Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Funktionsgleichung und Funktionsgraph: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM-Unterrichten
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung)
K (linkfix)
(Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung)
 
(46 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
<br />
+
{{Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}}
  
 
==Wertetabelle und Funktionsgraph==
 
==Wertetabelle und Funktionsgraph==
Zeile 31: Zeile 31:
 
}}{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funkton.<br>
 
}}{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funkton.<br>
 
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."<br>
 
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."<br>
[[Datei:F(x)=2x+5 mit Punkten.png|rahmenlos|500x500px]]|Kurzinfo
+
[[Datei:F(x)=2x+5 mit Punkten.png|rahmenlos|600x600px]]|Kurzinfo
 
}}Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}{{Box|Übung 1|Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.|Üben
 
}}Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}{{Box|Übung 1|Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.|Üben
 
}}<ggb_applet id="ee7U2NGK" width="1280" height="792" border="888888" /><small>Applet von Hans Scharrer, jkreitner</small>{{Box|Übung 2
 
}}<ggb_applet id="ee7U2NGK" width="1280" height="792" border="888888" /><small>Applet von Hans Scharrer, jkreitner</small>{{Box|Übung 2
Zeile 105: Zeile 105:
 
{{!)}}
 
{{!)}}
 
| 3 = Üben
 
| 3 = Üben
}}{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen.png|rahmenlos|611x611px]]<br>
+
}}{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen.png|rahmenlos|605x605px]]<br>
 
[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen 2.png|rahmenlos|600x600px]]|Vergleiche deine Graphen|Verbergen}}
 
[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen 2.png|rahmenlos|600x600px]]|Vergleiche deine Graphen|Verbergen}}
  
Zeile 111: Zeile 111:
  
 
===f(x) = mx + b  Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===
 
===f(x) = mx + b  Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===
Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.<ggb_applet id="gdvednbk" width="700&quot;" height="500" />{{Lösung versteckt|1=In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen:<br>
+
Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
 +
<ggb_applet id="vheskjwp" width="700" height="500" border="888888" />
 +
{{Lösung versteckt|1=In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen:<br>
 
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0&#124;b) schneidet die Gerade die y-Achse.<br>
 
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0&#124;b) schneidet die Gerade die y-Achse.<br>
 
m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.|2=Beobachtungen|3=Verbergen}}Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0&#x7C;0).
 
m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.|2=Beobachtungen|3=Verbergen}}Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0&#x7C;0).
  
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.{{Lösung versteckt|Hier geht es zum Kapitel "proportionale Zuordnungen" im Lernpfad der Klasse 7<br>
+
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.
[[Benutzer:Buss-Haskert/Lernpfad_Zuordnungen_und_Dreisatz/Proportionale_Zuordnungen|Proportionale Zuordnungen]]|Erinnerung: proportionale Zuordnungen|Verbergen}}
 
  
 
===Die Steigung m===
 
===Die Steigung m===
Zeile 123: Zeile 124:
 
Ist m > 0, steigt die Funktion.
 
Ist m > 0, steigt die Funktion.
 
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Arbeitsmethode
 
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Arbeitsmethode
}}Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.
+
}}
 +
Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.
  
 
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.
 
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.
Zeile 139: Zeile 141:
  
 
Die Gerade fällt <u>flach</u> für '''-1 < m < 0''' und <u>steil</u> für '''m < -1'''.
 
Die Gerade fällt <u>flach</u> für '''-1 < m < 0''' und <u>steil</u> für '''m < -1'''.
</div>{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben
+
</div>{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben}}
}}{{LearningApp
+
{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width = 100%| height = 400px}}
| app = pcwv0txpt20
+
 
| width = 100%
+
{{h5p-zum|id=14434|height=300}}<br />
| height = 400px
 
}}
 
  
{{h5p-zum|id=14434|height=300}}<br />{{Box|Übung 4
+
{{Box|Übung 4| 2 = Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:<br>
| 2 = Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:<br>
 
 
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph <span style="color:green">flach</span> <span style="color:red">fällt</span>." Lösung z.B. f(x) = <span style="color:red">'''-'''</span>[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
 
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph <span style="color:green">flach</span> <span style="color:red">fällt</span>." Lösung z.B. f(x) = <span style="color:red">'''-'''</span>[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
 
Prüft die Antworten mit GeoGebra.
 
