Quadratische Funktionen/Kapitel 5: Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a: Unterschied zwischen den Versionen

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Main>Michael Schober
K (Satzbau Satzzeichen Rechtschreibung)
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{{Lernpfad-M|<big>'''Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a'''</big>
__NOTOC__
 
{{Box|1=Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a|2=


'''In diesem Lernpfad werden alle erlernten Parameter zusammengeführt! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''
'''In diesem Lernpfad werden alle erlernten Parameter zusammengeführt! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''


*'''Die Scheitelpunktsform und der Parameter a'''
*Die Scheitelpunktsform und der Parameter a
*'''Aufgaben zu "f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"'''
*Aufgaben zu "f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"  
*'''Die Normalform und der Parameter a'''
*Die Normalform und der Parameter a
*'''Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion'''
*Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion
}}
|3=Lernpfad}}


{{Navigation verstecken|{{Vorlage:Quadratische Funktion}}}}


Aus den vorherigen Lerneinheiten kennst du die Eigenschaften der einzelnen Parameter.  
Aus den vorherigen Lerneinheiten kennst du die Eigenschaften der einzelnen Parameter.  


Du weißt zum einen, dass der Vorfaktor a für eine Streckung, Stauchung und Spiegelung der Parabel verantwortlich ist und zum anderen, dass die Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> eine Verschiebung der Parabel in der Ebene bewirken.  
Du weißt zum einen, dass der Vorfaktor a für eine Streckung, Stauchung und Spiegelung der Parabel verantwortlich ist und zum anderen, dass die Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> eine Verschiebung der Parabel in der Ebene bewirken.  
Wir wollen im Folgenden, diese Eigenschaften, zusammen mit der Scheitelpunkts- und Normalform betrachten.
Wir wollen im Folgenden diese Eigenschaften zusammen mit der Scheitelpunkts- und Normalform betrachten.


Als erstes beginnen wir mit der Scheitelpunktsform und dem Parameter a.
Als erstes beginnen wir mit der Scheitelpunktsform und dem Parameter a.




==STATION 1: Die Scheitelpunktsform und der Parameter a==


 
{{Box|1=Quadratische Funktion "f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"|2=
<div align="center"><big><u>'''STATION 1: Die Scheitelpunktsform und der Parameter a'''</u></big></div>
<br>
{| {{Prettytable}}
|- style="background-color:#8DB6CD"
! Quadratische Funktion "f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"!! Hinweise, Aufgabe und Lückentext:
|-
| <ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" filename="Verschiebendergqf.ggb" /> ||
 
'''Aufgabe:'''


* Versuche mit Hilfe des "GeoGebra-Applets" den Lückentext zu lösen  
* Versuche mit Hilfe des "GeoGebra-Applets" den Lückentext zu lösen  
Zeile 35: Zeile 28:
* Bediene dafür die Schieberegler a, y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub>, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter ins Gedächtnis zu holen
* Bediene dafür die Schieberegler a, y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub>, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter ins Gedächtnis zu holen


* Ziehe mit gehaltener, linker Maustaste, das passende Puzzleteil in die freien Felder


<ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" id="hd52ksfn" />


'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br>  
'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br>  
Zeile 42: Zeile 35:
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
Die Scheitelpunktsform mit dem Paramter a besitzt die Gleichung '''y = a[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''. Die allgemeine Scheitelpunktsform wird dabei um den Parameter '''a''' erweitert. Dadurch kommt neben der '''Verschiebung''' der Parabel noch die '''Streckung, Stauchung und Spiegelung''' dazu. Ferner gilt festzuhalten, dass sowohl die Verschiebung der Parabel in der '''Ebene''', sowie die Veränderung durch den Vorfaktor a, '''unabhängig''' voneinander betrachtet werden.
Die Scheitelpunktsform mit dem Paramter a besitzt die Gleichung '''y = a[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''. Die allgemeine Scheitelpunktsform wird dabei um den Parameter '''a''' erweitert. Dadurch kommt neben der '''Verschiebung''' der Parabel noch die '''Streckung, Stauchung und Spiegelung''' dazu. Ferner gilt festzuhalten, dass sowohl die Verschiebung der Parabel in der '''Ebene''', sowie die Veränderung durch den Vorfaktor a, '''unabhängig''' voneinander betrachtet werden.
</div>|3=Arbeitsmethode}}
</div>
 
|}


<br><br><br>


Um die wichtigsten Eigenschaften aller Parameter zu wiederholen, lies das folgende Merke und überprüfe, ob dir alle Eigenschaften klar sind.
Um die wichtigsten Eigenschaften aller Parameter zu wiederholen, lies den folgenden Merksatz und überprüfe, ob dir alle Eigenschaften klar sind.




{{Merke|
{{Box|1=Zusammenfassung|2=
Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' gilt:   
Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' gilt:   
* Für den Parameter a gilt:
* Für den Parameter a gilt:
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** Für '''y<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung nach '''oben'''
** Für '''y<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung nach '''oben'''
** Für '''y<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten'''
** Für '''y<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten'''
}}
|3=Merksatz}}
 
Nachdem du nun dein Wissen aufgefrischt hast, kann auch gleich geübt werden!
 
 
 
 
 
<div align="center"><big><u>'''STATION 2: Aufgaben zu "f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"'''</u></big></div>
 




<big>'''1. Aufgabe:'''</big>
==STATION 2: Aufgaben zu "f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"==


Du siehst hier sowohl ein paar Graphen, als auch ein paar Funktionsvorschriften der Form  
{{Box|1=Ordne den Graphen die richtige Funktionsvorschrift|2=Du siehst hier sowohl ein paar Graphen, als auch ein paar Funktionsvorschriften der Form  
"f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>". Versuche die jeweils richtigen Pärchen zu finden.  
"f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>". Versuche die jeweils richtigen Pärchen zu finden.  


