Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben-M|4.1| | {{Aufgaben-M|4.1|Du wirfst '''einen''' „Würfel von Efron“. Gib eine Ergebnismenge für jeden „Würfel von Efron“ so an, dass es sich dabei um ein Laplace-Experiment handelt.}} | ||
''Lösungshinweise:'' {{versteckt| | ''Lösungshinweise:'' {{versteckt|:*Vielleicht hilft dir ein Baumdiagramm weiter? | ||
:*Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel <math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math> für den grünen Würfel. | |||
:*Wichtig ist, dass <math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math> gilt. | |||
:*Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln <math>p\left(0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit). | |||
Beispiel für eine falsche Lösung: <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\}\ .</math> Dies ist zwar auch eine richtige Ergebnismenge. Hier sind die Ergebnisse aber nicht gleichwahrscheinlich! | |||
:*Beispiel für eine falsche Lösung: <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\}\ .</math> Dies ist zwar auch eine richtige Ergebnismenge. Hier sind die Ergebnisse aber nicht gleichwahrscheinlich! | |||
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Lösungshinweise: {{versteckt|* Erstelle ein zweistufiges Baumdiagramm. | Lösungshinweise: {{versteckt|:* Erstelle ein zweistufiges Baumdiagramm. | ||
* Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf. | :* Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf. | ||
* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 4.1.}} | :* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 4.1.}} | ||
{{Lösung versteckt|*Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. | {{Lösung versteckt|:*Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. | ||
:Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit <math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .</math> | :Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit <math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .</math> | ||
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*Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen: | :*Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen: | ||
[[Datei:PiaundAnna.jpg|400px]] | :[[Datei:PiaundAnna.jpg|400px]] | ||
*Betrachte noch folgende 36-Feldertafel: | :*Betrachte noch folgende 36-Feldertafel: | ||
[[Datei:36 Felder Tafel rot grün.jpg|links|250px]] | :[[Datei:36 Felder Tafel rot grün.jpg|links|250px]] | ||
:Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet. | :Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet. | ||
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:Wir markieren alle Pfade rot, bei denen sie sicher gewinnt: | :Wir markieren alle Pfade rot, bei denen sie sicher gewinnt: | ||
[[Datei:BaumEfrongelbundblauPiarot.jpg]] | :[[Datei:BaumEfrongelbundblauPiarot.jpg]] | ||
:Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Pia beträgt also <math>\frac{1}{3}\ .</math> | :Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Pia beträgt also <math>\frac{1}{3}\ .</math> | ||
*Betrachten wir nun alle übrigen Pfade, wenn Anna gewinnt: | :*Betrachten wir nun alle übrigen Pfade, wenn Anna gewinnt: | ||
[[Datei:BaumEfrongelbundblauAnnarot.jpg]] | :[[Datei:BaumEfrongelbundblauAnnarot.jpg]] | ||
:Wir bekommen Annas Gewinnwahrscheinlichkeit, wen wir die Wahrscheinlichkeiten der Pfade zusammenzählen: | :Wir bekommen Annas Gewinnwahrscheinlichkeit, wen wir die Wahrscheinlichkeiten der Pfade zusammenzählen: | ||
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{{Lösung versteckt|Es gibt insgesamt <math>4\ \cdot\ 3 = 12</math> verschiedene Spielpaarungen. | {{Lösung versteckt|:*Es gibt insgesamt <math>4\ \cdot\ 3 = 12</math> verschiedene Spielpaarungen. | ||
Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen: | :Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen: | ||
[[Datei:EfronGewinntabelle.jpg]] | :[[Datei:EfronGewinntabelle.jpg]] | ||
Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{2}{3}</math> gewinnt. | :*Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{2}{3}</math> gewinnt. | ||
Die beste Strategie zu gewinnen ist also '''höflich''' zu sein und em Anderen den Vortritt zu lassen! | :Die beste Strategie zu gewinnen ist also '''höflich''' zu sein und em Anderen den Vortritt zu lassen! | ||
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[[Datei:4bunteWürfel.jpg|rechts|400px]] | [[Datei:4bunteWürfel.jpg|rechts|400px]] | ||
Lösungshilfe: {{versteckt|Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen. | Lösungshilfe: {{versteckt|:Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen. | ||
Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}} | :Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}} | ||
{{Lösung versteckt|[[Datei:Baum3.jpg|links]] <br><br> Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.<br> Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende. | {{Lösung versteckt|:[[Datei:Baum3.jpg|links]] <br><br> Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.<br> Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende. | ||
Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden. | Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden. | ||
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<br><br><br><br> Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel. | <br><br><br><br> Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel. | ||
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{{Aufgabe|'''Für Interessierte:''' | {{Aufgabe|'''Für Interessierte:''' | ||
Spielt das Spiel zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.}} | Spielt das Spiel aus Aufgabe 4.4 zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.}} | ||
Version vom 9. September 2009, 20:27 Uhr
Die „Würfel von Efron“
Aufgabe
Findest du das Spiel fair?
Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.
Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.
Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt
Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt
- Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
- Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit
- Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:
- Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:
- Betrachte noch folgende 36-Feldertafel:
- Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.
- Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert.
- Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:
- Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den violetten Würfel.
- Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein!
- Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt.
- Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen.
Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau: Vorlage:Versteckt
- Es gibt insgesamt verschiedene Spielpaarungen.
- Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen:
- Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von gewinnt.
- Die beste Strategie zu gewinnen ist also höflich zu sein und em Anderen den Vortritt zu lassen!
Für Interessierte:
Vorlage:Aufgaben-M
Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt
Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.
Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende.
Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.
Als nächstes kann der türkise Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt. Der Pfad ist zu Ende.
Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.
Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel.
Aufgabe
Für Interessierte:
Spielt das Spiel aus Aufgabe 4.4 zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.
