Muster erkennen und geschickt fortsetzen: Unterschied zwischen den Versionen

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Für eine Hölzchenkette mit einer Länge von 19 Hölzchen brauchst du insgesamt 57 Hölzchen. Wenn man so zählt wie Fabian (siehe Hilfe zu Aufgabenteil d), dann rechnet man <math>3+3+3+...+3=57</math>  oder <math>19\cdot3=57</math>.
 
Für eine Hölzchenkette mit einer Länge von 19 Hölzchen brauchst du insgesamt 57 Hölzchen. Wenn man so zählt wie Fabian (siehe Hilfe zu Aufgabenteil d), dann rechnet man <math>3+3+3+...+3=57</math>  oder <math>19\cdot3=57</math>.
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e) Wenn man so zählt wie Fabian, braucht man für jedes "L" 3 Hölzchen und mit jedem solchen "L" wird die Kette ein Hölzchen länger. Wenn man x-beliebig viele "L"-förmige Hölzchenmuster aneinanderlegt kann die Anzahl der Hölzchen so berechnen: <math> Länge der Kette \cdot 3 = Anzahl der benötigten Hölzchen </math>
 
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Version vom 11. Mai 2020, 11:31 Uhr

Muster erkennen und geschickt fortsetzen




Einführung

Regelmäßige Muster findest du oft in der Natur zum Beispiel bei Pflanzen oder auch in der regelmäßigen Struktur von Bienenwaben. Aber nicht nur Tiere folgen einem festen Bauplan, auch wir bauen "Muster" in unsere Behausungen. Da überrascht es nicht, dass schon viele Mathematiker solche Muster untersuchten und mit Zahlen beschrieben. Ein besonders bekannter Mathematiker , der sich für solche Regelmäßigkeiten interessierte, war Fibonacci. Dazu werdet ihr hier später aber noch mehr lernen!

Auf dieser ersten Seite geht es darum, regelmäßige Muster zu untersuchen.


Erkundungsaufgabe 1: Muster aus Hölzchen

Diese Aufgabe beantwortest du in deinem Hefter.

Fabian hat das folgende Muster aus Hölzchen gelegt.

Hölzchenmuster1.jpg









a) Wie viele Hölzchen siehst du? Beschreibe, wie du beim Zählen vorgegangen bist!

b) Findest du auch eine weitere geschickte Zählstrategie? Notiere deine Rechnung!

c) Lucio hat ein ähnliches Muster gelegt. Zeichne beide Muster in dein Heft und ergänze mindestens zwei weitere ähnliche Muster. Wie viele Hölzchen brauchst du für die Muster jeweils?

Hölzchenmuster2.jpg








d) Berechne wie viele Hölzer du benötigst, um ein eine ähnliche Hölzchenkette mit einer Länge von 9 (oder 19) Hölzchen zu legen. Beschreibe wie du gerechnet hast!

Hier kannst du dir anschauen, wie Fabian, Lucio und Merle die Hölzchen auf unterschiedliche Weise geschickt zählen. Verwende eine ähnliche Strategie, um dir zu überlegen wie viele Hölzchen du für eine Kette mit der Länge 19 benötigst.

Fabian erklärt seine Strategie so: Ich sehe in dem Hölzchenmuster ganz viele L-förmige Muster. Für jedes "L" brauche ich 3 Hölzchen. Wenn ich 5 solche "L"-Muster aneinanderlege, brauche ich 3+3+3+3+3=15 Hölzchen.

*e) Findest du eine Regel, wie du die Anzahl der Hölzchen für eine x-beliebige Länge der Hölzchenkette berechnen kannst? Erkläre!

a-b) Hier gibt es individuelle Lösungen. Zum Vergleich findest du Beispiele für Zählstratgien von Merle, Fabian und Lucio in der Hilfe zu Aufgabenteil d) - es gibt aber noch weitere Strategien!

c) Hier sind zwei Beispiele für ähnliche Bilder-Muster. Deine Lösung kann aber auch andere Muster enthalten! Beispiel-Bilderfolgen.jpg

d)Für eine Hölzchenkette mit einer Länge von 9 Hölzchen brauchst du insgesamt 27 Hölzchen. Wenn man so zählt wie Fabian (siehe Hilfe zu Aufgabenteil d), dann rechnet man oder .