<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
{{{!}}
{{!}}-
{{!}} [[Bild:Parabelkeins.png|180px]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}  [[Bild:Parabelkzwei.png|180px]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}  [[Bild:Parabelkdrei.png|180px]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}  [[Bild:Parabelkvier.png|180px]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}  [[Bild:Parabelkfünf.png|180px]]
{{!}}-
{{!}} <strong> y = [x - 2,5]<sup>2</sup> - 1,5 </strong>  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> y = -4[x + 2]<sup>2</sup> + 1 </strong> {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> y = [x + 3,5]<sup>2</sup>  </strong> {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> y = 5[x + 2,5]<sup>2</sup> + 2 </strong> {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> y = 2[x - 4]<sup>2</sup> - 3 </strong>
{{!}}}</div>|3=Arbeitsmethode}}


{|
|-
| [[Bild:Parabelkeins.png|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkzwei.png|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkdrei.png|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkvier.png|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkfünf.png|180px]]
|-
| <strong> y = [x - 2,5]<sup>2</sup> - 1,5 </strong>  |||| <strong> y = -4[x + 2]<sup>2</sup> + 1 </strong> |||| <strong> y = [x + 3,5]<sup>2</sup>  </strong> |||| <strong> y = 5[x + 2,5]<sup>2</sup> + 2 </strong> |||| <strong> y = 2[x - 4]<sup>2</sup> - 3 </strong>
|}
</div>


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Ich nehme an, dass das kein Problem für dich war. Bei dieser Aufgabe war es nämlich noch nicht nötig den Vorfaktor a zu bestimmen.   
Ich nehme an, dass das kein Problem für dich war. Bei dieser Aufgabe war es nämlich noch nicht nötig den Vorfaktor a zu bestimmen.   


Zeile 123: Zeile 84:




{{Box|1=Finde zu den zwei Graphen die passende Funktionsvorschrift!|2=


Falls du nicht genau weißt, wie du vorgehen sollst, schau dir die Hilfe an!


<big>'''2. Aufgabe:'''</big>


Finde zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsvorschrift!
[[Bild:ParabelAufgabe2Station2-2.jpg|center]]


Falls du nicht genau weißt, wie du vorgehen sollst, öffne die anschließende Hilfe!
'''Wie ist dein Ergebnis:'''


Tipp! Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei "f(x) = ax<sup>2</sup>".
<div class="multiplechoice-quiz">


Nach dem Bild wird dein Ergebnis abgefragt.  
'''1. Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph a?''' (!y <math>=</math> 1[x - 4]<sup>2</sup> - 3) (!y <math>=</math> 3[x – 4]<sup>2</sup> + 3) (y <math>=</math> 2[x – 4]<sup>2</sup> - 3)


</div>


[[Bild:ParabelAufgabe2Station2-2.jpg|left]]
<div class="multiplechoice-quiz">
<br>
 
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'''2. Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph b?''' (!y <math>=</math> -2[x + 2]<sup>2</sup> + 1) (y <math>=</math> -4[x + 2]<sup>2</sup> + 1) (!y <math>=</math> -0,5[x + 2]<sup>2</sup> + 1)
<br>
</div>
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|3=Arbeitsmethode}}
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'''Hilfe:''' <br>
'''Hilfe:''' <br>
{{versteckt|
{{Box|1=Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a|2=
{{Merke|
'''Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:''' <br>
* Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt<br>
* Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt<br>
* Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts <br>
* Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts <br>
Zeile 173: Zeile 113:
* Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, dann ist der Wert von a positiv <br>
* Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, dann ist der Wert von a positiv <br>
* Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, dann ist der Wert von a negativ  <br>
* Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, dann ist der Wert von a negativ  <br>
}}
|3=Merksatz}}
}}
<br>
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'''Wie ist dein Ergebnis:'''


<div class="multiplechoice-quiz">


'''a] Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph?''' (!y <math>=</math> 1[x - 4]<sup>2</sup> - 3 ) (!y <math>=</math> 3[x – 4]<sup>2</sup> + 3 ) (y <math>=</math> 2[x – 4]<sup>2</sup> - 3 )
{{Box|1=Betrachte die Funktionsvorschriften genau und kreuze die richtigen Aussagen an!|2=
</div>
<br>
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
'''b] Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph?''' (!y =<math>=</math> -2[x + 2]<sup>2</sup> + 1) (y = <math>=</math> -4[x + 2]<sup>2</sup> + 1) (!y <math>=</math> -0,5[x + 2]<sup>2</sup> + 1)
</div>
<br>
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<big>'''3. Aufgabe - Multiple Choice:'''</big>
 
Betrachte die Funktionsvorschriften genau und kreuze die richtigen Aussagen an.
Achtung! Es können auch mehrere Antworten richtig sein!  
Achtung! Es können auch mehrere Antworten richtig sein!  


