Muster erkennen und geschickt fortsetzen

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Einführung

Regelmäßige Muster findest du oft in der Natur zum Beispiel bei Pflanzen oder auch in der regelmäßigen Struktur von Bienenwaben. Aber nicht nur Tiere folgen einem festen Bauplan, auch wir bauen "Muster" in unsere Behausungen. Da überrascht es nicht, dass schon viele Mathematiker solche Muster untersuchten und mit Zahlen beschrieben. Ein besonders bekannter Mathematiker, der sich für solche Regelmäßigkeiten interessierte, war Fibonacci. Dazu werdet ihr hier später noch mehr entdecken!

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  regelmäßige Blüte

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  Schafgarbenblüten

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  Bienenwabe

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  Mauerwerk

Was lernst du hier?

Auf dieser ersten Seite geht es darum, regelmäßige Muster zu untersuchen.

Erkundungsaufgabe 1: Muster aus Hölzchen

Diese Aufgabe beantwortest du in deinem Hefter.

Fabian hat das folgende Muster aus Hölzchen gelegt.

a) Wie viele Hölzchen siehst du? Beschreibe, wie du beim Zählen vorgegangen bist!

b) Findest du auch eine weitere geschickte Zählstrategie? Notiere deine Rechnung!

c) Lucio hat ein ähnliches Muster gelegt. Zeichne beide Muster in dein Heft und ergänze mindestens zwei weitere ähnliche Muster. Wie viele Hölzchen brauchst du für die Muster jeweils?

d) Berechne, wie viele Hölzer du für ein Hölzchenmuster mit einer Breite von 9 (oder 19) Hölzchen benötigst. Beschreibe wie du gerechnet hast!

Hier kannst du dir anschauen, wie Fabian, Lucio und Merle die Hölzchen auf unterschiedliche Weise geschickt zählen. Verwende eine ähnliche Strategie, um dir zu überlegen wie viele Hölzchen du für ein Hölzchenmuster mit einer Breite von 9 (oder 19) Hölzchen benötigst.

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  Fabians Strategie zu zählen

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  Lucios Strategie zu zählen

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  Merles Strategie zu zählen

Fabian erklärt seine Strategie so: Ich sehe in dem Hölzchenmuster ganz viele L-förmige Muster. Für jedes "L" brauche ich 3 Hölzchen. Wenn ich 5 solche "L"-Muster aneinanderlege, brauche ich $3+3+3+3+3=15$ Hölzchen.

*e) Findest du eine Regel, wie du die Anzahl der Hölzchen für eine x-beliebige Breite des Hölzchenmusters berechnen kannst? Erkläre!

a-b) Hier gibt es individuelle Lösungen. Zum Vergleich findest du Beispiele für Zählstratgien von Merle, Fabian und Lucio in der Hilfe zu Aufgabenteil d) - es gibt aber noch weitere Strategien!

c) Hier sind zwei Beispiele für ähnliche Bilder-Muster. Deine Lösung kann aber auch andere Muster enthalten!

d) Für eine Hölzchenmuster mit einer Breite von 9 Hölzchen brauchst du insgesamt 27 Hölzchen. Wenn man so zählt wie Fabian (siehe Hilfe zu Aufgabenteil d), dann rechnet man $3+3+3+...+3=27$ oder $9\cdot 3=27$.

Für eine Hölzchenmuster mit einer Breite von 19 Hölzchen brauchst du insgesamt 57 Hölzchen. Wenn man so zählt wie Fabian (siehe Hilfe zu Aufgabenteil d), dann rechnet man $3+3+3+...+3=57$ oder $19\cdot 3=57$.

e) Wenn man so zählt wie Fabian, braucht man für jedes "L" 3 Hölzchen und mit jedem solchen "L" wird das Muster ein Hölzchen breiter. Wenn man x-beliebig viele "L"-förmige Hölzchenmuster aneinanderlegt kann die Anzahl der Hölzchen so berechnen: ${\text{Breite des ganzen Musters}}\cdot 3={\text{Anzahl der benötigten Hölzchen}}$

Erkundungsaufgabe 2: Schokolinsenmuster

Merle hat Muster aus Schokolinsen gelegt. Du sollst ihr jetzt helfen die Bildmuster zu untersuchen.

a) Ordne die Bilder und Zahlen an die passenden Stellen in der Tabelle ein. Achtung: Einige Zahlen bleiben übrig und einige Bilder fehlen!