Prüft die Antworten mit GeoGebra.
| 3 = Meinung
+
| 3 = Meinung}}
}}{{Lösung versteckt|Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach?<br>
+
{{Lösung versteckt|Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach?<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen 1.png|rahmenlos|500x500px]]<br>
+
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen 1.png|rahmenlos|387x387px]]<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png|rahmenlos|646x646px]]|Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png|rahmenlos|500x500px]]<br>
+
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png|rahmenlos|516x516px]]|Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png|rahmenlos|516x516px]]<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png|rahmenlos|500x500px]]|Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben|Verbergen}}Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).
+
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png|rahmenlos|516x516px]]|Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben|Verbergen}}
 
+
<br>
 +
Teste dein Wissen mit einem [https://create.kahoot.it/share/die-steigung-m/d71442b8-f64c-43c5-a4a4-a73217ac946a '''Kahoot'''] (im Unterricht).
 +
<br>
 +
<br>
 
===Das Steigungsdreieck===
 
===Das Steigungsdreieck===
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.<ggb_applet id="pjvps3st" width="1458" height="900" border="888888" />Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
+
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.
 +
<ggb_applet id="pjvps3st" width="1458" height="900" border="888888" />
 +
Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.<br>
  
Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus <math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math> bleibt immer gleich, dies ist die '''Steigung m'''. {{Box|Merke: Die Steigung m
+
Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus <math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math> bleibt immer gleich, dies ist die '''Steigung m'''.  
| 2 = Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
+
{{Box|Merke: Die Steigung m| 2 = Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.<br>
 +
Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]=<math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math>
 +
[[Datei:Steigungsdreieck Tafelbild 3.png|rahmenlos|500x500px]]| 3 = Arbeitsmethode}}
  
Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]=<math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math>
+
{{Box|Das Steigungsdreieck|Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen:<br>
[[Datei:Steigungsdreieck Tafelbild 3.png|rahmenlos|500x500px]]
+
[[Datei:Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom.jpg|rahmenlos|600x600px]]<br>
| 3 = Arbeitsmethode
+
Was meinst du?<br>
}}{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
+
Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.|Meinung}}
*15|Üben
+
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5<br>
}}
+
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin.<br>
 +
<ggb_applet id="gjbxvqr5" width="1200" height="768" border="888888" />
 +
<small>Applet von Buß-Haskert</small>
 +
<br>
 +
{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
 +
*15|Üben}}
  
 
=====Die Steigung m eines Graphen ablesen=====
 
=====Die Steigung m eines Graphen ablesen=====
Zeile 173: Zeile 184:
  
 
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.  
 
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.  
<br />{{#ev:youtube|7zYsjAdTT5M|800|center|||start=0&end=134}}{{Box|Übung 6|Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.<br>
+
<br />{{#ev:youtube|7zYsjAdTT5M|800|center|||start=0&end=134}}
Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben
 
}}1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):
 
  
[[Datei:Steigungsdreieck_m_ganze_Zahl_(positiv).png|verweis=link=Special:FilePath/Steigungsdreieck_m_ganze_Zahl_(positiv).png|rahmenlos]] {{LearningApp
+
{{Box|Übung 6|Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.<br>
| app = p4u99frac21
+
Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}}
| width = 100%
+
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):
| heigth = 600px
+
 
}}  
+
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png|rahmenlos|600x600px]]<br>
 +
{{LearningApp|app=p4u99frac21|width=100%|heigth=600px}}  
  
  
 
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:
 
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:
  