<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">


'''"f(x) <math>=</math> -2x<sup>2</sup> + 5"''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei [0, 5]) (Die Parabel ist gestreckt) (!Die Parabel ist gestaucht) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)
'''"f(x) <math>=</math> -2x<sup>2</sup> + 5"''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei <math>[0 \vert 5]</math>) (Die Parabel ist gestreckt) (!Die Parabel ist gestaucht) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)


'''"f(x) <math>=</math> (x - 3)<sup>2</sup> - 2"''' (!Die Parabel ist gestaucht)(Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei [0, -2])(Die Parabel verläuft durch den Punkt [0, 7]) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben)
'''"f(x) <math>=</math> (x - 3)<sup>2</sup> - 2"''' (!Die Parabel ist gestaucht)(Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei <math>[0 \vert -2]</math>)(Die Parabel verläuft durch den Punkt <math>[0 \vert 7]</math>) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben)


'''"f(x) <math>=</math> 6 + 2 (x + 2)<sup>2</sup>"''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist gestaucht) (Die Parabel ist gestreckt)
'''"f(x) <math>=</math> 6 + 2 (x + 2)<sup>2</sup>"''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist gestaucht) (Die Parabel ist gestreckt)


'''Die gestreckte Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben''' (!y <math>=</math> 4 [x - 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 3 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 0,5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,8 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 1,77 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)
'''Die gestreckte Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben''' (!y <math>=</math> 4 [x - 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 3 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 0,5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,8 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 1,77 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)
</div>|3=Arbeitsmethode}}


</div>
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<big>'''4. Aufgabe - KNIFFELAUFGABE:'''</big>


{{Box|1=Kniffelaufgabe|2=
<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">


Zeile 250: Zeile 141:
'''Hilfe:''' <br>
'''Hilfe:''' <br>
Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!<br>
Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!<br>
{{versteckt|
{{Lösung versteckt|Eine Nullstelle ist der Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet!|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe ausblenden}}
Eine Nullstelle ist der Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet!}}




'''Lösung:'''<br>
'''Lösung:'''<br>
{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|
 
[[Bild:ParabelStation2Aufgabe4.jpg|center]]
[[Bild:ParabelStation2Aufgabe4.jpg|left]]
Die richtigen Lösungen sind y <math>=</math> 2 [x – 3]<sup>2</sup> - 2 und y <math>=</math> - [x + 1]<sup>2</sup> + 2, deren Graphen farbig hervorgehoben sind. <br>
Die richtigen Lösungen sind y <math>=</math> 2 [x – 3]<sup>2</sup> - 2 und y <math>=</math> - [x + 1]<sup>2</sup> + 2, deren Graphen farbig hervorgehoben sind. <br>
Wie du in der Grafik erkennen kannst, kommt es nur auf den Parameter y<sub>s</sub> und den Vorfaktor a an. <br>
Wie du in der Grafik erkennen kannst, kommt es nur auf den Parameter y<sub>s</sub> und den Vorfaktor a an. <br>
Zeile 263: Zeile 152:
Durch diese Gegebenheit schneidet die Parabel die x-Achse ab einem bestimmten Wert für x.  
Durch diese Gegebenheit schneidet die Parabel die x-Achse ab einem bestimmten Wert für x.  
<br>
<br>
Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter y<sub>s</sub> positiv ist.
Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter y<sub>s</sub> positiv ist.}}|3=Arbeitsmethode}}
}}
<br><br>


<div align="center"><big><u>'''STATION 3: Die Normalform und der Parameter a'''</u></big></div>


==STATION 3: Die Normalform und der Parameter a==


Auch bei der Normalform ändert sich bei Hinzunahme des Vorfaktors a nicht viel.  
Auch bei der Normalform ändert sich bei Hinzunahme des Vorfaktors a nicht viel.  
Zeile 276: Zeile 163:
Wir betrachten zunächst die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform.  
Wir betrachten zunächst die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform.  


<br>
<u>Von der Scheitelpunkts- zur Normalform:</u>


Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst durchführen.
===Von der Scheitelpunkts- zur Normalform===
 
Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad "Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst durchführen.




<big>'''Aufgabe:'''</big>
{{Box|1=Bringe f(x) <math>=</math> 2(x - 3)<sup>2</sup> - 4 in die Normalform|2=


Du hast die Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> 2(x - 3)<sup>2</sup> - 4"''' gegeben.  
Du hast die Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> 2(x - 3)<sup>2</sup> - 4"''' gegeben.  
Zeile 291: Zeile 178:


<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
{|
{{{!}}
|-  
{{!}}-  
|  || <u>  </u> || 
{{!}} y<math>=</math>  {{!}}{{!}} a[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> <br>   
|-
{{!}}-  
| 1. || y<math>=</math>  || a[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> <br>   
{{!}} y<math>=</math>  {{!}}{{!}} <strong> 2[x - 3]<sup>2</sup> -  4 </strong> <br>   
|-  
{{!}}-  
| 2. || y<math>=</math>  || <strong> 2[x - 3]<sup>2</sup> -  4 </strong> <br>   
{{!}} y<math>=</math> {{!}}{{!}} <strong> 2[x<sup>2</sup> - 6x + 9] - 4 </strong> <br>  
|-  
{{!}}-  
| 3. || y<math>=</math> || <strong> 2[x<sup>2</sup> - 6x + 9] - 4 </strong> <br>  
{{!}} y<math>=</math> {{!}}{{!}} <strong> 2x<sup>2</sup> - 12x + 14 </strong> <br>  
|-  
{{!}}-  
| 4. || y<math>=</math> || <strong> 2x<sup>2</sup> - 12x + 14 </strong> <br>  
{{!}} y<math>=</math> {{!}}{{!}} <strong> ax<sup>2</sup> + bx + c  </strong> <br>  
|-  
{{!}}}
| 5. || y<math>=</math> || <strong> ax<sup>2</sup> + bx + c  </strong> <br>  
</div>|3=Arbeitsmethode}}
|}
 
</div>
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{{Merke|
{{Box|1=Von der Scheitelpunktsform zur Normalform|2=
Die Normalform '''"f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c"''' entsteht aus der Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme. <br>
Die Normalform "f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme.|3=Merksatz}}
}}




Zeile 316: Zeile 200:




<u>Von der Normal- zur Scheitelpunktsform:</u>
===Von der Normal- zur Scheitelpunktsform===


Diese Umformung funktioniert genauso, wie das im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigte Verfahren. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform.  
Diese Umformung funktioniert genauso, wie das im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigte Verfahren. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform.  


