Quadratische Funktionen erforschen/Die Parameter der Scheitelpunktform: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erforschen}}}}


{{Quadratische Funktionen erforschen}}
{{Box
 
|
 
|In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst
{| {{Bausteindesign6}}
#herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
#entdecken, welche Parameter es in der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] quadratischer Funktionen gibt.  
| In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst
 
:1. herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
 
:2. entdecken, welche Parameter es in der [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] quadratischer Funktionen gibt.  


Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.
Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.
|Kurzinfo
}}


|}


== Quadratische Funktionen verändern ==
Wenn du dir die Bilder von der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen im Alltag|Quadratische Funktionen im Alltag]] noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x<sup>2</sup>) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.


=='''Quadratische Funktionen verändern'''==
<gallery mode="packed-hover"><gallery mode="packed-hover">
Wenn du dir die Bilder von der Seite [[Quadratische Funktionen erforschen/Quadratische Funktionen im Alltag|Quadratische Funktionen im Alltag]] noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x<sup>2</sup>) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.
Datei:Golden-gate-bridge-388917 640.jpg
Datei:Planten un Blomen.JPG
Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg
Datei:Elbphilharmonie Hamburg.JPG
</gallery>




{|
|[[Datei:Golden-gate-bridge-388917 640.jpg|rahmenlos|Golden Gate Brücke|380px]]||[[Datei:Planten un Blomen.JPG|rahmenlos|Lichtspiele|360px]]
|-
|[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|rahmenlos|Bergmassiv Parabel|380px]]||[[Datei:Elbphilharmonie Hamburg.JPG|rahmenlos|Elbphilharmonie|320px]]
|}


Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.  
Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.  




{{Video}} [http://www.dlr.de/portaldata/1/resources//webcast/dlr_parabelfluege_320x240.mp4 Video: Parabelflug des DLR]
[https://www.dlr.de/content/de/video/2021/frank-fischer-beim-parabelflug.html Video: Parabelflug des DLR]




Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der {{pdf-extern|http://www.dlr.de/rd/Portaldata/28/Resources/dokumente/publikationen/Broschuere_Parabelflug_lowres.pdf|Broschüre}} des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16&nbsp;(31) angucken.
Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der [https://www.dlr.de/content/de/downloads/publikationen/broschueren/parabelflug-broschuere.pdf?__blob=publicationFile&v=17 Broschüre] des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16&nbsp;(31) angucken.




=='''Strecken, Stauchen und Spiegeln'''==
== Strecken, Stauchen und Spiegeln==


{{Achtung-blau
{{Box
|Titel=
|Achtung
|Text=Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Parameter der Normalform|die Parameter der Normalform]]. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt '''"Verschiebung in x-Richtung"'''.}}
|Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Die Parameter der Normalform|die Parameter der Normalform]]. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt [[#Verschiebung in x-Richtung|"Verschiebung in x-Richtung"]].
|Hervorhebung1
}}




{{Aufgaben|1|
{{Box
|1=Aufgabe 1
|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1) <math>y=2x^2</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3) <math>y=-x^2</math> ?
::(1) <math>y=2x^2</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3) <math>y=-x^2</math> ?
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  


'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?




In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>a=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=a\cdot x^2</math> verändert.
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>a=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=a \cdot x^2</math> verändert.  
<ggb_applet width="100%" height="500" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="eK5MmMmb" />


<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/eK5MmMmb/width/700/height/500/border/888888" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>
{{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
<popup name="Lösung">Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:


1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''schmaler'''.
1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''schmaler'''.
Zeile 68: Zeile 62:
2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''breiter'''.
2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''breiter'''.


3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''"umgedreht"'''.</popup>}}
3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''"umgedreht"'''.}}|3=Arbeitsmethode}}




{{Aufgaben|2|In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.
{{Box
|Aufgabe 2
|In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.


{{LearningApp|app=pysv88tea18|height=400px}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pysv88tea18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Lösung versteckt|Wenn a kleiner Null ist (<math>a<0</math>), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
<popup name="Lösung">Wenn a kleiner Null ist (a<0), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
 
Wenn a größer Null ist (a>0), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.
Wenn a größer Null ist (<math>a>0</math>), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.
Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt (-1<a<1), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel.
Wenn a kleiner als minus Eins (a<-1) oder größer als Eins ist (a>1), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.</popup>}}


Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt (<math>-1<a<1</math>), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel.