Für eine Hölzchenkette mit einer Länge von 19 Hölzchen brauchst du insgesamt 57 Hölzchen. Wenn man so zählt wie Fabian (siehe Hilfe zu Aufgabenteil d), dann rechnet man oder .

e) Wenn man so zählt wie Fabian, braucht man für jedes "L" 3 Hölzchen und mit jedem solchen "L" wird die Kette ein Hölzchen länger. Wenn man x-beliebig viele "L"-förmige Hölzchenmuster aneinanderlegt kann die Anzahl der Hölzchen so berechnen: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle Länge der Kette \cdot 3 = Anzahl der benötigten Hölzchen }


Erkundungsaufgabe 2: Schokolinsenmuster


Merle hat Muster aus Schokolinsen gelegt. Du sollst ihr jetzt helfen die Bildmuster zu untersuchen.

a) Ordne die Bilder und Zahlen an die passenden Stellen in der Tabelle ein. Achtung: Einige Zahlen bleiben übrig und einige Bilder fehlen!


Wenn du Schwierigkeiten hast die Zahlen und die Bilder zuzuordnen, zeichne dir die gesamte Bilderfolge mit Punkten in dein Heft!

Diese Aufgabenteile b-d beantwortest du in deinem Hefter.

b) Beschreibe, wie sich die Bilder von einem Schritt zum nächsten verändern.

Beschreibe, wie sich die Zahlen von Zahl zu Zahl verändern.

Um ihre Überlegung beim Legen der Schokolinsen zu erklären, hat Merle das Muster mit farbig sortierten Schokolinsen gelegt und für jedes Bild die Anzahl der Linsen berechnet.

Zählstrategie Schokolinsen.jpg

Beschreibung der Bilderfolge) Die Bilderfolge startet mit einer Schokolinse. Im ersten Schritt werden zwei Schokolinsen hinzugelegt, sodass ein Dreieck aus drei Linsen entsteht. In jeden weiteren Schritt wird eine weitere Reihe Schokolinsen unter das Dreieck gelegt. Dabei ist jede weitere Reihe eine Schokolinse breiter als die Reihe zuvor.

Beschreibung der Zahlenfolge) Wir starten mit der Zahl 1. Im ersten Schritt werden 2 addiert, sodass wir 3 erhalten. Im zweiten Schritt wird dazu 3 addiert, sodass wir 6 erhalten. In jeden Schritt wird eine um 1 größere Zahl addiert als im Schritt zuvor.


Information

Anstatt die Anzahl der Schokolinsen in eine Tabelle zu schreiben, kann die Anzahl der Schokolinsen auch in einer Zahlenfolge angegeben werden. Die dritte Zahl beschreibt zum Beispiel die Anzahl der Schokolinsen im dritten Bild. In der Zahlenfolge 1, 2, 4, ... beschreibt zum Beispiel die Zahl 4 an der dritten Stelle der Folge, dass im dritten Bild 4 Schokolinsen gezeichnet werden müssen.

c) Zeichne zu der Zahlenfolge 1, 2, 4, ... eine passende Bilderfolge und setze diese Folge noch um zwei weitere Bilder und Zahlen fort. Findest du eine weitere Möglichkeit die Folge auf andere Weise fortzusetzen?

Merle hat die ersten drei Bilder mit farbigen Schokolinsen gelegt. Erkennst du eine Regelmäßigkeit? Tipp Merle.jpg

c)

Stufenweise.jpg






Merle hat die folgenden Bilder mit Schokolinsen gelegt und so die Zahlenfolge zu 1, 2, 4, 7, 11... ergänzt. Sie startet mit einer Schokolinse und im ersten Schritt wird eine Schokolinse hinzugelegt. In jedem weiteren Schritt wird nun eine Schokolinse mehr als im vorherigen Schritt hinzugelegt.






Exponentielles Wachstum mit Schokolinsen.jpg





Fabian hat in der Zahlenfolge eine andere Regelmäßigkeit gesehen, als er die Bilder gelegt hat. Er startet mit einer Schokolinse und verdoppelt die Anzahl der Schokolinsen in jedem Schritt. So erhält er die Zahlenfolge 1, 2, 4, 8, 16, ...


d) Jetzt ist deine Kreativität gefragt! Suche dir zu Hause Gegenstände in ausreichender Anzahl (zum Beispiel Süßigkeiten, Geschirr, Stifte, Murmeln, ...). Lege mit diesen Gegenständen eine Bilderfolge und mache ein Foto. Notiere auch die dazugehörige Zahlenfolge. Gelingt es dir mit den Gegenständen auch eine weitere, noch schwieriger zu erkennende Bilderfolge zu legen?