[[Datei:Steigungsdreieck_m_ganze_Zahl_(negativ).png|verweis=link=Special:FilePath/Steigungsdreieck_m_ganze_Zahl_(negativ).png|rahmenlos]] {{LearningApp
+
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
| app = p1e8uj53c21
 
| width = 100%
 
| heigth = 600px
 
}}
 
  
 +
{{LearningApp|app=p1e8uj53c21|width=100%|heigth=600px}}
  
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):
 
  
[[Datei:Steigungsdreieck_m_Bruch_(positiv).png|verweis=link=Special:FilePath/Steigungsdreieck_m_Bruch_(positiv).png|rahmenlos]] {{LearningApp
+
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):  
| app = pyy290xt521
+
 
| width = 100%
+
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
| heigth = 600px
+
{{LearningApp|app=pyy290xt521|width=100%|heigth=600px}}  
}}  
 
  
  
 
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):
 
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):
  
[[Datei:Steigungsdreieck_m_Bruch_(negativ).png|verweis=link=Special:FilePath/Steigungsdreieck_m_Bruch_(negativ).png|rahmenlos]] {{LearningApp
+
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
| app = pqf5b16sj21
+
{{LearningApp|app=pqf5b16sj21|width=100%|heigth=800px}}  
| width = 100%
 
| heigth = 600px
 
}}  
 
  
<br />{{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben
+
<br />
}}{{LearningApp
+
{{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben}}
| app = p3f0yxqy321
+
{{LearningApp|app=p3f0yxqy321|width=100%|height=800px}}
| width = 100%
+
 
| height = 800px
+
{{Box|Übung 8|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
}}{{Box|Übung 8|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
 
 
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
 
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
 
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1]
 
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben
+
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben}}
}}{{Box|Übung 9
+
 
| 2 = Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt:<br>
+
{{Box|Übung 9| 2 = Löse die nachfolgenden LearningApps. Die Tipps unten helfen dir dabei.<br>| 3 = Üben}}
g<sub>1</sub>: f(x) = ...<br>
+
{{LearningApp|app=pb6hdqkqa22|width=100%|height=600px}}
g<sub>2</sub>: f(x) = ...<br>
+
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke.<br>|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu f1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu f2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zuf3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu f4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu f5|Verbergen}}|Tipps zur LearningApp|Verbergen}}
* S. 126 Nr. 5
+
{{LearningApp|app=p2r6pqnva22|width=100%|height=800px}}
* S. 126 Nr. 6
+
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu f|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu h|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu p|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu q|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu r und s|Verbergen}}|Tipps zur LearningApp (Steigungsdreiecke)|Verbergen}}
| 3 = Üben
+
 
}}{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke.<br>|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu g6 und g7|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 6|Verbergen}}Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).{{Box|Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub|* 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
+
 
 +
Teste dein Wissen mit einem [https://create.kahoot.it/share/steigungsdreieck-proportionaler-funktionen/8e135fcc-05ec-4312-8ad4-42d647509c41 '''Kahoot'''] (im Unterricht).
 +
 
 +
{{Box|Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub|* 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
 
* 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
 
* 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
 
* 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
 
* 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
Zeile 258: Zeile 262:
 
|-
 
|-
 
|}
 
|}
{{Lösung versteckt|Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub<br>
+
{{Lösung versteckt|Selbst erstellte Aufgabensammlung der Klasse 8: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub<br>
 
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an.<br>
 
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an.<br>
 
Aktivurlaub an der Nordsee:<br>
 
Aktivurlaub an der Nordsee:<br>
Zeile 274: Zeile 278:
 
Reiterferien:<br>
 
Reiterferien:<br>
 
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€.<br>
 
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€.<br>
11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€.<br>|Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub|Verbergen}}{{Box|Übung 11-Anwendungsaufgaben|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
+
11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€.<br>|Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub|Verbergen}}
* S. 127 Nr. 10
+
<br>
* S. 127 Nr. 11
+
<p>
* S. 127 Nr. 12|Üben
 
}}{{Lösung versteckt|1=Zeichne das Steigungsdreieck ein und lies die Werte für Δy und Δx ab. Es gilt m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math><br>|2=Tipp 1 zu Nr. 10|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=a) Eisenbahn<br>
 
Höhenunterschied 40m<br>
 
Horizontalunterschied 100m<br>
 
m = <math>\tfrac{40}{1000} = \tfrac{4}{100}</math> = 4%.
 