Zur Wiederholung, klicke dich durch die folgende Anleitung:<br>
Zur Wiederholung, klicke dich durch die folgende Anleitung:<br>
Zeile 324: Zeile 208:


1. Schritt: Gegeben ist die Parabel p <br>
1. Schritt: Gegeben ist die Parabel p <br>
{{versteckt|
{{Lösung versteckt|1=[[Bild:UmformungSchritt1.jpg]]|2=1. Schritt einblenden|3=Schritt ausblenden}}
[[Bild:UmformungSchritt1.jpg]]
}}




2. Schritt: Faktor ausklammern <br>
2. Schritt: Faktor ausklammern <br>
{{versteckt|
{{Lösung versteckt|1=[[Bild:UmformungSchritt2.jpg]]|2=2. Schritt einblenden|3=Schritt ausblenden}}
[[Bild:UmformungSchritt2.jpg]]
}}




3. Schritt: Quadratische Ergänzung<br>
3. Schritt: Quadratische Ergänzung<br>
{{versteckt|
{{Lösung versteckt|1=[[Bild:UmformungSchritt3.jpg]]|2=3. Schritt einblenden|3=Schritt ausblenden}}
[[Bild:UmformungSchritt3.jpg]]
 
}}




4. Schritt: Binom erzeugen<br>
4. Schritt: Binom erzeugen<br>
{{versteckt|
{{Lösung versteckt|1=[[Bild:UmformungSchritt4.jpg]]|2=4. Schritt einblenden|3=Schritt ausblenden}}
[[Bild:UmformungSchritt4.jpg]]
 
}}




5. Schritt: Äußere Klammer auflösen<br>
5. Schritt: Äußere Klammer auflösen<br>
{{versteckt|
{{Lösung versteckt|1=[[Bild:UmformungSchritt5.jpg]]|2=5. Schritt einblenden|3=Schritt ausblenden}}
[[Bild:UmformungSchritt5.jpg]]
 
}}




6. Schritt: Scheitelkoordinaten<br>
6. Schritt: Scheitelkoordinaten<br>
{{versteckt|
{{Lösung versteckt|1=[[Bild:UmformungSchritt6.jpg]]|2=6. Schritt einblenden|3=Schritt ausblenden}}
[[Bild:UmformungSchritt6.jpg]]
}}


Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!
Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!




{{Box|1=Zuordnung von Funktionsvorschrift, Graph und Scheitelpunkt|2=


<big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big>
Nimm dir ein Blatt und einen Stift zur Hand und stelle zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf. Ordne anschließend die entsprechenden Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen den entsprechenden Funktionsgleichungen zu.  
 
Nimm dir ausnahmsweise mal ein Blatt und einen Stift zur Hand und stell, zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen, die Scheitelpunktsform auf. Ordne anschließend die entsprechenden Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen den entsprechenden Funktionsgleichungen zu.  


<div class="zuordnungs-quiz">
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
{{{!}}
| f(x)<math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 12x + 14 || f(x)<math>=</math> 2(x + 3)<sup>2</sup> - 4  || <math>S(-3\!\,|\!\,-4)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung1.jpg]] ||
{{!}} f(x) = 2x<sup>2</sup> + 12x + 14 {{!}}{{!}} f(x) = 2(x + 3)<sup>2</sup> - 4  {{!}}{{!}}  S[-3,-4] {{!}}{{!}} [[Bild:Station3AufgabeZuordnung1.jpg]] {{!}}{{!}}
|-
{{!}}-
| f(x)<math>=</math> -3x<sup>2</sup> + 24x -41 || f(x)<math>=</math> -3(x - 4)<sup>2</sup> + 7  || <math>S(4\!\,|\!\,7)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung2.jpg]] ||
{{!}} f(x) = -3x<sup>2</sup> + 24x -41 {{!}}{{!}} f(x) = -3(x - 4)<sup>2</sup> + 7  {{!}}{{!}}  S[4,7] {{!}}{{!}} [[Bild:Station3AufgabeZuordnung2.jpg]] {{!}}{{!}}
|-
{{!}}-
| f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> - 2x - 2 || f(x)<math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 3  || <math>S(1\!\,|\!\,-3)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung3.jpg]]
{{!}} f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 2 {{!}}{{!}} f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 3  {{!}}{{!}} S[1,-3]{{!}}{{!}} [[Bild:Station3AufgabeZuordnung3.jpg]]
|}
{{!}}}
</div>
</div>


