Benutzer:Cloehner/Stochastik Einführungsphase NRW/Zufallsgrößen - Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Erwartungswerte: Unterschied zwischen den Versionen

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<span class="fa fa-group fa-lg"></span> Du darfst diese Aufgabe alleine oder in einer Gruppe von maximal vier Personen bearbeiten.|3=Hervorhebung1}}
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==Grundlagen==
{{Box|1=Grundlagen|2=Im Erklärvideo werden wesentliche Grundbegriffe erklärt, die dir auf dieser Seite wieder begegnen werden. Sieh dir zuerst das Video an, bevor du weiter liest.
[[Datei:Erklärvideo Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert.mp4|500px|links]]
|3=Kurzinfo}}
==Gewinnmöglichkeiten beim Glücksrad==


[[Datei:Glücksrad zweifarbig.jpg|miniatur]]
[[Datei:Glücksrad zweifarbig.jpg|miniatur]]
Klara bietet auf einem Straßenfest ein Glücksspiel an. Das abgebildete Glücksrad wird dreimal gedreht. Wird bei jeder Drehung ein graues Feld getroffen, so verliert man seinen Einsatz von 1,00 €. Wenn bei den drei Drehungen genau einmal ein rotes Feld getroffen wird, wird 1,50 € ausgezahlt, bei zweimal „rot” wird 2,50 € ausgezahlt und bei dreimal „rot” beträgt die Auszahlungssumme 5 €.
Klara bietet auf einem Straßenfest ein Glücksspiel an. Das abgebildete Glücksrad wird dreimal gedreht. Wird bei jeder Drehung ein graues Feld getroffen, so verliert man seinen Einsatz von 1,00 €. Wenn bei den drei Drehungen genau einmal ein rotes Feld getroffen wird, werden 1,50 € ausgezahlt, bei zweimal „rot” werden 2,50 € ausgezahlt und bei dreimal „rot” beträgt die Auszahlungssumme 5 €.




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{{Aufgaben|1=3|2=Informiere dich über die Bedeutung der Begriffe '''diskrete Zufallsgröße''' und '''Wahrscheinlichkeitsverteilung'''.
{{Aufgaben|1=3|2=Stelle in deinem Ergebnis aus Aufgabe 2 einen Bezug zu den Begriffen ''Zufallsgröße'' und ''Wahrscheinlichkeitsverteilung'' her.}}
 
==Welcher Gewinn ist zu erwarten?==
 
Auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gewinnsummen können wir nun herausfinden, mit welchem Gewinn jemand, der das Glücksspiel spielt, rechnen kann.
 
 
{{Aufgaben|4|Angenommen das Glücksspiel wird 1000-mal durchgeführt. Wie oft sind die verschiedenen Gewinnsummen dabei im Idealfall zu erwarten?
 
Berechne auf Basis der vorhergesagten absoluten Häufigkeiten das arithmetische Mittel der Gewinnsummen.
 
{{Lösung versteckt|Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ausgänge eines Glücksspiels bei sehr großer Versuchsanzahl immer weiter den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an.|Tipp 1 anzeigen|Tipp 1 ausblenden}}
 
{{Lösung versteckt|Nach 1000 Runden können als Schätzwert für die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Gewinnsummen die Wahrscheinlichkeiten aus Aufgabe 2 verwendet werden. Berechne daraus die gesuchten absoluten Häufigkeiten.|Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 ausblenden}}
 
{{Lösung versteckt|Mit folgender Formel lässt sich das arithmetische Mittel berechnen:
 
<math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>|Tipp 3 anzeigen|Tipp 3 ausblenden}}
 
{{Lösung versteckt|Nach 1000 Versuchen hat man im Schnitt ein Gewinn von rund -0,14 € (genauer Wert: -0,144 €) - also ein Verlust von 0,14 € - gemacht.|Kontrolllösung anzeigen|Kontrolllösung ausblenden}}
}}
 
 
{{Aufgaben|5|Berechne nun den ''Erwartungswert'' der Gewinnsumme mithilfe deiner Ergebnisse aus Aufgabe 2 und der Informationen aus dem Video. Sieh dir ggf. den Ausschnitt zum Erwartungswert noch einmal an. Was fällt auf?}}
 
 
{{Box|1=Artihmetisches Mittel vs. Erwartungswert|2=
{{(!}} class="wikitable"
{{!-}}
{{!}} '''Arithmetisches Mittel <math>\bar x</math>'''
{{!}} '''Erwartungswert <math>\mu</math> bzw. <math>E(X)</math>'''
{{!-}}
{{!}}
* beschreibt den Durchschnittswert eines ''vorhandenen'' Datensatzes
 