Lösungen: 4%; 28%; 75%; 90%|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|Verwende verschiedene Darstellungen:<br>[[Datei:S. 127 Nr. 11a Darstellungen.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp 1 zu Nr. 11|Verbergen}}{{Lösung  versteckt|1=Zeichne jeweils den gegebenen Punkt in ein Koordinatenkreuz und zeichne die Ursprungsgerade. Lies die Steigung m ab und gib die Funktionsgleichung f(x) = mx an.|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|Du kannst deine Lösung mithilfe von GeoGebra prüfen: Gib die Koordinaten des gegebenen Punktes ein und zeichne eine Gerade durch den Ursprung und den gegebenen Punkt. Lass dir dann das Steigungsdreieck einzeichnen. Nun kannst du die Funktionsgleichung angeben. Zoome so, dass du das Steigungsdreieck besser erkennen kannst.|Tipp 3 zu Nr. 11|Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Die Steigung lässt sich auch wie in Aufgabe 10 berechnen. m = m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math><br>
 
a) m = <math>\tfrac{5}{100} = 0,05</math>, also f(x) = 0,05x<br>
 
b) m = <math>\tfrac{275}{25} = \tfrac{11}{1}</math> = 11, also ...<br>
 
c) m = <math>\tfrac{320}{8}</math> = 40 ct.<br>
 
d) m = <math>\tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}</math>|2=Tipp 4 zu Nr. 11|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|Welche Bedeutung haben die x- bzw. y-Achse? Erkläre. <br>
 
Welche Bedeutung hat dann ein steiler Verlauf des Graphen? Erkläre.|Tipp zu Nr. 12a|Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Da es sich um Ursprungsgeraden handelt, müssen die Funktionsgleichungen die Form f(x)=mx haben (proportionale Funktionen). Bestimme die Steiung m mit einem geeigneten Steigungsdreieck. <br>
 
Welchen Punkt kannst du jeweils ablesen? <br>
 
m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math><br>
 
m<sub>1</sub> = ... = 0,08<br>
 
m<sub>2</sub> = ... = 0,16|2=Tipp zu Nr. 12b|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|Die Füllhöhe im Würfel steigt doppelt so schnell wie im Quader, also muss die Grundfläche ... so groß sein.|Tipp zu Nr. 12c|Verbergen}}
 
  
 
=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
 
=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
 
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen.
 
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen.
  
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. {{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}{{Box|Übung 12|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
+
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. {{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}
 +
 
 +
{{Box|Übung 11|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
 
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1]
 
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben
+
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben}}
}}{{Box|Übung 13|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.
+
 
* S. 126 Nr. 2
+
{{Box|1=Übung 12|2=Zeichne jeweils den Graphen der proportionalen Funktion mithilfe eines Steigungsdreiecks.<br> 
* S. 126 Nr. 4
+
a) f(x) = 2x <br>
* S. 126 Nr. 3|Üben
+
b) f(x) = -4x<br>
}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
+
c) f(x) = -x <br>
 +
d) f(x) = <math>\tfrac{1}{4}</math>x<br>
 +
e) f(x) = -<math>\tfrac{1}{2}</math>x<br>
 +
f) f(x) = <math>\tfrac{3}{4}</math>x<br>
 +
g) f(x) = -<math>\tfrac{2}{7}</math>x<br>
 +
|3=Üben}}
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
Zeile 310: Zeile 308:
 