 
'''Lösung quadratische Ergänzung:'''<br>
'''Lösung:'''<br>
Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest, kannst du sie dir hier anschauen! <br>
Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest, kannst du sie dir hier anschauen! <br>
{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|1=
       f(x) <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 12x + 14
       f(x) = 2x<sup>2</sup> + 12x + 14
           <math>=</math> 2 [x<sup>2</sup> + 6x] + 14  
           = 2 [x<sup>2</sup> + 6x] + 14  
           <math>=</math> 2 [x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>] + 14
           = 2 [x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>] + 14
           <math>=</math> 2 [(x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>] + 14  
           = 2 [(x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>] + 14  
           <math>=</math> 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 2(3<sup>2</sup>) + 14
           = 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 2(3<sup>2</sup>) + 14
           <math>=</math> 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 18 + 14  
           = 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 18 + 14  
           <math>=</math> 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 4  
           = 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 4  


       f(x) <math>=</math> -3x<sup>2</sup> + 24x - 41
       f(x) = -3x<sup>2</sup> + 24x - 41
           <math>=</math> -3 [x<sup>2</sup> - 8x] - 41  
           = -3 [x<sup>2</sup> - 8x] - 41  
           <math>=</math> -3 [x<sup>2</sup> - 8x + 4<sup>2</sup> - 4<sup>2</sup>] - 41
           = -3 [x<sup>2</sup> - 8x + 4<sup>2</sup> - 4<sup>2</sup>] - 41
           <math>=</math> -3 [(x - 4)<sup>2</sup> - 4<sup>2</sup>] - 41  
           = -3 [(x - 4)<sup>2</sup> - 4<sup>2</sup>] - 41  
           <math>=</math> -3 (x - 4)<sup>2</sup> -[-3(-4<sup>2</sup>)] - 41
           = -3 (x - 4)<sup>2</sup> -[-3(-4<sup>2</sup>)] - 41
           <math>=</math> -3 (x - 4)<sup>2</sup> + 48 - 41  
           = -3 (x - 4)<sup>2</sup> + 48 - 41  
           <math>=</math> -3 (x - 4)<sup>2</sup> + 7
           = -3 (x - 4)<sup>2</sup> + 7


       f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> - 2x - 2
       f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 2
           <math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 2  
           = (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 2  
           <math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 3  
           = (x - 1)<sup>2</sup> - 3  
   
   
}}
}}|3=Arbeitsmethode}}




Zeile 407: Zeile 280:
Hier wird alles zuvor Erlernte, in vermischten Aufgaben, abgefragt.
Hier wird alles zuvor Erlernte, in vermischten Aufgaben, abgefragt.
Viel Erfolg!  
Viel Erfolg!  
   
   


==STATION 4: Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion==


<div align="center"><big><u>'''STATION 4: Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion'''</u></big></div>
{{Box|1=|2=
 
 
 
<big>'''1. Aufgabe: Schüttelrätsel'''</big>
 
Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern!


Du kannst deine Ergebnisse erst überprüfen, wenn alle Felder ausgefüllt sind!
Du kannst deine Ergebnisse erst überprüfen, wenn alle Felder ausgefüllt sind!
Zeile 445: Zeile 312:
Für y<sub>s</sub> > 0 wird die Parabel nach '''oben''' und für y<sub>s</sub> < 0 nach '''unten''' verschoben. <br>
Für y<sub>s</sub> > 0 wird die Parabel nach '''oben''' und für y<sub>s</sub> < 0 nach '''unten''' verschoben. <br>


Ähnlich verhält es sich bei dem Parameter x<sub>s</sub>, der für eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung sorgt. <br>
Ähnlich verhält es sich bei dem Parameter x<sub>s</sub>, der für eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung sorgt. <br>  


Hier wird für x<sub>s</sub> > 0 nach '''rechts''' und für x<sub>s</sub> < 0 nach '''links''' verschoben.  
Hier wird für x<sub>s</sub> > 0 nach '''rechts''' und für x<sub>s</sub> < 0 nach '''links''' verschoben.  


</div>|3=Arbeitsmethode}}


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<nowiki>{{Box|1=Kniffelaufgabe|2=
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Gegeben ist die Funktion "f(x) = 0,5x</nowiki><sup>2</sup> - x - 2,5" <br>
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<big>'''2. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE'''</big>
 
 
Gegeben ist die Funktion "f(x) = 0,5x<sup>2</sup> - x - 2,5" <br>
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<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">
'''In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse und wie bestimmt man ihn?'''  
'''In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse und wie bestimmt man ihn?'''  
(!Man kann die Koordinaten nur mittels quadratischer Ergänzung bestimmen)
(!Man kann die Koordinaten nur mittels quadratischer Ergänzung bestimmen)
(Schnittpunkt mit y-Achse: [0; -2,5])     
(Schnittpunkt mit y-Achse: <math>[0 \vert -2,5]</math>)     
(Durch Einsetzen des bekannten x-Wertes bestimmt man den y-Wert)
(Durch Einsetzen des bekannten x-Wertes bestimmt man den y-Wert)
(!Schnittpunkt mit y-Achse: [1; 2,5])
(!Schnittpunkt mit y-Achse: <math>[1 \vert 2,5]</math>)
</div>
</div>




'''Tipp!''' <br>
'''Tipp!''' <br>
{{versteckt|
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was gelten muss, wenn die Parabel die y-Achse schneidet.|2=Tipp ausblenden}}
Überlege dir, was gelten muss, wenn die Parabel die y-Achse schneidet.
}}


'''Hilfe:''' <br>
'''Tipp!:''' <br>
{{versteckt|
{{Lösung versteckt|
Du kennst einen Koordinantenpunkt. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet, ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert in die Gleichung ein und bestimme den zugehörigen y-Wert.
Du kennst einen Koordinantenpunkt. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet, ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert in die Gleichung ein und bestimme den zugehörigen y-Wert.|2=Tipp ausblenden}}
}}


'''Erklärung:''' <br>
'''Erklärung:''' <br>
{{versteckt|
{{Lösung versteckt|1=
Wenn die Parabel die y-Achse schneidet ist der y-Wert vorgegeben, er ist 0. Diesen Wert setzt man in die Funktionsgleichung ein und bestimmt den y-Wert.  
Wenn die Parabel die y-Achse schneidet ist der y-Wert vorgegeben, er ist 0. Diesen Wert setzt man in die Funktionsgleichung ein und bestimmt den y-Wert.  
      y <math>=</math> 0,5x<sup>2</sup> - x - 2,5       
y = 0,5x<sup>2</sup> - x - 2,5       
      y <math>=</math> 0,5(0)<sup>2</sup> - 0 - 2,5
y = 0,5(0)<sup>2</sup> - 0 - 2,5
      y <math>=</math> -2,5
y = -2,5
}}


|2=Erklärung einblenden|3=Erklärung ausblenden}}




 
{{Box|1=Quiz|2=
<big>'''3. Aufgabe: Multiple Choice'''</big>
Finde die richtigen Lösungen! Es können auch mehrere Antworten möglich sein!'''
 