{{Aufgaben|3|'''Knobelaufgabe'''
Wenn a kleiner als minus Eins (<math>a<-1</math>) oder größer als Eins ist (<math>a>1</math>), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.}}|Arbeitsmethode
}}


Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.


<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pcssvbrfj16" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="false"></iframe>}}
{{Box
|Aufgabe 3
|'''Knobelaufgabe'''


Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.
{{LearningApp|app=pcssvbrfj16|height=500px}}
|Arbeitsmethode
}}


{{Aufgaben|4|


'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
{{Box|1=Aufgabe 4|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.}}
Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|3=Arbeitsmethode}}  
{{Merke-blau|
{{Box
Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
|Merke
|Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:


'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
Zeile 104: Zeile 105:
'''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
'''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.


Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.}}
Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
|Merksatz
}}


== Verschiebung in x-Richtung ==


=='''Verschiebung in x-Richtung'''==
{{Box
 
|Aufgabe 5
 
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 5) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
{{Aufgaben|5|
 
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 5) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 


Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
Zeile 120: Zeile 120:
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  


'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?




In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>d=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=(x-d)^2</math> verändert.
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>d=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=(x-d)^2</math> verändert.  


<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/grh32PSP/width/700/height/500/border/888888" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>
<ggb_applet width="100%" height="478" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="grh32PSP" />
<popup name="Lösung">Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
{{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:


1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach rechts verschoben'''.
1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach rechts verschoben'''.


2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach links verschoben'''.</popup>}}
2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach links verschoben'''.}}
 
|Arbeitsmethode
 
}}
{{Aufgaben|6|
 
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


{{Box
|Aufgabe 6
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Fabians Vermutung darüber, wie sich der Graph einer Funktion verändert, wenn man zu dem x‑Wert etwas addiert oder subtrahiert steht im Widerspruch zu seinen Beobachtungen in dem Applet. Merle versucht diesen vermeintlichen Widerspruch mit Hilfe einer Tabelle zu erklären.
Fabians Vermutung darüber, wie sich der Graph einer Funktion verändert, wenn man zu dem x‑Wert etwas addiert oder subtrahiert steht im Widerspruch zu seinen Beobachtungen in dem Applet. Merle versucht diesen vermeintlichen Widerspruch mit Hilfe einer Tabelle zu erklären.


'''a)''' Lies dir die Unterhaltung von Fabian und Merle durch und versuche die Begründung nachzuvollziehen.
'''a)''' Lies dir die Unterhaltung von Fabian und Merle durch und versuche die Begründung nachzuvollziehen.
 
[[Datei:Verschiebung horizontal.JPG|rahmenlos|center|Gespräch horizontale Verschiebung|750px]]  
 
[[Datei:Verschiebung horizontal.JPG|rahmenlos|Gespräch horizontale Verschiebung|750px]]  
 
'''b)''' Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion <math>y=(x+3)^2</math>.
'''b)''' Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion <math>y=(x+3)^2</math>.


<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|1=Die Tabelle für <math>y=(x+3)^2</math> sieht wie folgt aus:
Die Tabelle für <math>y=(x+3)^2</math> sieht wie folgt aus:


{| class="wikitable float left"
{{{!}} class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
{{!}}-
 
{{!}} '''x''' {{!}}{{!}} -6 {{!}}{{!}} -5 {{!}}{{!}} -4 {{!}}{{!}} -3 {{!}}{{!}} -2 {{!}}{{!}} -1 {{!}}{{!}} 0 {{!}}{{!}} 1 {{!}}{{!}} 2
| style="width:3em"|'''x'''||style="text-align:center"|-6 ||style="text-align:center"|-5 ||style="text-align:center"|-4 ||style="text-align:center"|-3 ||style="text-align:center"|-2 ||style="text-align:center"|-1 ||style="text-align:center"|0 ||style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"|2  
{{!}}-
 
{{!}} '''y''' {{!}}{{!}} 9 {{!}}{{!}} 4 {{!}}{{!}} 1 {{!}}{{!}} 0 {{!}}{{!}} 1 {{!}}{{!}} 4 {{!}}{{!}} 9 {{!}}{{!}} 16 {{!}}{{!}} 25
|-
{{!}}}
| style="width:3em"|'''y'''||style="text-align:center"|9 || style="text-align:center"|4||style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"|0 ||style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"|4 ||style="text-align:center"|9 ||style="text-align:center"|16 ||style="text-align:center"|25
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
|Arbeitsmethode
|}</popup>
}}
}}




{{Aufgaben|7|
{{Box|Aufgabe 7|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.}}
Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|Arbeitsmethode}}
{{Merke-blau|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt:
{{Box
|Merke
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt:


'''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
'''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.