so viele Schritte wie der <span style="color:blue">ZÄHLER</Span> angibt nach <span style="color:blue">OBEN</span> (m positiv) oder <span style="color:blue">UNTEN</span> (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
 
so viele Schritte wie der <span style="color:blue">ZÄHLER</Span> angibt nach <span style="color:blue">OBEN</span> (m positiv) oder <span style="color:blue">UNTEN</span> (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,h|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 2|Verbergen}}Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}<br />
+
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,g|Verbergen}}|Tipps Übung 12|Verbergen}}
 +
Zusammenfassung: <br>
 +
Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:
 +
{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}<br />
  
 
===Der y-Achsenabschnitt b===
 
===Der y-Achsenabschnitt b===
Zeile 320: Zeile 321:
 
Der Graph ist eine Gerade.<br>
 
Der Graph ist eine Gerade.<br>
 
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0&#124;b).<br>
 
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0&#124;b).<br>
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.
+
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.| 3 = Arbeitsmethode}}
| 3 = Arbeitsmethode
+
 
}}{{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben
+
{{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}
}}{{LearningApp
+
{{LearningApp| app = pfeqzdf8521| width = 100%| height = 600px}}
| app = pfeqzdf8521
 
| width = 100%
 
| height = 600px
 
}}
 
 
<br>
 
<br>
  
Zeile 337: Zeile 334:
  
 
===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
 
===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung|Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo
+
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung|Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}
}}<div class="grid"><div class="width-1-2">Erklärvideo:{{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div><div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div></div>Und nun noch einmal übersichtlich als Bild: Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
 
  
[[Datei:Funktionsgleichung_einer_Geraden_bestimmen_m=2.png|535x535px]]  
+
<div class="grid"><div class="width-1-2">Erklärvideo:{{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div><div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div></div>Und nun noch einmal übersichtlich als Bild: Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
 +
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|rahmenlos|600x600px]]
  
 
Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl  
 
Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl  
  
[[Datei:Funktionsgleichung_einer_Geraden_bestimmen_m=-1,5.png|528x528px]]
+
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|rahmenlos|600x600px]]
  
 
Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch  
 
Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch  
  
[[Datei:Funktionsgleichung_einer_Geraden_bestimmen_m=drei_Fünftel.png|523x523px]]{{Box|Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben
+
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|rahmenlos|600x600px]]
}}<div class="grid"><div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp
+
{{Box|Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
| app = phd8q7we221
+
<div class="grid"><div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp| app = phd8q7we221| width = 100%| height = 400px}}
| width = 100%
+
{{LearningApp| app = p2rwidw3t20| width = 100%| height = 400px}}</div>
| height = 400px
+
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp| app = popvxxk2v21| width = 100%| height = 400px}}
}}{{LearningApp
+
{{LearningApp| app = pw8bbo2st20| width = 100%| height = 400px}}</div>
| app = p2rwidw3t20
+
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp| app = p5mxjgbpt21| width = 100%| height = 400px}}
| width = 100%
+
{{LearningApp| app = ppn4q2oe320| width = 100%| height = 400px}}</div>
| height = 400px
+
</div>
}}</div><div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp
+
 
| app = popvxxk2v21
+
{{Box|Übung 16|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx + b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
| width = 100%
+
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]| 3 = Üben}}
| height = 400px
+
 