'''Finde die richtigen Lösungen! Es können auch mehrere Antworten möglich sein!'''


<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">


'''Für die Funktion "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2" gilt:''' (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 2]) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt [2, 0]) (!Der Scheitelpunkt, ist der Punkt, an dem die Parabel die x-Achse schneidet)
'''Für die Funktion "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2" gilt:''' (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S <math>[0|2]</math>) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S <math>[2|0]</math>) (!Der Scheitelpunkt, ist der Punkt, an dem die Parabel die x-Achse schneidet)




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'''Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S(3, -2)?''' (!y <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 3x + 3) (y <math>=</math> -3[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (y <math>=</math> 5[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (!y <math>=</math> 12 [x + 3] - 2)  
'''Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S <math>[3|-2]</math>?''' (!y <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 3x + 3) (y <math>=</math> -3[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (y <math>=</math> 5[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (!y <math>=</math> 12 [x + 3] - 2)  




'''Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt:''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter y<sub>s</sub> ist negativ) (y <math>=</math> 2[x - 5]<sup>2</sup> + 2) (!y <math>=</math> [x + 6]<sup>2</sup> - 1)   
'''Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt:''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter y<sub>s</sub> ist negativ) (y <math>=</math> 2[x - 5]<sup>2</sup> + 2) (!y <math>=</math> [x + 6]<sup>2</sup> - 1)   
</div>|3=Arbeitsmethode}}


</div>
<br>


'''Spitze!'''
'''Spitze!'''


Nun kennst du die "Quadratische Funktion" und kannst mit ihr arbeiten!!!
Nun kennst du die "Quadratische Funktion"!!!
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:49 Uhr


Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a

In diesem Lernpfad werden alle erlernten Parameter zusammengeführt! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

  • Die Scheitelpunktsform und der Parameter a
  • Aufgaben zu "f(x) a(x - xs)2 + ys"
  • Die Normalform und der Parameter a
  • Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion


Aus den vorherigen Lerneinheiten kennst du die Eigenschaften der einzelnen Parameter.

Du weißt zum einen, dass der Vorfaktor a für eine Streckung, Stauchung und Spiegelung der Parabel verantwortlich ist und zum anderen, dass die Parameter ys und xs eine Verschiebung der Parabel in der Ebene bewirken. Wir wollen im Folgenden diese Eigenschaften zusammen mit der Scheitelpunkts- und Normalform betrachten.

Als erstes beginnen wir mit der Scheitelpunktsform und dem Parameter a.


STATION 1: Die Scheitelpunktsform und der Parameter a

Quadratische Funktion "f(x)a(x - xs)2 + ys"
  • Versuche mit Hilfe des "GeoGebra-Applets" den Lückentext zu lösen
  • Bediene dafür die Schieberegler a, ys und xs, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter ins Gedächtnis zu holen


GeoGebra

Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Die Scheitelpunktsform mit dem Paramter a besitzt die Gleichung y = a[x - xs]2 + ys. Die allgemeine Scheitelpunktsform wird dabei um den Parameter a erweitert. Dadurch kommt neben der Verschiebung der Parabel noch die Streckung, Stauchung und Spiegelung dazu. Ferner gilt festzuhalten, dass sowohl die Verschiebung der Parabel in der Ebene, sowie die Veränderung durch den Vorfaktor a, unabhängig voneinander betrachtet werden.


Um die wichtigsten Eigenschaften aller Parameter zu wiederholen, lies den folgenden Merksatz und überprüfe, ob dir alle Eigenschaften klar sind.


Zusammenfassung

Für die quadratische Funktion "f(x)a(x - xs)2 + ys" gilt:

  • Für den Parameter a gilt:
    • Der Parameter a sorgt für eine Streckung, Stauchung und/oder Spiegelung der Parabel
    • Für a > 1 ist der Graph gestreckt und nach oben geöffnet
    • Für 0 < a < 1 ist der Graph gestaucht und nach oben geöffnet
    • Für a < -1 ist der Graph gestreckt und nach unten geöffnet
    • Für -1 < a < 0 ist der Graph gestaucht und nach unten geöffnet
  • Für den Parameter xs gilt:
    • Der Parameter xs sorgt für eine Verschiebung entlang der x-Achse
    • Für xs > 0 gilt: Verschiebung nach rechts
    • Für xs < 0 gilt: Verschiebung nach links
  • Für den Parameter ys gilt:
    • Der Parameter ys sorgt für eine Verschiebung auf der y-Achse
    • Für ys > 0 gilt: Verschiebung nach oben
    • Für ys < 0 gilt: Verschiebung nach unten


STATION 2: Aufgaben zu "f(x) a(x - xs)2 + ys"

Ordne den Graphen die richtige Funktionsvorschrift

Du siehst hier sowohl ein paar Graphen, als auch ein paar Funktionsvorschriften der Form "f(x) a(x - xs)2 + ys". Versuche die jeweils richtigen Pärchen zu finden.

