Bruchteil, Anteil und Ganzes bei der Bruchrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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In einem ersten Abschnitt erhältst du eine kurze Übersicht über Bruchteil, Anteil und Ganzes. Im zweiten Abschnitt wird es darum gehen, dass du | In einem ersten Abschnitt erhältst du eine kurze Übersicht über Bruchteil, Anteil und Ganzes. Im zweiten Abschnitt wird es darum gehen, dass du Bruchteil, Anteil und Ganzes in gegebenen Situationen erkennen kannst. Der dritte Abschnitt ist dazu da, dass du Zusammenhänge zwischen Bruchteil, Anteil und Ganzes experimentell herausfinden kannst. Zum Schluss wirst du aus zwei der drei Komponenten die Dritte berechnen müssen. | ||
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In diesem Abschnitt kannst du dir nochmal an zwei konkreten Beispielen anschauen, was | In diesem Abschnitt kannst du dir nochmal an zwei konkreten Beispielen anschauen, was <span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span> und <span style="color: blue">Ganzes </span> sind. | ||
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Immer wenn wir einen Bruch gegeben haben, dann können wir den <span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span> und das <span style="color: blue">Ganze </span> bestimmen. Als Ausgangspunkt dient das <span style="color: blue">Ganze </span>, von | Immer wenn wir einen Bruch gegeben haben, dann können wir den <span style="color: red">Bruchteil </span>, den <span style="color: green">Anteil </span> und das <span style="color: blue">Ganze </span> bestimmen. Als Ausgangspunkt dient das <span style="color: blue">Ganze </span>, von dem nur ein bestimmter Teil betrachtet werden soll (der <span style="color: red">Bruchteil </span>). Der <span style="color: green">Anteil </span> stellt immer das Verhältnis zwischen dem <span style="color: red">Bruchteil </span> und dem <span style="color: blue">Ganzen </span> dar. Der <span style="color: green">Anteil </span> ergibt sich, indem der <span style="color: red">Bruchteil </span> durch das <span style="color: blue">Ganze </span> dividiert wird. | ||
In den folgenden zwei Beispielen, kannst du dir diese drei Teile eines Bruches (<span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span>, <span style="color: blue">Ganzes </span>) mithilfe von zwei Abbildungen anschauen. | In den folgenden zwei Beispielen, kannst du dir diese drei Teile eines Bruches (<span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span>, <span style="color: blue">Ganzes </span>) mithilfe von zwei Abbildungen anschauen. | ||
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'''Betrachte <math>\frac{3}{4}</math> eines Kreises.''' | '''Betrachte <math>\frac{3}{4}</math> eines Kreises.''' | ||
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Der gesamte Kreis stellt bei diesem Beispiel das <span style="color: blue">Ganze </span> dar, auf das sich der <span style="color: red">Bruchteil </span> und der <span style="color: green">Anteil </span> beziehen. | |||
Das <span style="color: blue">Ganze </span> kann nun in 4 gleich große Teile (4 Viertelkreise) unterteilt werden. Dabei ergeben die 3 farbig markierten Teile zusammen den <span style="color: red">Bruchteil </span>. | |||
Der <span style="color: green">Anteil </span> gibt das Verhältnis zwischen dem <span style="color: red">Bruchteil </span> und dem <span style="color: blue">Ganzen </span> wieder. Es sind 3 von 4 Viertelkreisen farbig markiert (→ <math>\frac{3}{4}</math>) | |||
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Der <span style="color: green">Anteil </span> gibt das Verhältnis zwischen dem <span style="color: red">Bruchteil </span> und dem <span style="color: blue">Ganzen </span> wieder. | {{!)}} | ||
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'''Betrachte nun <math>\frac{3}{4}</math> von 12.''' | '''Betrachte nun <math>\frac{3}{4}</math> von 12.''' | ||
Wie in der Überschrift genannt, ist die 12 das <span style="color: blue">Ganze </span> (12 Sterne). | {{(!}} class=wikitable | ||
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<math>\frac{3}{4}</math> ist der <span style="color: green">Anteil </span> und stellt wieder das Verhältnis zwischen <span style="color: red">Bruchteil </span> und <span style="color: blue">Ganzen </span> dar. Du kannst die 12 Sterne nun in 4 Gruppen mit jeweils 3 Sternen unterteilen (dies wurde auf der linken Seite getan). Wenn du 3 dieser Gruppen nun farbig markierst, so hast du 9 Sterne markiert. Dies stellt den <span style="color: red">Bruchteil </span> der 12 Sterne dar. | |||
