Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Fehlerarten beim Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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Beim Signifikanztest können zwei Fehlentscheidungen auftreten.<br>
In den Klausuraufgaben wird von euch manchmal gefordert, die Fehlerarten, die bei einem Signifikanztest auftreten können, zu beschreiben. In folgendem Abschnitt soll dies nochmals kurz wiederholt werden und euch praktische Hinweise gegeben werden, wie ihr diese für die Klausuraufgaben beschreiben könnt.<br><br>
Folgende Grafik stellt beide Fehlerarten dar.<br><br>
[[Datei:Richtige und Falsche Entscheidungen.png|800px]]


Folgende Fehlerarten können beim Signifikanztest auftreten:<br><br>
{{Box|1=Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art|2=
{{Box|1=Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art|2=
Der '''Fehler 1. Art''' wird oft auch als <math>\alpha</math>-Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine richtige Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Dieser Fehler wird durch das festgelegte Signifikanzniveau <math>\alpha</math> kontrolliert. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kann also nie größer als das festgelegte Signifkanzniveau <math>\alpha</math> sein. <br><br>
Der '''Fehler 1. Art''' wird oft auch als <math>\alpha</math>-Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers wird durch das festgelegte Signifikanzniveau <math>\alpha</math> kontrolliert. <br><br>
Der '''Fehler 2. Art''' wird oft auch als <math>\beta</math>-Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine falsche Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich dieser Fehler nicht kontrollieren.  
Der '''Fehler 2. Art''' wird oft auch als <math>\beta</math>-Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Eintreten dieses Fehlers nicht kontrollieren.  
|3=Merksatz}}
|3=Merksatz}}
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'''Beispiel:'''<br>
Anmerkung: Der Fehler 1. und 2. Art kann nur berechnet werden, wenn die tatsächliche Verteilung (also p) bekannt ist. Da dies eigentlich nie der Fall ist, ist die Diskussion etwas theoretisch.
Die Fridays For Future Gruppe will zeigen, dass der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (71%) gestiegen ist. Sie wählen die Hypothesen wie folgt:  
 
<math>H_0:p\leq0,71</math> und <math>H_1:p>0,71</math><br>
Zur Veranschaulichung der beiden Fehlerarten betrachten wir wieder unser Beispiel: <br><br>
Die Umweltgruppe will zeigen, dass durch die Fridays For Future Demos der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gestiegen ist. Sie wählen die Hypothesen wie folgt:<br>
<math>H_0:p=0,71</math> und <math>H_1:p>0,71</math><br>
Der tatsächliche Wert, den die Gruppe natürlich nicht weiß, liegt im Jahr 2020 bei 76%. (Hinweis: Es ist ein fiktiver Wert)
Welche Fehler können der Gruppe beim Testen unterlaufen? <br><br>
 
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
Beim Testen können der Fridays For Future Gruppe folgende Fehler unterlaufen:<br>
<u>Fehler 1. Art:</u> Der tatsächliche Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung sehen, beträgt '''weiterhin''' 71%, durch den Test wird aber fälschlicherweise angenommen, dass der Anteil '''gestiegen''' ist. <br>
Der tatsächliche Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung sehen, beträgt '''höchtens''' 71%, durch den Test wird aber angenommen, dass der Anteil '''gestiegen''' ist (Fehler 1. Art). <br>
<u>Fehler 2. Art: </u>Der tatsächliche Anteil liegt''' über''' 71% (in dem Fall bei 76%), der Test erkennt dies aber nicht. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese '''nicht'''.
Zudem kann es passieren, dass der tasächliche Anteil''' über''' 71% liegt, der Test aber fälschlicherweise die Nullhypothese '''nicht verwirft '''(Fehler 2. Art).  
</div>
</div>
Die Grafik veranschaulicht beide Fehlerarten.<br><br>
Der blaue Graph ist der Fall der Nullhypothese <math>H_0</math> und der rote Graph ist die Verteilung, mit der für die Gruppe unbekannten Wahrscheinlichkeit von 2020. Der Fehler 1. Art ist rot markiert und der Fehler 2. Art grün.<br><br>
[[Datei:Grafikfehlerarten.png|800px]]


