Quadratische Funktionen/Kapitel 4: Der Graph der quadratischen Funktion "f(x) = ax²": Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lernpfad-M|<big>'''Der Graph der quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>"'''</big>
__NOTOC__


{{Box|1=Der Graph der quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>"|2=


'''In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion mit dem Vorfaktor a kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''
'''In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion mit dem Vorfaktor a kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''


*'''Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a'''
*Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a
*'''Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a'''
*Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a  
*'''Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick'''
*Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick
*'''Aufstellen der Funktionsgleichung'''
*Aufstellen der Funktionsgleichung
*'''Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>" '''
*Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>"  
}}
|3=Lernpfad}}


{{Navigation verstecken|{{Vorlage:Quadratische Funktion}}}}


In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert.  
In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert.  
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<br>
<br>
<br>
<br>
'''Aufgabe:'''
{{Box|1=Streckung und Stauchung|2=


Du hast verschiedene Bilder gegeben. Ordne die richtigen Begriffe zu!  
Du hast verschiedene Bilder gegeben. Ordne die richtigen Begriffe zu!  


<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
 
{{{!}}
{|
{{!}}-  
|-  
{{!}} [[Bild:Bild für Lernpfad1.jpg]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}   [[Bild:Bild für Lernpfad2.jpg]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}   [[Bild:Bild für Lernpfad3.jpg]]   
| [[Bild:Bild für Lernpfad1.jpg]]  ||||   [[Bild:Bild für Lernpfad2.jpg]]  ||||   [[Bild:Bild für Lernpfad3.jpg]]   
{{!}}-  
|-  
{{!}} <strong> gestreckt </strong>  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> gestaucht </strong> {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> normal </strong>  
| <strong> gestreckt </strong>  |||| <strong> gestaucht </strong> |||| <strong> normal </strong>  
{{!}}}
|}
</div>|3=Arbeitsmethode}}
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>


Nachdem wir das geklärt haben, können wir jetzt mit dem Lernpfad beginnen.
Nachdem wir das geklärt haben, können wir jetzt mit dem Lernpfad beginnen.




==STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a==


'''Hinweise:'''


<div align="center"><big><u>'''STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a'''</u></big></div>
*In dem "GeoGebra-Applet" ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau


*Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a


Bearbeite das folgende '''Arbeitsblatt:'''   
 
{{Box|1=Quadratische Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>" für positiven Parameter|2=


{| {{Prettytable}}
Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a im Hinblick auf die  Normalparabel?
|- style="background-color:#8DB6CD"
! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext:
|-
| <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionpositivea.ggb" /> ||
'''Hinweise:'''


* In dem "GeoGebra-Applet" ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau
<ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" id="cjjpenmv" />


* Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a
Ordne die richtigen Begriffe zu:<br>


* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder
<br>
'''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a im Hinblick auf die  Normalparabel?
<br>
'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br>
<br>
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
Der Vorfaktor a führt zu einer '''Streckung oder Stauchung''' der Normalparabel in '''y-Richtung'''. <br>
Der Vorfaktor a führt zu einer '''Streckung oder Stauchung''' der Normalparabel in '''y-Richtung'''. <br>
Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a '''Eins''' ist, denn dann ist <br>
Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a '''Eins''' ist, denn dann ist "f(x) = 1x<sup>2</sup> = x<sup>2</sup>" '''identisch''' der Normalparabel. <br>
f(x) = 1x<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> '''identisch''' der Normalparabel. <br>
Ist a '''>''' 1, so ist der Graph gestreckt.  <br>
Ist a '''>''' 1, so ist der Graph gestreckt.  <br>
Ist a < 1, so nennt man den Graph '''gestaucht'''. <br>
Ist a < 1, so nennt man den Graph '''gestaucht'''. <br>
Außerdem ist die quadratische Funktion f(x) = ax<sup>2</sup> für den positiven Vorfaktor a nach '''oben''' geöffnet und der '''Scheitelpunkt''' S ist '''tiefster''' Punkt mit den Koordinaten <math>(0\!\,|\!\,0)</math>.   
Außerdem ist die quadratische Funktion "f(x) = ax<sup>2</sup>" für den positiven Vorfaktor a nach '''oben''' geöffnet und der '''Scheitelpunkt''' S ist '''tiefster''' Punkt mit den Koordinaten <math>(0 \vert 0)</math>.   
</div>
</div>
|}
|3=Arbeitsmethode}}