Parabelkeins.png Parabelkzwei.png Parabelkdrei.png Parabelkvier.png Parabelkfünf.png
y = [x - 2,5]2 - 1,5 y = -4[x + 2]2 + 1 y = [x + 3,5]2 y = 5[x + 2,5]2 + 2 y = 2[x - 4]2 - 3


Ich nehme an, dass das kein Problem für dich war. Bei dieser Aufgabe war es nämlich noch nicht nötig den Vorfaktor a zu bestimmen.

Jetzt wollen wir das Ganze ein wenig erschweren!

Kannst du dich noch erinnern, wie man den Vorfaktor a bestimmt?


Finde zu den zwei Graphen die passende Funktionsvorschrift!

Falls du nicht genau weißt, wie du vorgehen sollst, schau dir die Hilfe an!


ParabelAufgabe2Station2-2.jpg

Wie ist dein Ergebnis:

1. Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph a? (!y 1[x - 4]2 - 3) (!y 3[x – 4]2 + 3) (y 2[x – 4]2 - 3)

2. Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph b? (!y -2[x + 2]2 + 1) (y -4[x + 2]2 + 1) (!y -0,5[x + 2]2 + 1)

Hilfe:

Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a
  • Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt
  • Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts
  • Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve
  • Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Vorfaktor a
  • Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, dann ist der Wert von a positiv
  • Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, dann ist der Wert von a negativ


Betrachte die Funktionsvorschriften genau und kreuze die richtigen Aussagen an!

Achtung! Es können auch mehrere Antworten richtig sein!

"f(x) -2x2 + 5" (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei ) (Die Parabel ist gestreckt) (!Die Parabel ist gestaucht) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)

"f(x) (x - 3)2 - 2" (!Die Parabel ist gestaucht)(Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei )(Die Parabel verläuft durch den Punkt ) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben)

"f(x) 6 + 2 (x + 2)2" (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist gestaucht) (Die Parabel ist gestreckt)

Die gestreckte Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben (!y 4 [x - 2]2 - 4)(!y 0,2 [x - 2]2 + 4)(!y 2 [x - 2]2 + 4)(y 3 [x + 2]2 + 4)(!y 0,5 [x + 2]2 - 4)(!y 5 [x + 2]2 - 4)(!y 0,8 [x - 2]2 + 4)(y 1,77 [x + 2]2 + 4)


Kniffelaufgabe

Welche der folgenden Funktionsvorschriften hat eine Nullstelle? Achtung! Die Aufgabe ist nur durch logisches Denken zu lösen, es ist keine Rechnung erforderlich! (y 2 [x – 3]2 - 2) (!y 2 [x + 5]2 + 1 ) (y - [x + 1]2 + 2) (!y -3 [x – 1]2 -1)


Hilfe:
Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!

Eine Nullstelle ist der Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet!


Lösung:

ParabelStation2Aufgabe4.jpg

Die richtigen Lösungen sind y 2 [x – 3]2 - 2 und y - [x + 1]2 + 2, deren Graphen farbig hervorgehoben sind.
Wie du in der Grafik erkennen kannst, kommt es nur auf den Parameter ys und den Vorfaktor a an.
Ist der Vorfaktor a positiv und der Parameter ys zugleich negativ, so liegt der Scheitelpunkt der nach oben geöffneten Parabel unterhalb der x-Achse.
Durch diese Gegebenheit schneidet die Parabel die x-Achse ab einem bestimmten Wert für x.

Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter ys positiv ist.


STATION 3: Die Normalform und der Parameter a

Auch bei der Normalform ändert sich bei Hinzunahme des Vorfaktors a nicht viel.

Wieder kommt es darauf an, die Normal- in die Scheitelpunktsform und umgekehrt, die Scheitelpunkts- in die Normalform umzuformen.

Wir betrachten zunächst die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform.


Von der Scheitelpunkts- zur Normalform

Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad "Die Normalform f(x) x2 + bx + c" gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst durchführen.


Bringe f(x) 2(x - 3)2 - 4 in die Normalform

Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) 2(x - 3)2 - 4" gegeben. Diese Form soll nun durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme
auf die Form "f(x) ax2 + bx + c" gebracht werden.

Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!

y a[x - xs]2 + ys
y 2[x - 3]2 - 4
y 2[x2 - 6x + 9] - 4
y 2x2 - 12x + 14
y ax2 + bx + c


Von der Scheitelpunktsform zur Normalform
Die Normalform "f(x) ax2 + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) a(x - xs)2 + ys" durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme.


Betrachten wir nun die andere Richtung.


Von der Normal- zur Scheitelpunktsform

Diese Umformung funktioniert genauso, wie das im Lernpfad "Die Normalform f(x) = x2 + bx + c" gezeigte Verfahren. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform.

Zur Wiederholung, klicke dich durch die folgende Anleitung:

1. Schritt: Gegeben ist die Parabel p

UmformungSchritt1.jpg


2. Schritt: Faktor ausklammern

UmformungSchritt2.jpg


3. Schritt: Quadratische Ergänzung

UmformungSchritt3.jpg


4. Schritt: Binom erzeugen

UmformungSchritt4.jpg


5. Schritt: Äußere Klammer auflösen

UmformungSchritt5.jpg


6. Schritt: Scheitelkoordinaten

UmformungSchritt6.jpg

Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!