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Du kannst im nachfolgenden Lückentext überprüfen, ob du nun weißt, was <span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span> und <span style="color: blue">Ganzes </span> sind. | Du kannst im nachfolgenden Lückentext überprüfen, ob du nun weißt, was <span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span> und <span style="color: blue">Ganzes </span> sind. | ||
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Wenn du einen Bruch in einer Sachsituation gegeben hast, dann kannst du bei dem Bruch immer Bruchteil, Anteil und '''Ganzes''' betrachten. Das Ganze stellt den '''Ausgangspunkt''' dar, auf welchen sich der '''Bruchteil''' und der Anteil beziehen. | Wenn du einen Bruch in einer Sachsituation gegeben hast, dann kannst du bei dem Bruch immer Bruchteil, Anteil und '''Ganzes''' betrachten. Das Ganze stellt den '''Ausgangspunkt''' dar, auf welchen sich der '''Bruchteil''' und der Anteil beziehen. Bei Brüchen wird meist nur ein gewisser '''Teil''' des Ganzen betrachtet. Dabei handelt es sich um den Bruchteil. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem spiegelt sich im '''Anteil''' wieder. | ||
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==Zusammenhänge | ==Zusammenhänge erkunden== | ||
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In diesem Abschnitt kannst du Zusammenhänge zwischen Bruchteil, Anteil und Ganzem | In diesem Abschnitt kannst du Zusammenhänge zwischen Bruchteil, Anteil und Ganzem erkunden. Du kannst zum Beispiel herausfinden, auf welche Art und Weise sich der Bruchteil verändert, wenn der Anteil gleich bleibt, aber das Ganze größer oder kleiner wird. | ||
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{{Box|1=2. Erkunde einige Zusammenhänge selbstständig|2= | |||
Gehe bei der nun folgenden Übung wie folgt vor: | Gehe bei der nun folgenden Übung wie folgt vor: | ||
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#Überprüfe nun die vervollständigten Sätze. Schaue dir noch einmal die Geogebra Applets genau an, falls die Sätze nicht richtig sind. | #Überprüfe nun die vervollständigten Sätze. Schaue dir noch einmal die Geogebra Applets genau an, falls die Sätze nicht richtig sind. | ||
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Ziel dieser Aufgabe ist es, deine Entdeckungen in Geogebra in Merksätze zu formulieren. | Ziel dieser Aufgabe ist es, deine Entdeckungen in Geogebra in Merksätze zu formulieren. | ||
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Wird bei einer Aufgabe das | <div class="lueckentext-quiz" width="200" height="160"> | ||
Wird bei einer Aufgabe der | Wird bei einer Aufgabe das Ganze größer, während der Anteil immer gleich bleibt, so '''wird der Bruchteil größer'''. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem '''bleibt gleich groß'''. | ||
Wird bei einer Aufgabe der | Wird bei einer Aufgabe der Anteil kleiner, während das Ganze immer gleich groß bleibt, so '''wird der Bruchteil kleiner'''. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem '''wird kleiner'''. | ||
Wird bei einer Aufgabe der Bruchteil größer, während der Anteil immer gleich bleibt, so '''wird das Ganze größer'''. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem '''bleibt gleich groß'''. | |||
Mithilfe dieses Wissens kannst du bei Aufgaben, bei welchen sich eine der drei Komponenten verändert, während eine zweite gleich bleibt, deine Ergebnisse leichter überprüfen. | Mithilfe dieses Wissens kannst du bei Aufgaben, bei welchen sich eine der drei Komponenten verändert, während eine zweite gleich bleibt, deine Ergebnisse leichter überprüfen. | ||
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<big>Der Bruchteil gibt die Anzahl an Teilen | <big>Der Bruchteil gibt die Anzahl an Teilen wieder, die vom Ganzen ausgewählt werden.<br> | ||
Er lässt sich berechnen, indem du den Anteil mit dem Ganzen multiplizierst.</big><br> | Er lässt sich berechnen, indem du den Anteil mit dem Ganzen multiplizierst.</big><br> | ||
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{{Box|1=Den Bruchteil berechnen|2= | {{Box|1=3. Den Bruchteil berechnen|2= | ||
