Quadratische Funktionen erforschen/Die Parameter der Scheitelpunktform: Unterschied zwischen den Versionen

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'''b)''' Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion <math>y=(x+3)^2</math>.
 
'''b)''' Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion <math>y=(x+3)^2</math>.
 
<popup name="Hilfe">'''1.''' Zeichne eine Tabelle wie sie in Aufgabenteil a) dargestellt ist in deinen Hefter.
 
 
'''2.''' Füge zunächst nur die x-Werte hinzu, für die du die Tabelle erstellen möchtest - zum Beispiel von -6 bis 2.
 
 
'''3.''' Wie ist der Term <math>y=(x+3)^2</math> im Vergleich zu <math>y=x^2</math> verschoben? Schau dir an, mit welchem Trick Merle und Fabian die Tabelle in Aufgabenteil a) erstellt haben.</popup>
 
  
 
<popup name="Lösung">
 
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::(1) <math>y=x^2+3</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=x^2-3</math>  ?
 
::(1) <math>y=x^2+3</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=x^2-3</math>  ?
 
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  
 
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  
<popup name="Hilfe">Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die beiden Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.</popup>
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'''b)''' Zeichne die beiden Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren? }}
 
'''b)''' Zeichne die beiden Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren? }}
  
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[[Datei:Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|850px|Funktionen für Aufgabe]]
 
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<popup name="Hilfe">Nutze für die Abstände auf der x- und y-Achse jeweils 1&nbsp;Kästchen und gehe in Einserschritten voran.</popup>
 
  
 
<popup name="Lösung">[[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 1.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 1]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 2.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 2]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 3.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 3]]</popup>
 
<popup name="Lösung">[[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 1.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 1]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 2.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 2]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 3.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 3]]</popup>
  
'''b)''' Formuliere einen Tipp, wie du, wenn du das Koordinatensystem für die Funktion <math>(1)  y=0,5\cdot x^2+2</math> gezeichnet hast, ganz einfach auf das Koordinatensystem für die Funktion <math>(4)  y=0,5\cdot x^2+5</math> kommen kannst. Worin unterscheiden sich die Lagen der beiden Funktionsgraphen?
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'''b)''' Formuliere einen Tipp, wie du, wenn du das Koordinatensystem für die Funktion <math>(1)  y=0,5\cdot x^2+2</math> gezeichnet hast, ganz einfach auf das Koordinatensystem für die Funktion <math>(4)  y=0,5\cdot x^2+5</math> kommen kannst. Worin unterscheiden sich die Lagen der beiden Funktionsgraphen?}}
 
 
<popup name="Beispiel-Tipp">[[Datei:Beispiel-Tipp Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|600px|Beispiel-Tipp]]</popup>}}
 
  
  
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'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 2-3) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 2-3) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
  
Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.
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Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.}}
 
 
<popup name="Beispiel">
 
[[Datei:Beispiel Merksatz.png|rahmenlos|Faktor a|500px]]</popup>}}
 
  
  

Version vom 25. August 2017, 16:26 Uhr


In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst
1. herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
2. entdecken, welche Parameter es in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen gibt.

Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.


Quadratische Funktionen verändern

Wenn du dir die Bilder von der Seite Quadratische Funktionen im Alltag noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x2) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.


Golden Gate Brücke Lichtspiele
Bergmassiv Parabel Elbphilharmonie


Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.


Vorlage:Video Video: Parabelflug des DLR


Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der Vorlage:Pdf-extern des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16 (31) angucken.


Strecken, Stauchen und Spiegeln

Vorlage:Achtung-blau


Aufgabe 1
{{{2}}}



In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, als Funktion '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"' eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler a betätigen und dadurch den Graph '"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"' verändern. Was passiert?



Aufgabe 2

In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.




Aufgabe 3

Knobelaufgabe

Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.



Merke

Multipliziert man '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"' mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. '"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"' (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.


Verschiebung in x-Richtung

Aufgabe 4
{{{2}}}


In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler d betätigen und dadurch den Graph verändern.



Aufgabe 5
x



Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für '"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"' gilt:

d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.

d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.


Verschiebung in y-Richtung

Aufgabe 6


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 6) Notizblock mit Bleistift.


Was passiert, wenn man statt der Funktion '"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"' folgende Funktionen gegeben hat:

(1) '"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"'          (2) '"`UNIQ--postMath-00000010-QINU`"' ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Zeichne die beiden Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler e betätigen und dadurch den Graph verändern.



Aufgabe 7
{{{2}}}



Aufgabe 8
{{{2}}}



Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von , wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für gilt:

e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.

e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.


Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte

Aufgabe 9


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 2-3) Notizblock mit Bleistift.

Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.



Merke

Multipliziert man mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.



Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für gilt:

d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.

d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.



Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von , wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für gilt:

e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.

e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.


Ausblick

Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktion der Form . Diese Form heißt Scheitelpunktform, da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel angeben.

Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.


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Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)