Falls die App hier nicht funktioniert, findest du die App auch unter diesem Link: [1]

Wenn du Schwierigkeiten hast die Zahlen und die Bilder zuzuordnen, zeichne dir die gesamte Bilderfolge mit Punkten in dein Heft!

Diese Aufgabenteile b-d beantwortest du in deinem Hefter.

b) Beschreibe, wie sich die Bilder aus der App in Aufgabe 2a von einem Schritt zum nächsten verändern.

Beschreibe, wie sich die Zahlen von Zahl zu Zahl verändern.

Um ihre Überlegung beim Legen der Schokolinsen zu erklären, hat Merle das Muster mit farbig sortierten Schokolinsen gelegt und für jedes Bild die Anzahl der Linsen berechnet.

Beschreibung der Bilderfolge) Die Bilderfolge startet mit einer Schokolinse. Im ersten Schritt werden zwei Schokolinsen hinzugelegt, sodass ein Dreieck aus drei Linsen entsteht. In jeden weiteren Schritt wird eine weitere Reihe Schokolinsen unter das Dreieck gelegt. Dabei ist jede weitere Reihe eine Schokolinse breiter als die Reihe zuvor.

Beschreibung der Zahlenfolge) Wir starten mit der Zahl 1. Im ersten Schritt werden 2 addiert, sodass wir 3 erhalten. Im zweiten Schritt wird dazu 3 addiert, sodass wir 6 erhalten. In jeden Schritt wird eine um 1 größere Zahl addiert als im Schritt zuvor.

Information

Anstatt die Anzahl der Schokolinsen in eine Tabelle zu schreiben, kann die Anzahl der Schokolinsen auch in einer Zahlenfolge angegeben werden. Die dritte Zahl beschreibt zum Beispiel die Anzahl der Schokolinsen im dritten Bild. In der Zahlenfolge 1, 2, 4, ... beschreibt zum Beispiel die Zahl 4, dass im dritten Bild 4 Schokolinsen gezeichnet werden müssen.

Erkundungsaufgabe 3: Von der Zahlenfolge zur Bilderfolge

a) Zeichne zu der Zahlenfolge 1, 2, 4, ... eine passende Bilderfolge und setze diese Folge noch um zwei weitere Bilder und Zahlen fort. Findest du eine weitere Möglichkeit die Folge auf andere Weise fortzusetzen?

Merle hat die ersten drei Bilder mit farbigen Schokolinsen gelegt. Erkennst du eine Regelmäßigkeit?

a)

Merle hat die folgenden Bilder mit Schokolinsen gelegt und so die Zahlenfolge zu 1, 2, 4, 7, 11... ergänzt. Sie startet mit einer Schokolinse und im ersten Schritt wird eine Schokolinse hinzugelegt. In jedem weiteren Schritt wird nun eine Schokolinse mehr als im vorherigen Schritt hinzugelegt.

Fabian hat in der Zahlenfolge eine andere Regelmäßigkeit gesehen, als er die Bilder gelegt hat. Er startet mit einer Schokolinse und verdoppelt die Anzahl der Schokolinsen in jedem Schritt. So erhält er die Zahlenfolge 1, 2, 4, 8, 16, ...

b) Jetzt ist deine Kreativität gefragt! Suche dir zu Hause Gegenstände in ausreichender Anzahl (zum Beispiel Süßigkeiten, Geschirr, Stifte, Murmeln, ...). Lege mit diesen Gegenständen eine Bilderfolge und mache ein Foto. Notiere auch die dazugehörige Zahlenfolge. Gelingt es dir mit den Gegenständen auch eine weitere, noch schwieriger zu erkennende Bilderfolge zu legen?

Übersicht über Strategien beim geschickten Fortsetzen von Mustern