Berechne nun selbst in deinem Heft den Bruchteil in den dargestellten Aufgaben. Kürze dabei soweit wie möglich. | Berechne nun selbst in deinem Heft den Bruchteil in den dargestellten Aufgaben. Kürze dabei soweit wie möglich. | ||
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Nachdem du alle Bruchteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Bruchteil ziehst. | Nachdem du alle Bruchteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Bruchteil ziehst. | ||
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Wenn du nicht weißt, wie du die Aufgaben lösen kannst, dann schaue dir die versteckte Erklärung direkt über diesen Aufgaben noch einmal genau an. | |||
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Berechne nun selbst in deinem Heft das Ganze in den dargestellten Aufgaben. | Berechne nun selbst in deinem Heft das Ganze in den dargestellten Aufgaben. | ||
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Nachdem du alle Ganze berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe das jeweilige Ganze ziehst. | Nachdem du alle Ganze berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe das jeweilige Ganze ziehst. | ||
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<big>Du kannst eine natürliche Zahl durch einen Bruch dividieren, indem du die natürliche Zahl mit dem Kehrbruch des gegebenen Bruchs | <big>Du kannst eine natürliche Zahl durch einen Bruch dividieren, indem du die natürliche Zahl mit dem Kehrbruch des gegebenen Bruchs multiplizierst. Der Kehrbruch zu einem gegebenen Bruch erhältst du, indem du Zähler und Nenner des Bruchs vertauschst.</big><br> | ||
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Bruchteil: 8 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{1}{9}</math> <br><br> | Bruchteil: 8 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{1}{9}</math> <br><br> | ||
<math> | <math>8 : \frac{1}{9} = 8 \cdot \frac{9}{1} = \frac{72}{1} = 72 </math> | ||
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|2=Erklärung|3=Verstecken}}</div> | |2=Erklärung|3=Verstecken}}</div> | ||
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Berechne nun selbst in deinem Heft die Anteile der dargestellten Aufgaben. Kürze dabei soweit wie möglich. | Berechne nun selbst in deinem Heft die Anteile der dargestellten Aufgaben. Kürze dabei soweit wie möglich. | ||
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Nachdem du alle Anteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Anteil ziehst. | Nachdem du alle Anteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Anteil ziehst. | ||
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Wenn du nicht weißt, wie du die Aufgaben lösen kannst, dann schaue dir die versteckte Erklärung direkt über diesen Aufgaben noch einmal genau an. | |||
|2= Tipp zum Lösen der Aufgaben|3=Verstecken}} | |||
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Ganze: 360 <math>\qquad</math> Bruchteil: 280 <br><br> | Ganze: 360 <math>\qquad</math> Bruchteil: 360-280=80<br><br> | ||
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Viel Erfolg! | Viel Erfolg! | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Ganze: <math>390</math> <math>\qquad</math> Bruchteil: <math>70 | Ganze: <math>390</math> <math>\qquad</math> Bruchteil: <math>390-70-50=270</math> <br><br> | ||
Anteil ist gesucht:<br><br> | Anteil ist gesucht:<br><br> | ||
<math> \frac{ | <math> \frac{270}{390} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 30}}{=}} \quad \frac{9}{13}</math><br><br> | ||
|2=Lösung 1.000.000€-Frage|3=Verstecken}} | |2=Lösung 1.000.000€-Frage|3=Verstecken}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} |
Version vom 18. Oktober 2019, 14:43 Uhr
Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Bruchteil, Anteil und Ganzes bei der Bruchrechnung"!
Dieser Lernpfad wurde erstellt, um dein Wissen und deine Fähigkeiten im Umgang mit dem Bruchteil, Anteil und Ganzem innerhalb der Bruchrechnung zu verbessern.
Was sind nochmal Bruchteil, Anteil und das Ganze?
Immer wenn wir einen Bruch gegeben haben, dann können wir den Bruchteil , den Anteil und das Ganze bestimmen. Als Ausgangspunkt dient das Ganze , von dem nur ein bestimmter Teil betrachtet werden soll (der Bruchteil ). Der Anteil stellt immer das Verhältnis zwischen dem Bruchteil und dem Ganzen dar. Der Anteil ergibt sich, indem der Bruchteil durch das Ganze dividiert wird.