 
{{Box|1=Der Vorfaktor a (größer 0)|2=
{{Merke|
Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>"''' mit dem '''positiven''' Vorfaktor a gilt:   
Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>''' mit dem '''positiven''' Vorfaktor a gilt:   
* Die von a abhängige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch eine '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung  
* Die von a abhängige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch eine '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung  
* Für '''a <math>=</math> 1''' gilt: Identisch zur Normalparabel, denn '''f(x)<math>=</math> 1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> x<sup>2</sup>'''  
* Für '''a <math>=</math> 1''' gilt: Identisch zur Normalparabel, denn '''"f(x)<math>=</math> 1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> x<sup>2</sup>"'''  
* Für '''a > 0''' gilt:  
* Für '''a > 0''' gilt:  
** Der Graph ist nach '''oben''' geöffnet
** Der Graph ist nach '''oben''' geöffnet
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** Für '''a > 1''' gilt: Der Graph ist '''gestreckt'''  
** Für '''a > 1''' gilt: Der Graph ist '''gestreckt'''  
** Für '''a < 1''' gilt: Der Graph ist '''gestaucht'''  
** Für '''a < 1''' gilt: Der Graph ist '''gestaucht'''  
}}
|3=Merksatz}}




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==STATION 2: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a==
 
 
<div align="center"><big><u>'''STATION 2: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a'''</u></big></div>
 


Bearbeite das folgende '''Quiz''' und lerne die Auswirkungen für den negativen Parameter a kennen.  
Bearbeite das folgende '''Quiz''' und lerne die Auswirkungen für den negativen Parameter a kennen.  


{| {{Prettytable}}
{{Box|1=Quadratische Funktion "f(x) = ax²" für negativen Parameter a|2=
|- style="background-color:#8DB6CD"
! Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a:!! Aufgabe und Quiz:
|-
| <ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionnegativea.ggb" /> || <div class="multiplechoice-quiz">


'''Aufgabe:'''
Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a wenn er negativ wird?


Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a wenn er negativ wird? 
<ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" id="cr2xsnan" />


<div class="multiplechoice-quiz">
'''Quiz:'''
'''Quiz:'''


Zeile 129: Zeile 110:


Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestaucht?  (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0)     
Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestaucht?  (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0)     
 
</div>|3=Arbeitsmethode}}
</div>
|}




{{Merke|
{{Box|1=Der Parameter a < 0|2=
Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>''' mit dem '''negativen''' Vorfaktor a gilt:   
Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>"''' mit dem '''negativen''' Vorfaktor a gilt:   
* Die von a abhängige Parabel entsteht zum einen aus der '''Spiegelung''' an der '''x-Achse''' sowie einer '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung   
* Die von a abhängige Parabel entsteht zum einen aus der '''Spiegelung''' an der '''x-Achse''' sowie einer '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung   
* Für '''a <math>=</math> -1''' gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; '''f(x)<math>=</math>-1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> -x<sup>2</sup>'''  
* Für '''a <math>=</math> -1''' gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; '''"f(x)<math>=</math>-1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> -x<sup>2</sup>"'''  
* Für '''a < 0''' gilt:  
* Für '''a < 0''' gilt:  
** Der Graph ist nach '''unten''' geöffnet
** Der Graph ist nach '''unten''' geöffnet
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** Für '''a < -1''' gilt: Der Graph ist '''gestreckt'''  
** Für '''a < -1''' gilt: Der Graph ist '''gestreckt'''  
** Für '''a > -1''' gilt: Der Graph ist '''gestaucht'''  
** Für '''a > -1''' gilt: Der Graph ist '''gestaucht'''  
}}
|3=Merksatz}}
 
 
 
 




<div align="center"><big><u>'''STATION 3: Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick'''</u></big></div>
==STATION 3: Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick==
 


Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a sind, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen, welche du zunächst nur in einzelnen Puzzleteilen vorfindest. Löse das Puzzle, du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!  
Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a sind, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen, welche du zunächst nur in einzelnen Puzzleteilen vorfindest. Löse das Puzzle, du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!  
Zeile 172: Zeile 146:
</div>
</div>


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'''Aufgabe:'''


Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen, die richtigen Kombinationen zu finden!<br>
Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen, die richtigen Kombinationen zu finden!<br>
Zeile 186: Zeile 155:
{|  
{|  
|-  
|-  
| || <u> Vorgabe </u> || <u> Passendes Puzzleteil </u>
| ||<u> Vorgabe </u>||<u> Passender Textbaustein </u>
|-  
|-  
| 1. || Vorfaktor a ist negativ || <strong>Nach unten geöffnete Parabel</strong> <br>
|1.||Vorfaktor a ist negativ||<strong>Nach unten geöffnete Parabel</strong> <br>
|-  
|-  
| 2. || a < -1 || <strong>Graph ist gestreckt</strong>  
|2.||a < -1||<strong>Graph ist gestreckt</strong>
|-  
|-  
| 3. || Scheitelpunkt S für negativen Parameter a || <strong>Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung [0, 0]</strong>  
|3.||Scheitelpunkt S für negativen Parameter a||<strong>Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung S <math>[0|0]</math> </strong>
|-  
|-  
| 4. || 0 > a > -1 || <strong>Graph ist gestaucht</strong>
|4.||0 > a > -1||<strong>Graph ist gestaucht</strong>
|-  
|-  
| 5. || Vorfaktor a ist positiv || <strong>Nach oben geöffnete Parabel</strong>  
|5.||Vorfaktor a ist positiv||<strong>Nach oben geöffnete Parabel</strong>
|-  
|-  
| 6. || 0 < a < 1 || <strong>Graph ist gestaucht</strong>
|6.||0 < a < 1||<strong>Graph ist gestaucht</strong>
|-  
|-  
| 7. || Scheitelpunkt S für positiven Parameter a || <strong>Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung [0, 0]</strong>
|7.||Scheitelpunkt S für positiven Parameter a||<strong>Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung S <math>[0|0]</math> </strong>
|-  
|-  
| 8. || a > 1 || <strong>Graph ist gestreckt</strong>  
|8.||a > 1||<strong>Graph ist gestreckt</strong>
|-
|-
| 9. || Der Vorfaktor a bewirkt eine… || <strong>Streckung oder Stauchung der Normalparabel</strong>  
|9.||Der Vorfaktor a bewirkt eine…||<strong>Streckung oder Stauchung der Normalparabel</strong>
|}
|}


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</div>
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<div align="center"><big><u>'''STATION 4: Aufstellen der Funktionsgleichung'''</u></big></div>




==STATION 4: Aufstellen der Funktionsgleichung==


Bisher konntest du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler des "GeoGebra-Applets" ablesen. Nun wollen wir lernen, wie man anhand des Graphen, den Parameter a bestimmt.  
Bisher konntest du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler des "GeoGebra-Applets" ablesen. Nun wollen wir lernen, wie man anhand des Graphen, den Parameter a bestimmt.  
Zeile 240: Zeile 186:
Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei die Vorgehensweise, zum Bestimmen des Parameters a, zu erkennen.  
Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei die Vorgehensweise, zum Bestimmen des Parameters a, zu erkennen.  


{| {{Prettytable}}
{{Box|1=Quadratische Funktion "f(x) = ax<sup>2</sup>" mit positivem und negativem Parameter a|2=
|- style="background-color:#8DB6CD"
 
! Quadratische Funktion f(x) = ax<sup>2</sup>, für positiven und negativen Parameter a:!! Hinweis und Aufgaben:
<ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" id="nh8tumma" />
|-
| <ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="BestimmungParametera.ggb" /> ||


1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x<sup>2</sup>". Gehe vom Scheitelpunkt aus auf der x-Achse eine Einheit nach rechts.
1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x<sup>2</sup>". Gehe vom Scheitelpunkt aus auf der x-Achse eine Einheit nach rechts.
Zeile 285: Zeile 229:
'''Wie lautet der Wert vom Vorfaktor a??''' (!1) (-3) (!3)  
'''Wie lautet der Wert vom Vorfaktor a??''' (!1) (-3) (!3)  
</div>
</div>
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<br>|3=Arbeitsmethode}}


|}


 
{{Box|1=Bestimmung des Parameters a|2=
{{Merke|
'''Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:''' <br>
'''Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:''' <br>
* Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt<br>
* Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt<br>
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* Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv <br>
* Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv <br>
* Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ  <br>
* Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ  <br>
}}
|3=Merksatz}}


Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Vorfaktors a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.
Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Vorfaktors a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.




'''Aufgabe:'''
{{Box|1=Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!|2=
 
Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!


Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!  
Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!  