'''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.}}
'''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
 
|Merksatz
 
}}
=='''Verschiebung in y-Richtung'''==
 
 
{{Aufgaben|8|
 
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


== Verschiebung in y-Richtung ==
{{Box
|Aufgabe 8
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1) <math>y=x^2+3</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=x^2-3</math> ?
::(1) <math>y=x^2+3</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=x^2-3</math> ?
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  


'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?




In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>e=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=x^2+e</math> verändert.
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>e=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=x^2+e</math> verändert.


<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HcpKPj4G/width/700/height/550/border/888888" width="700px" height="550px" style="border:0px;"> </iframe>
<ggb_applet id="HcpKPj4G" width="677" height="550" border="888888" />
<popup name="Lösung">Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
{{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:


1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach oben verschoben'''.
1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach oben verschoben'''.


2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach unten verschoben'''.</popup>}}
2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach unten verschoben'''.}}
 
|Arbeitsmethode
}}


{{Aufgaben|9|


'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7-8) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
{{Box
|Aufgabe 9
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7-8) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].




Zeile 211: Zeile 205:
[[Datei:Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|850px|Funktionen für Aufgabe]]
[[Datei:Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|850px|Funktionen für Aufgabe]]


<popup name="Lösung">[[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 1.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 1]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 2.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 2]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 3.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 3]]</popup>
{{Lösung versteckt|[[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 1.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 1]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 2.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 2]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 3.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 3]]}}


'''b)''' Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion <math>(1)  y=0,5\cdot x^2+2</math> gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion <math>(4)  y=0,5\cdot x^2+5</math>? Formuliere einen Tipp.
'''b)''' Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion <math>(1)  y=0,5\cdot x^2+2</math> gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion <math>(4)  y=0,5\cdot x^2+5</math>? Formuliere einen Tipp.


<popup name="Lösung">Das Koordinatensystem von (4) ist um genau drei Einheiten nach unten verschoben.</popup>}}
{{Lösung versteckt|Das Koordinatensystem von (4) ist um genau drei Einheiten nach unten verschoben.}}
 
|Arbeitsmethode
 
}}
{{Aufgaben|10|
 
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


{{Box
|Aufgabe 10
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form <math>f(x)=x^2+9</math> und <math>f(x)=(x+3)^2</math>. Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios Problem überlegst.
Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form <math>f(x)=x^2+9</math> und <math>f(x)=(x+3)^2</math>. Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios Problem überlegst.


[[Datei:Lucio, Fabian Binomische Formel.png|rahmenlos|Unterhaltung zu typischem Fehler|600px]]
[[Datei:Lucio, Fabian Binomische Formel.png|rahmenlos|center|Unterhaltung zu typischem Fehler|600px]]


{{Lösung versteckt
|<math>f(x)=(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9</math> (1. Binomische Formel)}}
|Arbeitsmethode
}}


<popup name="Lösung"> <math>f(x)=(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9</math> (1. Binomische Formel)</popup>}}


 
{{Box|Aufgabe 11|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 3) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
{{Aufgaben|11|
 
Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|Arbeitsmethode}}
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 3) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.}}
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt:
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Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt:


'''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
'''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.


'''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.}}
'''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
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== Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte ==


=='''Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte'''==
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|Hier sind die Merksätze, die dir auf dieser Seite begegnet sind, noch einmal gesammelt dargestellt.
|Kurzinfo
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{| {{Bausteindesign6}}
{{Box|Merke
|Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
| Hier sind die Merksätze, die dir auf dieser Seite begegnet sind noch einmal gesammelt dargestellt:
 
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Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:


'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
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Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.}}
Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
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Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt:
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|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt:


'''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
'''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.


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'''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
|Merksatz
}}
 


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Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt:
|Merke
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt:


'''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
'''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.