* basiert auf bereits vorliegenden Häufigkeiten
 
* Im Beispiel mit dem Glücksrad muss das Spiel zunächst mehrmals durchgeführt werden, damit auf Basis der bekannten Ausgänge das arithmetische Mittel der tatsächlichen Gewinnsummen berechnet werden kann.
{{!}}
* beschreibt den zu erwartenden durchschnittlichen Wert, den die Zufallsgröße <math>X</math> voraussichtlich annehmen wird
 
* basiert auf der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße <math>X</math>
 
* Im Beispiel mit dem Glücksrad beschreibt der Erwartungswert durchschnittlich zu erwartenden Gewinn der Spieler und ist unabhängig vom tatsächlichen Ausgang des Spiels.
{{!)}}
|3=Merksatz}}
 
 
==Handelt es sich um ein faieres Spiel?==
 
{{Aufgaben|6|Formuliere Bedingungen, unter denen du ein Glücksspiel als fair bezeichnen würdest.}}
 


''Zur Wahrscheinlichkeitsverteilung wird in einigen Quellen auf die Wahrscheinlichkeits- und die Verteilungsfunktion eingegangen. Beide würden an dieser Stelle jedoch zu weit führen.''
In der Stochastik liefert uns der Erwartungswert eine Möglichkeit, die Fairness eines Spiels zu beurteilen. Die Zufallsgröße <math>X</math> soll weiterhin den Gewinn beschreiben.  


Erläutere, inwiefern dir auf dieser Seite bereits eine diskrete Zufallsgröße und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung begegnet sind. Beachte mit Blick auf das übergreifende Produkt, welches du zu dieser Seite erstellen sollst insbesondere auch Formelzeichen und Schreibweisen wie <math>X</math> , <math>x_i (x_1,x_2,...)</math> und <math>P(X=...)</math>.


<span class="fa fa-exclamation-circle fa-2x"></span> Eine '''Erläuterung''' geht deutlich über eine reine Zuordung der Begriffe heraus. Die Bedeutung der beiden Begriffe soll in dieser Aufgabe exemplarisch verdeutlicht werden!}}
{{Aufgaben|7|Was muss für den Erwartungswert <math>E(x)</math> gelten, damit das Spiel sowohl aus Sicht des Spielers als auch aus Klaras Sicht als fair bezeichnet werden kann? Überlege zunächst selbst, recherchiere anschließend!


==Handelt es sich um ein faires Spiel?==
Entscheide auf Basis dieser Bedingung, ob Klaras Glücksspiel fair ist.}}


Natürlich kann man bei einem Glücksspiel nicht immer gewinnen. Dennoch lassen sich Kriterien definieren, anhand derer man entscheiden kann, ob das Spiel fair gestaltet ist.
Überprüfe deine Einschätzung:


<div class="multiplechoice-quiz">


{{Aufgaben|4|Formuliere Bedingungen, unter denen du ein Glücksspiel als fair bezeichnen würdest.}}
Ist das Spiel fair? (!Ja) (!Nein, Klara wird benachteiligt.) (Nein, der Spieler wird benachteiligt.)


</div>


{{Aufgaben|5|Angenommen das Glücksspiel wird 1000-mal durchgeführt. Wie oft sind die verschiedenen Gewinnsummen dabei im Idealfall zu erwarten?


Berechne auf Basis der vorhergesagten absoluten Häufigkeiten das arithmetische Mittel der Gewinnsummen.
==Die Auszahlungssummen werden verändert.==
 
Klara passt die Auszahlungsbeträge folgendermaßen an: Bei dreimal „grau” ist der Einsatz von einem € verloren, bei einmal „rot” werden 1,50 € ausgezahlt, bei zweimal „rot” werden 4 € ausgezahlt und bei dreimal „rot” beträgt die Auszahlungssumme 10 €.
 
 
{{Aufgaben|8|Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße <math>Y</math>, durch die die neuen Gewinnbeträge beschrieben werden, auf und berechne den Erwartungswert.}}
 
 
Überprüfe deine Ergebnisse:
 
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
| style="padding:5px" | Gewinnsumme:
| style="padding:5px" | '''-1,00|-1()''' €
| style="padding:5px" | '''0,50|0,5()''' €
| style="padding:5px" | '''3,00|3()''' €
| style="padding:5px" | '''9,00|9()''' €
|-
| style="padding:5px" | Wahrscheinlichkeit:
| style="padding:5px" | '''0,512|64/125()'''
| style="padding:5px" | '''0,384|48/125()'''
| style="padding:5px" | '''0,096|12/125()'''
| style="padding:5px" | '''0,008|1/125()'''
|}
 
