Quelltext der Seite Quadratische Funktionen/Kapitel 3: Die Normalform "f(x) = x² + bx + c"

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{{Box|1=Die Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"|2=

'''In diesem Lernpfad lernst du die Normalform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''

Folgendes Punkte wirst du kennenlernen:

*Wie komme ich von der Scheitelpunkts- zur Normalform?
*Wie komme ich von der Normal- zur Scheitelpunktsform?

|3=Lernpfad}}

{{Navigation verstecken|{{Vorlage:Quadratische Funktion}}}}


Im letzten Lernpfad hast du die '''Scheitelpunktsform "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die '''Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"'''. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man von der Scheitelpunkts- zur Normalform und von der Normal- zur Scheitelpunktsform gelangt. 


==STATION 1: Von der Scheitelpunkts- zur Normalform==

Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der '''Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' und der '''Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"'''.

Die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform ist nicht besonders schwer.
<br>

{{Box|1=Von der Scheitelpunktsform zur Normalform|2=
Du hast die Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> (x - 4)<sup>2</sup> + 5"''' gegeben. 
Diese Form soll nun durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme <br>
auf die Form '''"f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gebracht werden.

Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!|3=Arbeitsmethode}}

'''„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:'''

<div class="lueckentext-quiz">
{| 
|- 
| ||<u> Verfahren  </u>||<u>  Beispiel  </u>
|- 
|1.||y<math>=</math>||<strong> [x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> </strong> <br>
|- 
|2.||y<math>=</math>||<strong> [x - 4]<sup>2</sup> + 5 </strong> <br>
|- 
|3.||y<math>=</math>||<strong> [x<sup>2</sup> - 8x + 16] + 5 </strong> <br>
|- 
|4.||y<math>=</math>||<strong> x<sup>2</sup> - 8x + 21 </strong> <br>
|- 
|5.||y<math>=</math>||<strong> x<sup>2</sup> + bx + c  </strong> <br>
|}
</div>

{{Box|1=Die Normalform|2=
Die Normalform '''"f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' entsteht aus der Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme. <br>
|3=Merksatz}}


==STATION 2: Von der Normal- zur Scheitelpunktsform==


Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie bereits von früher!

In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat. 
Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen. 

Bei der Normalform "f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen
deshalb lernen, wie man die Normal- in die Scheitelpunktsform umformt. 

Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich '''quadratische Ergänzung''' und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt. 

Löse zur Wiederholung der quadratischen Ergänzung die folgende Zuordnung.<br>
<br>

'''„Von der Normalform zur Scheitelpunktsform“:'''

<div class="lueckentext-quiz">
{| 
|- 
| ||<u> Verfahren  </u>||<u>  Beispiel  </u>
|- 
|1.||Normalform der Parabel:||<strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 11 </strong>
|- 
|2.||Vergleich mit a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>:||<strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2<math>\cdot</math> x <math>\cdot</math> 3 + 11 </strong>
|- 
|3.||Quadratische Ergänzung:||<strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> + 11 </strong>
|- 
|4.||Scheitelpunktsform:||<strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 2 </strong>||
|-
|5.||Scheitelkoordinaten:||<strong> S <math>[-3|2]</math> </strong>
|}
</div>


{{Box|1=Quadratische Ergänzung|2=
Man gelangt mittels '''quadratischer Ergänzung''' von der Normalform '''"f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' zur Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"'''.<br>
|3=Merksatz}}


Löse die folgende Aufgabe!


{{Box|1=Quadratische Ergänzung|2=

Du hast drei verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu. Dabei bekommt jede Funktionsgleichung vier Schritte zugeordnet.|3=Arbeitsmethode}}


<div class="zuordnungs-quiz">
{| 
|f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 2||f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 1<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> - 2||f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 2||f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 3||S <math>[1|-3]</math>||
|-
|f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 15||f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 5<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15||f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15||f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 10||S <math>[-5|-10]</math>||
|-
|f(x) = x<sup>2</sup> + 6x||f(x) = x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>||f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>||f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 9||S <math> [-3|-9]</math>||
|}
</div>



Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen der quadratischen Funktion, die '''Scheitelpunkts-''' und '''Normalform'''. <br>
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen. <br>

{{Fortsetzung|weiterlink=Quadratische_Funktionen/Kapitel_4:_Der_Graph_der_quadratischen_Funktion_"f(x)_%3D_ax²"|weiter=Die modifizierte Normalparabel}}

[[Kategorie:Mathematik]]
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[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:R-Quiz]]