}}{{LearningApp
+
 
| app = pw8bbo2st20
+
{{Box|1=Übung 17|2=Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft. Löse anschließend die App unten.|3=Üben}}
| width = 100%
+
<div class="grid">
| height = 400px
+
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallele Geraden neu.png|rahmenlos|400x400px]] <br>
}}</div><div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp
+
f(x) = ...<br>
| app = p5mxjgbpt21
+
g(x) = ...<br>
| width = 100%
+
h(x) = ...<br>
| height = 400px
+
i(x) = ...<br>
}}{{LearningApp
+
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet und verändere den Wert des Schiebereglers b.<br>
| app = ppn4q2oe320
+
  <ggb_applet id="kykz4qcf" width="1051" height="572" border="888888" />|2=Tipp|3=Verbergen}}</div>
| width = 100%
+
<div class="width-1-2">[[Datei:Geraden mit b=2.png|rahmenlos|400x400px]]<br>
| height = 400px
+
f(x) = ...<br>
}}</div>{{Box|Übung 16
+
g(x) = ...<br>
| 2 = Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx+b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
+
h(x) = ...<br>
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]
+
p(x) = ...<br>
| 3 = Üben
+
q(x) = ...<br>
}}</div>{{Box|Übung 17|Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft.
+
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph f,g,h,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
* S. 129 Nr. 2
+
<ggb_applet id="ktgybdhy" width="683" height="572" border="888888" />|2=Tipp|3=Verbergen}}</div> 
* S. 129 Nr. 4
+
</div>
* S. 130 Nr. 6
+
<ggb_applet id="m6X4r2rP" width="713" height="409" border="888888" /><br>
* S. 130 Nr. 7|Üben
+
<small>Applet von Manuel Graf</small><br>
}}{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b.<br>
+
<br />
  https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy|Tipp zu S. 129 Nr. 2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
 
https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg|Tipp zu S. 129 Nr. 4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 6 Tipp zu g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh|GeoGebra-Applet zu Nr. 6|Verbergen}}|Tipps zu S. 130 Nr. 6|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen
 
https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 7 Tipp Steigungsdreiecke.png]]|Tipp Steigungsdreiecke|Verbergen}}|Tipps zu S. 130 Nr. 7|Verbergen}}<br />
 
  
 
===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
 
===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo
+
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}}
}}Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.
+
Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.
  
 
1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)
 
1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)
Zeile 397: Zeile 391:
 
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.
 
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.
  
Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.<div class="grid"><div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_1.png]]</div><div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_2._Schritt.png|verweis=link=Special:FilePath/Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_2._Schritt.png]]</div><div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_3.png]]</div></div>Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!
+
Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.<div class="grid"><div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_1.png]]</div><div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 2.png]]</div><div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_3.png]]</div></div>Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!
 +
 
 +
Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:<div class="grid"><div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div><div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div></div>
 +
 
 +
{{Box|Übung 18 - online|Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.|Üben}}<ggb_applet id="fcgnxdsu" width="775" height="485" border="888888" />
 +
<small>Applet von Wolfgang Wengler</small>
  
Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:<div class="grid"><div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div><div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div></div>{{Box|Übung 18 - online|Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.|Üben
+
<br />
}}<ggb_applet id="fcgnxdsu" width="775" height="485" border="888888" />Applet von Wolfgang Wengler
+
{{Box|1=Übung 19|2=Zeichne die Geraden mithilfe des y-Achsenabschnittes und des Steigungsdreiecks.<br>
 +
a) f(x) = 3x + 1<br>
 +
b) f(x) = 3x - 1<br>
 +
c) f(x) = 0,5x + 2<br>
 +
d) f(x) = <math>\tfrac{3}{4}</math>x - 3.
 +
Nutze bei Bedarf den Tipp.|3=Üben}}
 +
{{Lösung versteckt|Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
 +
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp |Verbergen}}
  
<br />{{Box|Übung 19|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch.
+
{{Box|Übung 20 - Domino|Erstelle gemeinsam mit deinem Partner/deiner Partnerin ein Domino zu Linearen Funktionen.|Icon=brainy hdg-scissors}}
* S. 129 Nr. 5 (immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz)
 
* S. 130 Nr. 8 (Beachte die Alternative zur Partnerarbeit).
 