In den folgenden zwei Beispielen, kannst du dir diese drei Teile eines Bruches (Bruchteil , Anteil , Ganzes ) mithilfe von zwei Abbildungen anschauen.
Betrachte eines Kreises.
Im ersten Beispiel wird das Ganze durch eine geometrische Form (Kreis) dargestellt. Du wirst aber auch mit Ganzen arbeiten müssen, welche nur aus einer Menge (Zahl) bestehen. In einem zweiten Beispiel kannst du dir anschauen, was in so einem Fall der Bruchteil , Anteil und das Ganze sind.
Betrachte nun von 12.
Du kannst im nachfolgenden Lückentext überprüfen, ob du nun weißt, was Bruchteil , Anteil und Ganzes sind.
Wenn du einen Bruch in einer Sachsituation gegeben hast, dann kannst du bei dem Bruch immer Bruchteil, Anteil und Ganzes betrachten. Das Ganze stellt den Ausgangspunkt dar, auf welchen sich der Bruchteil und der Anteil beziehen. Bei Brüchen wird meist nur ein gewisser Teil des Ganzen betrachtet. Dabei handelt es sich um den Bruchteil. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem spiegelt sich im Anteil wieder.
Bruchteil, Anteil und Ganzes erkennen
Zusammenhänge erkunden
Gehe bei der nun folgenden Übung wie folgt vor:
- Schaue dir die angefangenen Sätze auf der rechten Seite an
- Stelle Vermutungen auf, wie sich Bruchteil, Anteil oder Ganzes in den jeweiligen Situationen verändern und schreibe deine Vermutungen auf einem Blatt Papier auf.
- Untersuche nun die Veränderungen in den Geogebra Applets. Klicke dafür einfach auf diese und verändere mithilfe der Schieberegler die jeweils zugehörige Größe.
- Vervollständige nun die Sätze und vergleiche sie mit deinen vorher aufgeschriebenen Vermutungen.
- Überprüfe nun die vervollständigten Sätze. Schaue dir noch einmal die Geogebra Applets genau an, falls die Sätze nicht richtig sind.
Ziel dieser Aufgabe ist es, deine Entdeckungen in Geogebra in Merksätze zu formulieren.
Wird bei einer Aufgabe das Ganze größer, während der Anteil immer gleich bleibt, so wird der Bruchteil größer. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem bleibt gleich groß. Wird bei einer Aufgabe der Anteil kleiner, während das Ganze immer gleich groß bleibt, so wird der Bruchteil kleiner. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem wird kleiner. Wird bei einer Aufgabe der Bruchteil größer, während der Anteil immer gleich bleibt, so wird das Ganze größer. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem bleibt gleich groß. Mithilfe dieses Wissens kannst du bei Aufgaben, bei welchen sich eine der drei Komponenten verändert, während eine zweite gleich bleibt, deine Ergebnisse leichter überprüfen.
Mit Bruchteil, Anteil und Ganzem rechnen
Der Bruchteil ist gesucht
In diesem Abschnitt ist immer der Anteil und das Ganze gegeben und es wird der Bruchteil gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Anteil und dem Ganzen den Bruchteil bestimmen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.
Der Bruchteil gibt die Anzahl an Teilen wieder, die vom Ganzen ausgewählt werden.
Er lässt sich berechnen, indem du den Anteil mit dem Ganzen multiplizierst.
Beispiel:
Julia und Marvin besitzen zusammen 6 Mützen. davon gehören Marvin und gehören Julia. Wie viele Mützen gehören Marvin?
Rechnung: Wir multiplizieren mit 6 und erhalten .
Berechne nun selbst in deinem Heft den Bruchteil in den dargestellten Aufgaben. Kürze dabei soweit wie möglich.
Nachdem du alle Bruchteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Bruchteil ziehst.
Du multiplizierst einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem du den Zähler mit der natürlichen Zahl multiplizierst und den Nenner beibehältst.
Beispiel:
Der Bruch soll mit der natürlichen Zahle multipliziert werden. Wir multiplizieren dann den Zähler () mit der natürlichen Zahl und behalten den Nenner () bei.
→
Alternativ kannst du schon vorher kürzen.