<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
{{{!}}
{{!}}-
{{!}} [[Bild:Parabel1.png|150px]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}  [[Bild:Parabel2.png|150px]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}  [[Bild:Parabel3.png|150px]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}  [[Bild:Parabel4.png|150px]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}  [[Bild:Parabel5.png|150px]]
{{!}}-
{{!}} <strong> y = -0,5x<sup>2</sup> </strong>  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> y = 0x<sup>2</sup> </strong> {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> y = 2x<sup>2</sup>  </strong> {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> y = -4x<sup>2</sup> </strong> {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> y = 0,5x<sup>2</sup> </strong>
{{!}}}</div>|3=Arbeitsmethode}}


{|
|-
| [[Bild:Parabel1.png|150px]]  ||||  [[Bild:Parabel2.png|150px]]  ||||  [[Bild:Parabel3.png|150px]]  ||||  [[Bild:Parabel4.png|150px]]  ||||  [[Bild:Parabel5.png|150px]]
|-
| <strong> y = -0,5x<sup>2</sup> </strong>  |||| <strong> y = 0x<sup>2</sup> </strong> |||| <strong> y = 2x<sup>2</sup>  </strong> |||| <strong> y = -4x<sup>2</sup> </strong> |||| <strong> y = 0,5x<sup>2</sup> </strong>
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<div align="center"><big><u>'''STATION 5: Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>"'''</u></big></div>


==STATION 5: Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>"==




<big>'''1. Aufgabe:'''</big>
{{Box|1=Parabeln im Alltag|2=Die Parabelform taucht auch in Bereichen des Alltags auf. Hier siehst du den Ausschnitt einer parabelförmigen Brückenaufhängung (Die Hohenzollernbrücke über der Rhein bei Köln). Beantworte zuerst die folgende Frage und stelle dann den Graph durch Bedienen des Schiebereglers richtig ein!
 
Um dir einmal zu zeigen, in welchen Bereichen den Alltags die Parabelform beispielsweise auftaucht, hast du hier den Ausschnitt einer parabelförmigen Brückenaufhängung gegeben. Beantworte zuerst die folgende Frage und stelle dann den Graph, durch Bedienen des Schiebereglers, richtig ein!


Frage:  
Frage:  
Zeile 350: Zeile 268:
</div>
</div>
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<div align="center"><ggb_applet height="350" width="480" showResetIcon="true" id="kfkrscag" /> </div>|3=Arbeitsmethode}}


<div align="center"><ggb_applet height="350" width="480" showResetIcon="true" filename="Hohenzollern_Brücke_River Rhine_Cologne Köln.ggb" /> </div>


 
{{Box|1=Wir betrachten die Funktion f(x) = 0,5x<sup>2</sup>|2=
<big>'''2. Aufgabe:'''</big>


Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x<sup>2</sup>".  
Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x<sup>2</sup>".  
Zeile 361: Zeile 278:
Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist fest vorgegeben.
Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist fest vorgegeben.
Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle.
Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle.
Überprüfe anschließend, durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graph liegen. Liegen alle Punkte auf dem Graph, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!  
Überprüfe anschließend durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graph liegen. Liegen alle Punkte auf dem Graph, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!  




<div align="center"><ggb_applet height="500" width="550" showResetIcon="true" filename="Für_Lernpfad_4_Sation_5_Aufgabe_2.ggb‎" /> </div>
<div align="center"><ggb_applet height="500" width="550" showResetIcon="true" id="t66cwjut‎" /> </div>|3=Arbeitsmethode}}




 
{{Box|1=Bestimme den Parameter a|2=
<big>'''3. Aufgabe:'''</big>
 
Gegeben ist die quadratische Funktion "f(x) = ax<sup>2</sup>".
Gegeben ist die quadratische Funktion "f(x) = ax<sup>2</sup>".


<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">
'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [2; 12] verläuft?''' (!1) (!2) (3) (!4)
'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt <math>[2|12]</math> verläuft?''' (!1) (!2) (3) (!4)
</div>
</div>


<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">
'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [3; 9] verläuft?''' (1) (!2) (!3) (!4)
'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt <math>[3|9]</math> verläuft?''' (1) (!2) (!3) (!4)
</div>
</div>


<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">
'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [4; 32] verläuft?''' (!1) (2) (!3) (!4)
'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt <math>[4|32]</math> verläuft?''' (!1) (2) (!3) (!4)
</div>
</div>|3=Arbeitsmethode}}
 
<br><br><br><br>


'''Glückwunsch!'''
'''Glückwunsch!'''


Damit hast du den Lernpfad "Der Graph der quadratischen Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden schließlich alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktion gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!
Damit hast du den Lernpfad "Der Graph der quadratischen Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden schließlich alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktion gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!
{{Fortsetzung|weiterlink=Quadratische_Funktionen/Kapitel_5:_Die_Scheitelpunkts-_und_Normalform_und_der_Parameter_a|weiter=Die Normalform, die Scheitelpunktsform und der Parameter a}}
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:45 Uhr


Der Graph der quadratischen Funktion "f(x)ax2"

In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion mit dem Vorfaktor a kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

  • Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a
  • Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a
  • Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick
  • Aufstellen der Funktionsgleichung
  • Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)ax2"


In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert. Dieser Parameter sorgt für eine Streckung, Stauchung und/oder eine Spiegelung der Parabel. Wie das genau funktioniert lernst du in den nächsten Stationen.

Aber nun erstmal zur Funktionsgleichung. Der Parameter a kommt als "Vorfaktor" dazu, wodurch die folgende Funktionsgleichung entsteht:

                         f(x)= ax2


Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, wollen wir die Begriffe "Streckung" und "Stauchung" kurz erläutern, damit jeder weiß, was damit gemeint ist.

Überlege dir, was du unter den Begriffen verstehst, und löse dann die folgende Aufgabe.

Streckung und Stauchung

Du hast verschiedene Bilder gegeben. Ordne die richtigen Begriffe zu!

Bild für Lernpfad1.jpg Bild für Lernpfad2.jpg Bild für Lernpfad3.jpg
gestreckt gestaucht normal

Nachdem wir das geklärt haben, können wir jetzt mit dem Lernpfad beginnen.


STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a

Hinweise:

  • In dem "GeoGebra-Applet" ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau
  • Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a


Quadratische Funktion "f(x)ax2" für positiven Parameter

Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a im Hinblick auf die Normalparabel?

GeoGebra

Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Vorfaktor a führt zu einer Streckung oder Stauchung der Normalparabel in y-Richtung.
Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a Eins ist, denn dann ist "f(x) = 1x2 = x2" identisch der Normalparabel.
Ist a > 1, so ist der Graph gestreckt.
Ist a < 1, so nennt man den Graph gestaucht.
Außerdem ist die quadratische Funktion "f(x) = ax2" für den positiven Vorfaktor a nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt mit den Koordinaten .


Der Vorfaktor a (größer 0)

Für die quadratische Funktion "f(x) ax2" mit dem positiven Vorfaktor a gilt:

  • Die von a abhängige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch eine Streckung oder Stauchung in y-Richtung
  • Für a 1 gilt: Identisch zur Normalparabel, denn "f(x) 1x2 x2"
  • Für a > 0 gilt:
    • Der Graph ist nach oben geöffnet
    • Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung
    • Für a > 1 gilt: Der Graph ist gestreckt
    • Für a < 1 gilt: Der Graph ist gestaucht


Da wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.


STATION 2: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a

Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen für den negativen Parameter a kennen.


Quadratische Funktion "f(x) = ax²" für negativen Parameter a

Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a wenn er negativ wird?

GeoGebra

Quiz:

Wie ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!gar nicht) (!nach oben) (nach unten)

Welche Aussage ist für den negativen Vorfaktor a richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt)

Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Er bewirkt nur eine Streckung) (!Er bewirkt nur eine Stauchung) (Er bewirkt eine Streckung oder Stauchung)

Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Die Normalparabel wird an der x-Achse gespiegelt) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht)

Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestreckt? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1)

Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestaucht? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0)


Der Parameter a < 0

Für die quadratische Funktion "f(x) ax2" mit dem negativen Vorfaktor a gilt:

  • Die von a abhängige Parabel entsteht zum einen aus der Spiegelung an der x-Achse sowie einer Streckung oder Stauchung in y-Richtung
  • Für a -1 gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; "f(x)-1x2 -x2"
  • Für a < 0 gilt:
    • Der Graph ist nach unten geöffnet
    • Scheitelpunkt S ist höchster Punkt und liegt im Ursprung
    • Für a < -1 gilt: Der Graph ist gestreckt
    • Für a > -1 gilt: Der Graph ist gestaucht


STATION 3: Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick

Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a sind, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen, welche du zunächst nur in einzelnen Puzzleteilen vorfindest. Löse das Puzzle, du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!