Nutze bei Bedarf die Tipps.|Üben
 
}}{{Lösung versteckt|Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
 
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zu S. 129 Nr. 5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Statt der Partnerarbeit erstelle eine Learningapp, in der den von dir gezeichneten Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden soll.<br>
 
Wenn du für die Steigung einen Bruch wählst, kannst du ihn bei den LearningApps auch so schreiben, wie du es aus dem Unterricht kennst, indem du statt 2/3 folgendes schreibst: $$\frac{2}{3}$$|S. 130 Nr. 8 Alternative zur Partnerarbeit|Verbergen}}
 
  
{{Fortsetzung|weiter=2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung}}
+
{{Fortsetzung|vorher=2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Lineare Funktionen erkennen und darstellen|weiter=2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Wertetabelle und Funktionsgleichung}}

Aktuelle Version vom 22. Mai 2022, 11:57 Uhr

Wertetabelle und Funktionsgraph

Wertetabelle erstellen

Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5
Für x = 1 gilt: y = 2· 1 + 5
                         = 7
Für x = 2 gilt: y = 2· 2 + 5
                         = 9
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:

x 0 1 2 3 4 ...
y 5 7 9 11 13 ...
Funktionsgraphen zeichnen

Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funkton.
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."

F(x)=2x+5 mit Punkten.png

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:

Übung 1
Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.
GeoGebra

Applet von Hans Scharrer, jkreitner

Übung 2

Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a,b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben.
a) y = x
b) y = 2x
c) y = 0,5x
d) y = 2x + 1
e) y = 2x - 3
Fällt dir etwas auf?

Aufgabe x -3 -2 -1 0 1 2 3
a) y=x  
b) y=2x  
c) y=0,5x  
d) y=2x+1  
e) y=2x-3  

Lösung Übung 2 Lineare Funktionen.png

Lösung Übung 2 Lineare Funktionen 2.png

Funktionsgleichung und Funktionsgraph

f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.

GeoGebra

In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen:
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse.

m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0).

Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.

Die Steigung m

Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden

Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.

Ist m < 0, fällt die Funktion.

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.

Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.


Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.

GeoGebra

Wenn die Steigung m steil ist, muss der Maulwurf sehr mutig sein! Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden:

Für m > 0 steigt die Gerade und für m < 0 fällt die Gerade.

Die Gerade steigt flach für 0< m < 1 und steil für m > 1.

Die Gerade fällt flach für -1 < m < 0 und steil für m < -1.

Übung 3: Steigende und fallende Geraden
Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.




Übung 4

Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = -Einhalb grün.pngx.

Prüft die Antworten mit GeoGebra.

Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach?
GeoGebra Graphen zeichnen 1.png

GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png

GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png

GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png


Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).

Das Steigungsdreieck

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

GeoGebra

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.

Merke: Die Steigung m

Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Es gilt: m=Steigung m .png=

Steigungsdreieck Tafelbild 3.png


Das Steigungsdreieck

Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen:
Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom.jpg
Was meinst du?

Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.

Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin.

GeoGebra

Applet von Buß-Haskert

Übung 5

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe

  • 15
Die Steigung m eines Graphen ablesen

Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.



Übung 6

Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.

Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.

1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):

Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png


2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:

Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png



3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):

Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png


4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png



Übung 7
Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.


Übung 8

Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend. Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.


Übung 9
Löse die nachfolgenden LearningApps. Die Tipps unten helfen dir dabei.

Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke.
S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png
S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png
S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png
S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png
S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png

S. 126 Nr. 6 g1.jpg
S. 126 Nr. 6 g2.jpg
S. 126 Nr.6 g3.jpg
S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png
S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png
S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png


Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).


Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub
  • 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
  • 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
  • 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
  • 4. Erfinde selbst ein Beispiel.
Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.
x 1 2 3 ...
y-Strecke 5 10 ...
y-Eintrittskosten 13 ...
y-Trainingskosten ...