Ganze: 32 Anteil:
oder
Ganze: 60 Anteil:
oder
Ganze: 200 Anteil:
oder
Ganze: 36 Anteil:
oder
Ganze: 35 Anteil:
oder
Das Ganze ist gesucht
In diesem Abschnitt ist immer der Bruchteil und der Anteil gegeben und es wird das Ganze gesucht.
Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Bruchteil und dem Anteil das Ganze bestimmen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.
Das Ganze stellt die Ausgangsgröße dar.
Du erhältst das Ganze aus dem Bruchteil und dem Anteil indem du den Bruchteil durch den Anteil dividierst.
Beispiel:
Julia gehören 2 Mützen für den Winter. Das sind aller Mützen, die sie und ihr Bruder Marvin gemeinsam besitzen. Wie viele Mützen haben die beiden zusammen?
Rechnung: Wir teilen 2 durch und erhalten .
Berechne nun selbst in deinem Heft das Ganze in den dargestellten Aufgaben.
Nachdem du alle Ganze berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe das jeweilige Ganze ziehst.
Du kannst eine natürliche Zahl durch einen Bruch dividieren, indem du die natürliche Zahl mit dem Kehrbruch des gegebenen Bruchs multiplizierst. Der Kehrbruch zu einem gegebenen Bruch erhältst du, indem du Zähler und Nenner des Bruchs vertauschst.
Beispiel:
Die natürliche Zahl 2 soll durch dividiert werden. Der Kehrbruch von ist . Wir multiplizieren nun 2 mit dem Kehrbruch ()
→
Auch hierbei kann schon früher gekürzt werdenBruchteil: 8 Anteil:
Bruchteil: 18 Anteil:
oder
Bruchteil: 15 Anteil:
oder
Bruchteil: 22 Anteil:
oder
Bruchteil: 9 Anteil:
oder
Der Anteil ist gesucht
In diesem Teil ist immer der Bruchteil und das Ganze gegeben und es wird der Anteil gesucht.
Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Bruchteil und dem Ganzen den Anteil bestimmen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.
Der Anteil stellt das Verhältnis zwischen dem Bruchteil und dem Ganzen dar.
Er lässt sich berechnen, indem du den Bruchteil durch das Ganze dividierst.
Beispiel:
Julia und Marvin besitzen zusammen 6 Mützen. Vier davon gehören Marvin und zwei gehören Julia. Wie groß ist der Anteil von Julias Mützen an allen Mützen der beiden?
Rechnung: Wir teilen 2 durch 6 und erhalten .
Berechne nun selbst in deinem Heft die Anteile der dargestellten Aufgaben. Kürze dabei soweit wie möglich.
Nachdem du alle Anteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Anteil ziehst.
Ganze: 75 Bruchteil: 45
Ganze: 360 Bruchteil: 360-280=80
Ganze: 26 Bruchteil: 8
Ganze: 28 Bruchteil: 10
Ganze: 24 Bruchteil: 4
Teste zum Schluss dein Wissen
Du kannst bei gegebenen Situationen erkennen, was Bruchteil, Anteil und Ganzes sind und nach welcher dieser drei Größen gefragt ist? Zusätzlich kannst du den Bruchteil, Anteil und das Ganze berechnen, wenn diese gesucht sind?
Dann teste in dem folgenden Quiz dein können und schaffe es Bruch-Millionär zu werden!
Berechne dafür die Ergebnisse auf einem Blatt Papier und kreuze die richtige Antwort an.
Viel Erfolg!
Bruchteil: Anteil:
Ganze ist gesucht:
oder
Ganze: Bruchteil:
Anteil ist gesucht:
Ganze: Anteil: Es gibt Rabatt auf den Schal, also beträgt der noch zu zahlende Anteil
Bruchteil ist gesucht:
oder
Ganze: Anteil von Amy: Anteil von Emil:
Um den Bruchteil von Alicia zu berechnen, werden erst die Bruchteile von Amy und Emil berechnet und die Summe der beiden von der Gesamtanzahl der Stimmen subtrahiert.
Bruchteil von Amy:
Bruchteil von Emil:
Zusammen haben Amy und Emil bei der Klassensprecherwahl 17 Stimmen erhalten. Alicia hat alle anderen Stimmen bekommen, daher ist der Bruchteil von Alicia:
Bruchteil: Anteil:
Ganze ist gesucht:
Ganze: Bruchteil:
Anteil ist gesucht: