Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lösung versteckt|:*Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
{{Lösung versteckt|:*Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.


:Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit &nbsp;<math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .</math>
::Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit &nbsp;<math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .</math>


:Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:  
::Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:  


:<math> p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math>
::<math> p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math>




:*Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:
:*Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:
   
   
:[[Datei:PiaundAnna.jpg|400px]]
::[[Datei:PiaundAnna.jpg|400px]]


:Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnet sich aus dem '''Produkt''' aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades ('''„Produktregel“''')!
::Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnet sich aus dem '''Produkt''' aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades ('''„Produktregel“''')!


:*Betrachte diese 36-Feldertafel:
:*Betrachte diese 36-Feldertafel:


:[[Datei:36 Felder Tafel rot grün.jpg|links|250px]]
::[[Datei:36 Felder Tafel rot grün.jpg|links|250px]]
:Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.
:Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.


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:*Das zugehörige Baumdiagramm sieht so aus:
:*Das zugehörige Baumdiagramm sieht so aus:


:[[Datei:BaumEfrongelbundblau.jpg]]
::[[Datei:BaumEfrongelbundblau.jpg]]




:*Hat Pia schon wieder die besseren Chancen?
:*Hat Pia schon wieder die besseren Chancen?


:Wir markieren alle Pfade rot, bei denen sie sicher gewinnt:
::Wir markieren alle Pfade rot, bei denen sie sicher gewinnt:


:[[Datei:BaumEfrongelbundblauPiarot.jpg]]
::[[Datei:BaumEfrongelbundblauPiarot.jpg]]


:Die Wahrscheinlichkeit des roten Pfades berechnet sich wieder aus dem '''Produkt''' aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades!
::Die Wahrscheinlichkeit des roten Pfades berechnet sich wieder aus dem '''Produkt''' aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades!


:Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Pia beträgt diesmal also nur&nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{3}\ .</math>
::Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Pia beträgt diesmal also nur&nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{3}\ .</math>




:*Betrachten wir zur Probe alle übrigen Pfade, wenn Anna sicher gewinnt:  
:*Betrachten wir zur Probe alle übrigen Pfade, wenn Anna sicher gewinnt:  


:[[Datei:BaumEfrongelbundblauAnnarot.jpg]]
::[[Datei:BaumEfrongelbundblauAnnarot.jpg]]


:Wir bekommen Annas Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn wir die Wahrscheinlichkeiten aller roten Pfade '''addieren''':
::Wir bekommen Annas Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn wir die Wahrscheinlichkeiten aller roten Pfade '''addieren''':


:<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = \frac{1}{3}\ +\ \frac{1}{6}\ +\ \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\ .</math>
::<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = \frac{1}{3}\ +\ \frac{1}{6}\ +\ \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\ .</math>


:(Du kennst dieses Verfahren beispielsweise schon aus den Aufgaben 2.1 und 2.2! Man nennt das die '''„Summenregel“'''.
::(Du kennst dieses Verfahren beispielsweise schon aus den Aufgaben 2.1 und 2.2! Man nennt das die '''„Summenregel“'''.




:*Die 36-Feldertafel bestätigt das Ergebnis:
:*Die 36-Feldertafel bestätigt das Ergebnis:


:[[Datei:TafelEfrongelbundblau.jpg]]
::[[Datei:TafelEfrongelbundblau.jpg]]


:Der gelbe Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den türkisen Würfel.
::Der gelbe Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den türkisen Würfel.




:*Dies bestätigt uns auch die formale Rechnung über das Gegenereignis:
:*Dies zeigt uns auch die formale Rechnung über das Gegenereignis:


:<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = 1 - p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math>
::<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = 1 - p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math>
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{{Lösung versteckt|:*Es gibt insgesamt <math>4\ \cdot\ 3 = 12</math> verschiedene Spielpaarungen.
{{Lösung versteckt|:*Es gibt insgesamt <math>4\ \cdot\ 3 = 12</math> verschiedene Spielpaarungen.


:Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen:
::Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen:


:[[Datei:EfronGewinntabelle.jpg]]
::[[Datei:EfronGewinntabelle.jpg]]


:*Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{2}{3}</math>&nbsp;gewinnt.
:*Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{2}{3}</math>&nbsp;gewinnt.


:Die beste Strategie zu gewinnen ist also '''höflich''' zu sein und em Anderen den Vortritt zu lassen!
::Die beste Strategie zu gewinnen ist also '''höflich''' zu sein und em Anderen den Vortritt zu lassen!
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Version vom 10. September 2009, 05:59 Uhr

Die „Würfel von Efron“

Vorlage:Kasten Mathematik


Aufgabe
Findest du das Spiel fair?

Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.

Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.


Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt


Vorlage:Aufgaben-M

AnnaundPia.jpg


Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt


  • Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit  
Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:


  • Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:
PiaundAnna.jpg
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnet sich aus dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades („Produktregel“)!
  • Betrachte diese 36-Feldertafel:
36 Felder Tafel rot grün.jpg
Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.
Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert.
Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:
Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von    gegen den violetten Würfel.
Das stimmt mit dem Baumdiagramm und der Rechnung überein!


Vorlage:Aufgaben-M


Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt.
EfronTabelleLeer.jpg
Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen.


Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau:

Vorlage:Versteckt


  • Es gibt insgesamt verschiedene Spielpaarungen.
Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen:
EfronGewinntabelle.jpg
  • Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von  gewinnt.
Die beste Strategie zu gewinnen ist also höflich zu sein und em Anderen den Vortritt zu lassen!


Für Interessierte: Vorlage:Aufgaben-M

4bunteWürfel.jpg

Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt


Baum3.jpg


  Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.
  Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende.

  Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.





  Als nächstes kann der türkise Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt. Der Pfad ist zu Ende.





  Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.





  Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel.


Aufgabe

Für Interessierte:

Spielt das Spiel aus Aufgabe 4.4 zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.




Vorlage:Kasten Mathematik