Selbst erstellte Aufgabensammlung der Klasse 8: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an.
Aktivurlaub an der Nordsee:
1. Familie Mann fährt in den Urlaub an die Nordsee. Für 100 km benötigt ihr Auto ca. 7,8 Liter Benzin.
2. An einem Rastplatz legen sie eine Pause ein und essen eine Kleinigkeit. Ein Fischbrötchen kostet 1,50€.
3. Familie Mann möchte im Urlaub an der Nordsee surfen gehen. Für 4 Personen zahlen sie 40€ pro Stunde.
4. Nach dem Surfen gönnt sich die Familie jeweils eine Kugel Eis zu 1,10€.
5. Nachmittags gehen sie in der Nordsee schwimmen. Dabei schwimmen sie in 5 Minuten ca. 70m weit. Eine Freundin schwimmt gleichzeitig los, sie benötig für 25m 100 Sekunden. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz)
Wanderurlaub:
6. Ein Sportgeschäft bietet Wanderstöcke an. Jeder Stock kostet 25€.
7. Familie H. unternimmt eine Wanderung. Für die Strecke von 4m benötigen sie 5 Sekunden.
Familie U. geht ebenfalls wandern. Sie schafft in 10 Minuten 500m. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz.)
8. Für eine geführte Wanderung durch den Nationalpark zahlt die Familie 15€ pro Stunde.
9. Zum Picknick während der Wanderung gibt es Obst und Schokoriegel. Ein Riegel kostet 0,60€.
Reiterferien:
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€.

11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€.


Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck

Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines Steigungsdreiecks zeichnen.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest.


Übung 11

Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.


Übung 12

Zeichne jeweils den Graphen der proportionalen Funktion mithilfe eines Steigungsdreiecks.
a) f(x) = 2x
b) f(x) = -4x
c) f(x) = -x
d) f(x) = x
e) f(x) = -x
f) f(x) = x

g) f(x) = -x
Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.
Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)
S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png

Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i)
Gehe so viele Schritte, wie der NENNER angibt, nach RECHTS und

so viele Schritte wie der ZÄHLER angibt nach OBEN (m positiv) oder UNTEN (m negativ).
S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png
S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png

Zusammenfassung:
Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:


Der y-Achsenabschnitt b

Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von m, also der Steigung einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter b für den Graphen der Funktion hat.

GeoGebra

Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)
Merke: Der y-Achsenabschnitt b

Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.
Der Graph ist eine Gerade.
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).

b ist der y-Achsenabschnitt.


Übung 14
Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.


Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.

Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.


Von der Geraden zu Funktionsgleichung

Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung
Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.
Erklärvideo:
und noch mehr Beispiele:

Und nun noch einmal übersichtlich als Bild: Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl

Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl

Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch

Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png

Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden
Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.
leicht (*)


mittel (**)


schwer (***)



Übung 16

Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx + b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.


Übung 17
Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft. Löse anschließend die App unten.
Parallele Geraden neu.png

f(x) = ...
g(x) = ...
h(x) = ...
i(x) = ...

Öffne das GeoGebra-Applet und verändere den Wert des Schiebereglers b.

GeoGebra
Geraden mit b=2.png

f(x) = ...
g(x) = ...
h(x) = ...
p(x) = ...
q(x) = ...

Öffne das GeoGebra-Applet verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph f,g,h,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.

GeoGebra
 
GeoGebra


Applet von Manuel Graf

Von der Funktionsgleichung zur Geraden

Und nun umgekehrt...
Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.

1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)

2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).

3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = x - 1.

Schritt 1Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png
Schritt 2Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 2.png
Schritt 3Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png

Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft! Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:


Übung 18 - online
Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.
GeoGebra

Applet von Wolfgang Wengler


Übung 19

Zeichne die Geraden mithilfe des y-Achsenabschnittes und des Steigungsdreiecks.
a) f(x) = 3x + 1
b) f(x) = 3x - 1
c) f(x) = 0,5x + 2
d) f(x) = x - 3.

Nutze bei Bedarf den Tipp.

Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.

https://www.geogebra.org/graphing


Übung 20 - Domino
Erstelle gemeinsam mit deinem Partner/deiner Partnerin ein Domino zu Linearen Funktionen.