'''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.}}
'''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
|Merksatz
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Die auf dieser Seite gewonnen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische Funktionen der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math>. Diese Form heißt '''Scheitelpunktform''', da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes <math>S(d|e)</math> der Parabel angeben.  
Die auf dieser Seite gewonnen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische Funktion der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math>. Diese Form heißt '''Scheitelpunktform''', da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes <math>S(d|e)</math> der Parabel angeben.  


Auf der [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[Quadratische Funktionen erforschen/Übungen|Übungen]].
Auf der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Scheitelpunktform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Übungen|Übungen]].


{{Fortsetzung|weiter=Die Scheitelpunktform|weiterlink=Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform}}


Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])


[[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|rechts|link=Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform]]  
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]
[[Kategorie:GeoGebra]]
 
 
 
Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])

Aktuelle Version vom 14. Mai 2022, 02:40 Uhr


In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst

  1. herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
  2. entdecken, welche Parameter es in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen gibt.

Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.


Quadratische Funktionen verändern

Wenn du dir die Bilder von der Seite Quadratische Funktionen im Alltag noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x2) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.


Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.


Video: Parabelflug des DLR


Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der Broschüre des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16 (31) angucken.


Strecken, Stauchen und Spiegeln

Achtung

Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel die Parameter der Normalform. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt "Verschiebung in x-Richtung".


Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) Notizblock mit Bleistift.

Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:

(1) ,          (2)      und     (3)  ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph verändert.

GeoGebra

Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:

1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel schmaler.

2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel breiter.

3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel "umgedreht".


Aufgabe 2

In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.


Wenn a kleiner Null ist (), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.

Wenn a größer Null ist (), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.

Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt (), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel.

Wenn a kleiner als minus Eins () oder größer als Eins ist (), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.


Aufgabe 3

Knobelaufgabe

Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.


Aufgabe 4

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) Notizblock mit Bleistift.

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.
Merke

Multipliziert man mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.

Verschiebung in x-Richtung

Aufgabe 5

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 5) Notizblock mit Bleistift.

Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:

(1)           (2)  ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph verändert.

GeoGebra

Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:

1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel nach rechts verschoben.

2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel nach links verschoben.


Aufgabe 6

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) Notizblock mit Bleistift.

Fabians Vermutung darüber, wie sich der Graph einer Funktion verändert, wenn man zu dem x‑Wert etwas addiert oder subtrahiert steht im Widerspruch zu seinen Beobachtungen in dem Applet. Merle versucht diesen vermeintlichen Widerspruch mit Hilfe einer Tabelle zu erklären.

a) Lies dir die Unterhaltung von Fabian und Merle durch und versuche die Begründung nachzuvollziehen.

Gespräch horizontale Verschiebung

b) Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion .

Die Tabelle für sieht wie folgt aus:

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
y 9 4 1 0 1 4 9 16 25


Aufgabe 7

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) Notizblock mit Bleistift.

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.
Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für gilt:

d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.

Verschiebung in y-Richtung

Aufgabe 8

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) Notizblock mit Bleistift.

Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:

(1)           (2)  ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph verändert.

GeoGebra

Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:

1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel nach oben verschoben.

2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel nach unten verschoben.


Aufgabe 9

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7-8) Notizblock mit Bleistift.


Graphen zeichnen einmal „verkehrt herum”: Bei dieser Aufgabe sind die Funktionsgraphen und Terme bereits gezeichnet bzw. angegeben. Was fehlt, sind die passenden Koordinatensysteme.

a) Zeichne in deinem Hefter die passenden Koordinatensysteme für drei der quadratischen Funktionen:

Funktionen für Aufgabe

Lösungsteil 1Lösungsteil 2Lösungsteil 3

b) Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion ? Formuliere einen Tipp.

Das Koordinatensystem von (4) ist um genau drei Einheiten nach unten verschoben.


Aufgabe 10

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8) Notizblock mit Bleistift.

Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form und . Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios Problem überlegst.

Unterhaltung zu typischem Fehler
(1. Binomische Formel)


Aufgabe 11

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 3) Notizblock mit Bleistift.

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.
Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von , wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für gilt:

e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.

e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.

Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte

Hier sind die Merksätze, die dir auf dieser Seite begegnet sind, noch einmal gesammelt dargestellt.


Merke

Multipliziert man mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.


Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für gilt:

d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.


Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von , wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für gilt:

e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.

e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.


Ausblick

Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktion der Form . Diese Form heißt Scheitelpunktform, da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel angeben.

Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.

Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)