</div>
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<math>E(Y)=</math> '''0,04()''' €
 
</div>


{{Lösung versteckt|Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ausgänge eines Glücksspiels bei sehr großer Versuchsanzahl immer weiter den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an.|Tipp 1 anzeigen|Tipp 1 ausblenden}}


{{Lösung versteckt|Nach 1000 Runden können als Schätzwert für die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Gewinnsummen die Wahrscheinlichkeiten aus Aufgabe 2 verwendet werden. Berechne daraus die gesuchten absoluten Häufigkeiten.|Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 ausblenden}}
{{Aufgaben|9|Berechne den Einsatz, den Klara verlangen müsste, damit es sich mit den neuen Auszahlungssummen um ein faires Spiel handelt.


{{Lösung versteckt|Nach 1000 Versuchen hat man im Schnitt ein Gewinn von rund -0,14 € (genauer Wert: -0,144 €) gemacht.|Kontrolllösung anzeigen|Kontrolllösung ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Der Einsatz muss genau so groß sein, wie die durchschnittlich zu erwartende ''Auszahlungssumme''.|Tipp 1 anzeigen|Tipp 1 ausblenden}}
}}


{{Lösung versteckt|Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße <math>Z</math>, die statt des Gewinns die Auszahlungssumme beschreibt.|Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 ausblenden}}


{{Aufgaben|6|Häufig findet man zur berechnung der arithmetischen Mittels zwei verschiedene Formeln:
{{Lösung versteckt|Der Einsatz muss 1,04 € betragen.|Kontrollösung anzeigen|Kontrollösung ausblenden}}
}}




Variante 1, basierend auf den Merkmalsausprägungen <math>x_1,... ,x_k}}</math> und deren absoluten Häufigkeiten <math>H(x_1), ..., H(x_k)</math>:
{{Fortsetzung|vorher=Baumdiagramme und Pfadregeln|vorherlink=Stochastik Einführungsphase NRW/Baumdiagramme und Pfadregeln|weiter=Vierfeldertafeln und bedingte Wahrscheinlichkeiten|weiterlink=Stochastik Einführungsphase NRW/Vierfeldertafeln und bedingte Wahrscheinlichkeiten}}


<math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>


Variante 2, basierend auf den Merkmalsausprägungen <math>x_1,... ,x_k}}</math> und deren relativen Häufigkeiten <math>h(x_1), ..., h(x_k)</math>:


<math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>}}
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Version vom 6. Oktober 2019, 18:45 Uhr



Übergreifende Aufgabe

Erstelle auf Basis der Ergebnisse aller Aufgaben dieser Seite ein Produkt, aus dem die Bedeutung der eingeführten Fachbegriffe sowie die Vorgehensweise zur Berechnung neu eingeführter Werte hervorgeht. Entscheide selbst, in welcher Form du die Inhalte aufbereiten möchtest (z.B. in Textform, als Sketchnote, als Präsentation, ...)

Du darfst diese Aufgabe alleine oder in einer Gruppe von maximal vier Personen bearbeiten.


Grundlagen

Grundlagen

Im Erklärvideo werden wesentliche Grundbegriffe erklärt, die dir auf dieser Seite wieder begegnen werden. Sieh dir zuerst das Video an, bevor du weiter liest.


Gewinnmöglichkeiten beim Glücksrad

Glücksrad zweifarbig.jpg

Klara bietet auf einem Straßenfest ein Glücksspiel an. Das abgebildete Glücksrad wird dreimal gedreht. Wird bei jeder Drehung ein graues Feld getroffen, so verliert man seinen Einsatz von 1,00 €. Wenn bei den drei Drehungen genau einmal ein rotes Feld getroffen wird, werden 1,50 € ausgezahlt, bei zweimal „rot” werden 2,50 € ausgezahlt und bei dreimal „rot” beträgt die Auszahlungssumme 5 €.


Die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Gewinnsummen

Aufgabe 1
Stelle das dreimalige Drehen des Glücksrades in einem Baumdiagramm dar.



Aufgabe 2
Lege eine Tabelle an, in der du in der oberen Zeile die möglichen Gewinnsummen und darunter die Wahrscheinlichkeit, mit der die entsprechende Gewinnsumme erzielt wird, zusammenstellst. Du kannst dein Ergebnis überprüfen, indem du die Werte in die folgende Tabelle einträgst. Alle Werte, die nach einem Klick auf "Prüfen" stehen bleiben, sind korrekt.