Zuordnung von Funktionsvorschrift, Graph und Scheitelpunkt

Nimm dir ein Blatt und einen Stift zur Hand und stelle zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf. Ordne anschließend die entsprechenden Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen den entsprechenden Funktionsgleichungen zu.

f(x) = 2x2 + 12x + 14 f(x) = 2(x + 3)2 - 4 S[-3,-4] Station3AufgabeZuordnung1.jpg
f(x) = -3x2 + 24x -41 f(x) = -3(x - 4)2 + 7 S[4,7] Station3AufgabeZuordnung2.jpg
f(x) = x2 - 2x - 2 f(x) = (x - 1)2 - 3 S[1,-3] Station3AufgabeZuordnung3.jpg

Lösung quadratische Ergänzung:
Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest, kannst du sie dir hier anschauen!

f(x) = 2x2 + 12x + 14

          = 2 [x2 + 6x] + 14 
          = 2 [x2 + 6x + 32 - 32] + 14
          = 2 [(x + 3)2 - 32] + 14 
          = 2 (x + 3)2 - 2(32) + 14
          = 2 (x + 3)2 - 18 + 14 
          = 2 (x + 3)2 - 4 
     f(x) = -3x2 + 24x - 41
          = -3 [x2 - 8x] - 41 
          = -3 [x2 - 8x + 42 - 42] - 41
          = -3 [(x - 4)2 - 42] - 41 
          = -3 (x - 4)2 -[-3(-42)] - 41
          = -3 (x - 4)2 + 48 - 41 
          = -3 (x - 4)2 + 7
     f(x) = x2 - 2x - 2
          = (x - 1)2 - 12 - 2 
= (x - 1)2 - 3


Jetzt kennst und kannst du wirklich alles zur quadratischen Funktion. Stelle dein Wissen in der vierten und letzten Station unter Beweis. Hier wird alles zuvor Erlernte, in vermischten Aufgaben, abgefragt. Viel Erfolg!


STATION 4: Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion

Du kannst deine Ergebnisse erst überprüfen, wenn alle Felder ausgefüllt sind!

Eine Funktion der Form "f(x) = ax2 + bx + c" nennt man quadratische Funktion.

Durch Umformen, mit Hilfe der quadratischen Ergänzung, erhält man die Scheitelpunktsform "f(x) = a(x - xs)2 + ys".

Anhand der Scheitelpunktsform kann man die Koordinaten für den Scheitelpunkt ablesen.

Der Scheitelpunkt gibt dabei den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel an.

Hat die Parabel einen höchsten Punkt, so ist sie nach unten geöffnet und der Parameter a ist negativ.

Ist der Vorfaktor hingegen positiv, so besitzt die Parabel einen tiefsten Punkt und die Parabel ist nach oben geöffnet.

Außerdem bewirkt der Parameter a eine Streckung, Stauchung, und/oder eine "Spiegelung" der Parabel.

Nimmt der Vorfaktor einen Wert zwischen -1 und +1 an, so wird die Parabel gestaucht.

Ist hingegen der Vorfaktor a kleiner -1 oder größer +1, so wird die Parabel gestreckt.

Neben der Streckung und Stauchung der Parabel durch den Parameter a, existieren noch die Parameter xs und ys, die für eine Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.

Für ys > 0 wird die Parabel nach oben und für ys < 0 nach unten verschoben.

Ähnlich verhält es sich bei dem Parameter xs, der für eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung sorgt.

Hier wird für xs > 0 nach rechts und für xs < 0 nach links verschoben.


{{Box|1=Kniffelaufgabe|2= Gegeben ist die Funktion "f(x) = 0,5x2 - x - 2,5"

In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse und wie bestimmt man ihn? (!Man kann die Koordinaten nur mittels quadratischer Ergänzung bestimmen) (Schnittpunkt mit y-Achse: ) (Durch Einsetzen des bekannten x-Wertes bestimmt man den y-Wert) (!Schnittpunkt mit y-Achse: )


Tipp!

Überlege dir, was gelten muss, wenn die Parabel die y-Achse schneidet.

Tipp!:

Du kennst einen Koordinantenpunkt. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet, ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert in die Gleichung ein und bestimme den zugehörigen y-Wert.

Erklärung:

Wenn die Parabel die y-Achse schneidet ist der y-Wert vorgegeben, er ist 0. Diesen Wert setzt man in die Funktionsgleichung ein und bestimmt den y-Wert.

y = 0,5x2 - x - 2,5      
y = 0,5(0)2 - 0 - 2,5
y = -2,5


Quiz

Finde die richtigen Lösungen! Es können auch mehrere Antworten möglich sein!

Für die Funktion "f(x) x2 + 2" gilt: (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S ) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S ) (!Der Scheitelpunkt, ist der Punkt, an dem die Parabel die x-Achse schneidet)


Diese Funktion ist keine quadratische Funktion: (!y [x - 2]2)(!y 2x2 + 3 - 5x)(y 2x3 + 2x + 3) (y 8 + 2x) (!y [x + 3][x - 3])


Für die Funktion "f(x) 2x2 + 2x" gilt: (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist gestreckt)


Für den Graph der Funktion "f(x) -2 [x + 3]2 - 2" gilt: (Der Graph geht nicht durch den Koordinatenursprung)(Der Graph ist identisch mit y -2x2 -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel) (!Der Graph ist nach oben geöffnet)


Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S ? (!y 2x2 + 3x + 3) (y -3[x - 3]2 - 2) (y 5[x - 3]2 - 2) (!y 12 [x + 3] - 2)


Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt: (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter ys ist negativ) (y 2[x - 5]2 + 2) (!y [x + 6]2 - 1)


Spitze!

Nun kennst du die "Quadratische Funktion"!!!