenverhältnistreue==
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| :'''Längenverhältnistreue''' liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.
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| </div>
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| <br>
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| {|
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| |[[Bild:Porzelt_Verhältnistreu.jpg]]|| '''Arbeitsauftrag:'''
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| #Berechne den Streckungsfaktor k.
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| #Berechne <math>\overline{A'P'}</math> und <math>\overline{P'B'}</math>.
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| #Berechne <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> und <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>. Runde auf 2 Nachkommastellen.
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| |}
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| <br>
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| :Um herauszufinden ob deine Lösungen richtig sind, klicke hier die Lösung an:
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| <quiz display="simple">
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| {'''Der Streckungsfaktor k beträgt:'''}
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| +2.0
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| -1.5
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| -3.0
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| {'''<span style="text-decoration: overline;">A'P'</span> beträgt:'''}
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| +1.4 cm
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| -1.5 cm
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| -1.3 cm
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|
| |
| {'''<span style="text-decoration: overline;">P'B'</span> beträgt:'''}
| |
| +3.0 cm
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| -2.0 cm
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| -2.5 cm
| |
|
| |
| {'''<math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math> beträgt:'''}
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| +0.47
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| -0.50
| |
| -1.00
| |
|
| |
| {'''<math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> beträgt:'''}
| |
| +0.47
| |
| -0.52
| |
| -0.45
| |
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| </quiz>
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| <br>
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| :Warum ist <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> = <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>?
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Für <math>\overline{AP}</math> kann man auch '''|k| ∙ <math>\overline{A'P'}</math>''' und für <math>\overline{PB}</math> kann man '''|k| ∙ <math>\overline{P'B'}</math>''' einsetzen. <br>
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| Daraus folgt: <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> = '''<math>{{|k|}\over{|k|}}</math>''' ∙ '''<math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>'''.
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| |k| kann man rauskürzen, so dass '''<math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math>''' = <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math> gilt.
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| </div>
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| <br>
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Ist die zentrische Streckung längenverhältnistreu?'''
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| (Ja) (!Nein)
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| </div>
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| <br>
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/5.Station|Weiter zur 5. Station]]
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/3.Station|Zurück zur 3. Station]]
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| ==5. Station: Kreistreue==
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| :'''Kreistreue''' bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.
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| </div>
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| <br>
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| :Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch um den Faktor m = 3 strecken. Finde heraus,
| |
| :ob die zentrische Streckung kreistreu ist.
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| <ggb_applet height="350" width="650" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Kreistreue.ggb" />
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| <br>
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Es gilt: <math>\overline{PM}</math> = r <br>
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| Deshalb kann man schreiben: <math>\overline{P'M'}</math> = '''|m|''' ∙ '''<math>\overline{PM}</math>''' = r' <br>
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| Der Bildpunkt P' liegt auf dem '''Kreis k'''' um M' mit Radius r' = |m| ∙ '''r'''.
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| </div>
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| <br>
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Ist die zentrische Streckung kreistreu?'''
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| (Ja) (!Nein)
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| </div>
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| <br>
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/6.Station|Weiter zur 6. Station]]
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/4.Station|Zurück zur 4. Station]]
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| ==6. Station: Zusammenfassung==
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| :Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.
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| <div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| '''Eigenschaften der zentrischen Streckung'''<br>
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| Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine '''Fixgerade'''. <br>
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| Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist '''parallelentreu'''.<br>
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| Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also '''nicht''' längentreu. <br>
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| Jedoch ist sie '''längenverhältnistreu'''. <br>
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| Die zentrische Streckung ist '''geradentreu''', '''winkeltreu''' und '''kreistreu'''. <br>
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| Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das '''|k|²-fache''' des Flächeninhalts der Urfigur. ('''A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = |k|² ∙ A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>''') <br>
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| Die zentrische Streckung ist deshalb '''nicht''' flächeninhaltstreu.
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| </div>
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| <br>
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/7.Station|Weiter zur 7. Station]]
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/5.Station|Zurück zur 5. Station]]
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| ==7. Station: Übung==
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| |[[Bild:Porzelt_Konstruktion_Dreieck.jpg]]||Mit Hilfe der Eigenschaften Geradentreue und Parallelentreue kann man Figuren wie folgt konstruieren:<br>
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| Zeichne ein Koordinatensystem <math>(0 \le x \le 14 ; -3 \le y \le 6)</math> mit dem Dreieck PQR und dem Zentrum Z in dein Heft. <br>
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| (Die Koordinaten für die Punkte kannst du im Bild ablesen.)<br>
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| #Bilde den Punkt R wie gewohnt auf R' ab.<br>
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| #Zeichne die Parallele zu RP durch R' ein. Sie schneidet [ZP im Punkt P'.<br>
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| #Jetzt kennst du 2 Möglichkeiten um Bildpunkte zu konstruieren. Entscheide selbst, wie du den Punkt Q' konstruierst.
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| |}
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| :Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
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| :{{Lösung versteckt|
| |
| [[Bild:Porzelt_Konstruktion.jpg]]}}
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| <br>
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/6.Station|Zurück zur 6. Station]]
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