Gewinnsumme: -1,00|-1() 0,50|0,5() 1,50|1,5() 4,00|4()
Wahrscheinlichkeit: 0,512|64/125() 0,384|48/125() 0,096|12/125() 0,008|1/125()


Aufgabe 3
Stelle in deinem Ergebnis aus Aufgabe 2 einen Bezug zu den Begriffen Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung her.


Welcher Gewinn ist zu erwarten?

Auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gewinnsummen können wir nun herausfinden, mit welchem Gewinn jemand, der das Glücksspiel spielt, rechnen kann.


Aufgabe 4

Angenommen das Glücksspiel wird 1000-mal durchgeführt. Wie oft sind die verschiedenen Gewinnsummen dabei im Idealfall zu erwarten?

Berechne auf Basis der vorhergesagten absoluten Häufigkeiten das arithmetische Mittel der Gewinnsummen.

Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ausgänge eines Glücksspiels bei sehr großer Versuchsanzahl immer weiter den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an.
Nach 1000 Runden können als Schätzwert für die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Gewinnsummen die Wahrscheinlichkeiten aus Aufgabe 2 verwendet werden. Berechne daraus die gesuchten absoluten Häufigkeiten.

Mit folgender Formel lässt sich das arithmetische Mittel berechnen:

Nach 1000 Versuchen hat man im Schnitt ein Gewinn von rund -0,14 € (genauer Wert: -0,144 €) - also ein Verlust von 0,14 € - gemacht.



Aufgabe 5
Berechne nun den Erwartungswert der Gewinnsumme mithilfe deiner Ergebnisse aus Aufgabe 2 und der Informationen aus dem Video. Sieh dir ggf. den Ausschnitt zum Erwartungswert noch einmal an. Was fällt auf?



Artihmetisches Mittel vs. Erwartungswert
Arithmetisches Mittel Erwartungswert bzw.
  • beschreibt den Durchschnittswert eines vorhandenen Datensatzes
  • basiert auf bereits vorliegenden Häufigkeiten
  • Im Beispiel mit dem Glücksrad muss das Spiel zunächst mehrmals durchgeführt werden, damit auf Basis der bekannten Ausgänge das arithmetische Mittel der tatsächlichen Gewinnsummen berechnet werden kann.
  • beschreibt den zu erwartenden durchschnittlichen Wert, den die Zufallsgröße voraussichtlich annehmen wird
  • basiert auf der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße
  • Im Beispiel mit dem Glücksrad beschreibt der Erwartungswert durchschnittlich zu erwartenden Gewinn der Spieler und ist unabhängig vom tatsächlichen Ausgang des Spiels.


Handelt es sich um ein faieres Spiel?

Aufgabe 6
Formuliere Bedingungen, unter denen du ein Glücksspiel als fair bezeichnen würdest.


In der Stochastik liefert uns der Erwartungswert eine Möglichkeit, die Fairness eines Spiels zu beurteilen. Die Zufallsgröße soll weiterhin den Gewinn beschreiben.


Aufgabe 7

Was muss für den Erwartungswert gelten, damit das Spiel sowohl aus Sicht des Spielers als auch aus Klaras Sicht als fair bezeichnet werden kann? Überlege zunächst selbst, recherchiere anschließend!

Entscheide auf Basis dieser Bedingung, ob Klaras Glücksspiel fair ist.


Überprüfe deine Einschätzung:

Ist das Spiel fair? (!Ja) (!Nein, Klara wird benachteiligt.) (Nein, der Spieler wird benachteiligt.)


Die Auszahlungssummen werden verändert.

Klara passt die Auszahlungsbeträge folgendermaßen an: Bei dreimal „grau” ist der Einsatz von einem € verloren, bei einmal „rot” werden 1,50 € ausgezahlt, bei zweimal „rot” werden 4 € ausgezahlt und bei dreimal „rot” beträgt die Auszahlungssumme 10 €.


Aufgabe 8
Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße , durch die die neuen Gewinnbeträge beschrieben werden, auf und berechne den Erwartungswert.


Überprüfe deine Ergebnisse:

Gewinnsumme: -1,00|-1() 0,50|0,5() 3,00|3() 9,00|9()
Wahrscheinlichkeit: 0,512|64/125() 0,384|48/125() 0,096|12/125() 0,008|1/125()

0,04()


Aufgabe 9

Berechne den Einsatz, den Klara verlangen müsste, damit es sich mit den neuen Auszahlungssummen um ein faires Spiel handelt.

Der Einsatz muss genau so groß sein, wie die durchschnittlich zu erwartende Auszahlungssumme.
Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße , die statt des Gewinns die Auszahlungssumme beschreibt.
Der Einsatz muss 1,04 € betragen.