PParametera1.jpg PParametera4.jpg PParametera7.jpg
PParametera2.jpg PParametera5.jpg PParametera8.jpg
PParametera3.jpg PParametera6.jpg PParametera9.jpg


Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen, die richtigen Kombinationen zu finden!
Lies dafür zunächst alle Vorgaben und alle möglichen Lösungen genau durch.


Vorgabe Passender Textbaustein
1. Vorfaktor a ist negativ Nach unten geöffnete Parabel
2. a < -1 Graph ist gestreckt
3. Scheitelpunkt S für negativen Parameter a Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung S
4. 0 > a > -1 Graph ist gestaucht
5. Vorfaktor a ist positiv Nach oben geöffnete Parabel
6. 0 < a < 1 Graph ist gestaucht
7. Scheitelpunkt S für positiven Parameter a Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung S
8. a > 1 Graph ist gestreckt
9. Der Vorfaktor a bewirkt eine… Streckung oder Stauchung der Normalparabel


STATION 4: Aufstellen der Funktionsgleichung

Bisher konntest du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler des "GeoGebra-Applets" ablesen. Nun wollen wir lernen, wie man anhand des Graphen, den Parameter a bestimmt. Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall für "f(x)= ax2". Im nächsten Lernpfad erfährst du dann, wie man den Parameter a auch für verschobene Parabeln bestimmt.

Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei die Vorgehensweise, zum Bestimmen des Parameters a, zu erkennen.


Quadratische Funktion "f(x) = ax2" mit positivem und negativem Parameter a
GeoGebra

1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x2". Gehe vom Scheitelpunkt aus auf der x-Achse eine Einheit nach rechts.

Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen, um die Parabelkurve zu erreichen? (!2) (1) (!3)


2. Bediene nun den Schieberegler und stelle a = 2 ein. Gehe genauso vor wie in der Aufgabe 1. Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts auf der x-Achse.

Um wie viele Einheiten muss du nun in y-Richtung gehen? (!3) (2) (!4)


3. Erkennst du schon ein Muster? Versuche das folgende Quiz zu lösen:

Wenn man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und 4 Einheiten nach oben geht, dann hat der Parameter a den Wert: (!1) (!2) (!3) (4)


4. Stelle nun den Schieberegler auf den Wert a = -2.

Funktioniert das Ablesen bei einem negativen Vorfaktor a genauso wie bei positiven Werten von a? (!Nein) (JA)



5. Man geht vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach unten!

Wie lautet der Wert vom Vorfaktor a?? (!1) (-3) (!3)



Bestimmung des Parameters a

Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:

  • Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt
  • Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts
  • Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve
  • Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Vorfaktor a
  • Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv
  • Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ

Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Vorfaktors a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.


Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!

Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!

Parabel1.png Parabel2.png Parabel3.png Parabel4.png Parabel5.png
y = -0,5x2 y = 0x2 y = 2x2 y = -4x2 y = 0,5x2


STATION 5: Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)ax2"

Parabeln im Alltag

Die Parabelform taucht auch in Bereichen des Alltags auf. Hier siehst du den Ausschnitt einer parabelförmigen Brückenaufhängung (Die Hohenzollernbrücke über der Rhein bei Köln). Beantworte zuerst die folgende Frage und stelle dann den Graph durch Bedienen des Schiebereglers richtig ein!

Frage:

Was muss für den Vorfaktor a gelten? (Mehrere Antworten möglich!) (!er ist positiv) (er ist negativ) (!a < -1) (-1 < a < 0)


GeoGebra


Wir betrachten die Funktion f(x) = 0,5x2

Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x2".

Im folgenden "GeoGebra-Applet" erkennst du die Punkte A, B, C und D. Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist fest vorgegeben. Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle. Überprüfe anschließend durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graph liegen. Liegen alle Punkte auf dem Graph, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!


GeoGebra


Bestimme den Parameter a

Gegeben ist die quadratische Funktion "f(x) = ax2".

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt verläuft? (!1) (!2) (3) (!4)

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt verläuft? (1) (!2) (!3) (!4)

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt verläuft? (!1) (2) (!3) (!4)

Glückwunsch!

Damit hast du den Lernpfad "Der Graph der quadratischen Funktion f(x)ax2" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden schließlich alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktion gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!