{{Box|1=Übung 1: Fehlerarten bestimmen|2=
{{Box|1=Übung 1: Fehlerarten bestimmen|2=
Die eine Patrei in Deutschland, die erhofft das ihre Argumente gegen den Klimwandel bei der Bevölkerung angekommen sind, testet ob der Anteil der Menschen, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen im Vergleich zur 2019(71%) gesunken ist. Sie testen mit folgenden Hypothesen:
Die Partei, die den Klimawandel nicht als Bedrohung sieht, hofft, dass ihre Argumente im letzten Jahr gegen die Bedrohung des Klimawandels bei der Bevölkerung angekommen sind. Die Partei interessiert sich, ob dadurch der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gesunken ist. Sie testen mit folgenden Hypothesen:
<br><math>H_0:p\geq0,71</math> und <math>H_1:p<0,71</math><br><br>
<br><math>H_0:p=0,71</math> und <math>H_1:p<0,71</math><br><br>
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art besteht.  
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art im Kausalzusammenhang besteht.
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Der Fehler 1. Art besteht daraus, dass mindestens 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch den Test aber aber vermutet wird, dass der Anteil gesunken ist.  
Der Fehler 1. Art besteht darin, dass weiterhin 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch den Test aber fälschlicherweise vermutet wird, dass der Anteil gesunken ist.  
}}
}}
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art besteht.  
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art im Kausalzusammenhang besteht.
  {{Lösung versteckt|1=
  {{Lösung versteckt|1=
Der Fehler 2. Art besteht daraus, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, der Test aber die Nullhypothese fälschlicherweise aber nicht verwirft.
Der Fehler 2. Art besteht darin, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, der Test dies aber nicht erkennt. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.
}}
}}


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{{Fortsetzung|weiter=Klausurtraining - Signifikanztest|weiterlink=Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Klausurtraining_-_Signifikanztest}}

Aktuelle Version vom 9. März 2020, 13:33 Uhr

In den Klausuraufgaben wird von euch manchmal gefordert, die Fehlerarten, die bei einem Signifikanztest auftreten können, zu beschreiben. In folgendem Abschnitt soll dies nochmals kurz wiederholt werden und euch praktische Hinweise gegeben werden, wie ihr diese für die Klausuraufgaben beschreiben könnt.

Folgende Fehlerarten können beim Signifikanztest auftreten:

Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Der Fehler 1. Art wird oft auch als -Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers wird durch das festgelegte Signifikanzniveau kontrolliert.

Der Fehler 2. Art wird oft auch als -Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Eintreten dieses Fehlers nicht kontrollieren.

Anmerkung: Der Fehler 1. und 2. Art kann nur berechnet werden, wenn die tatsächliche Verteilung (also p) bekannt ist. Da dies eigentlich nie der Fall ist, ist die Diskussion etwas theoretisch.

Zur Veranschaulichung der beiden Fehlerarten betrachten wir wieder unser Beispiel:

Die Umweltgruppe will zeigen, dass durch die Fridays For Future Demos der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gestiegen ist. Sie wählen die Hypothesen wie folgt:
und
Der tatsächliche Wert, den die Gruppe natürlich nicht weiß, liegt im Jahr 2020 bei 76%. (Hinweis: Es ist ein fiktiver Wert) Welche Fehler können der Gruppe beim Testen unterlaufen?

Fehler 1. Art: Der tatsächliche Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung sehen, beträgt weiterhin 71%, durch den Test wird aber fälschlicherweise angenommen, dass der Anteil gestiegen ist.
Fehler 2. Art: Der tatsächliche Anteil liegt über 71% (in dem Fall bei 76%), der Test erkennt dies aber nicht. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.

Die Grafik veranschaulicht beide Fehlerarten.

Der blaue Graph ist der Fall der Nullhypothese und der rote Graph ist die Verteilung, mit der für die Gruppe unbekannten Wahrscheinlichkeit von 2020. Der Fehler 1. Art ist rot markiert und der Fehler 2. Art grün.

Grafikfehlerarten.png


Übung 1: Fehlerarten bestimmen

Die Partei, die den Klimawandel nicht als Bedrohung sieht, hofft, dass ihre Argumente im letzten Jahr gegen die Bedrohung des Klimawandels bei der Bevölkerung angekommen sind. Die Partei interessiert sich, ob dadurch der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gesunken ist. Sie testen mit folgenden Hypothesen:
und

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art im Kausalzusammenhang besteht.

Der Fehler 1. Art besteht darin, dass weiterhin 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch den Test aber fälschlicherweise vermutet wird, dass der Anteil gesunken ist.

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art im Kausalzusammenhang besteht.

Der Fehler 2. Art besteht darin, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, der Test dies aber nicht erkennt. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.