Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben-M|4.2|Pia | {{Aufgaben-M|4.2|Pia lässt Anna den Vortritt: Anna sucht sich den violetten Würfel aus, weil das ihre Lieblingsfarbe ist. Danach nimmt Pia den grünen Würfel. Wer hat die besseren Gewinnchancen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Pia und Anna.}} | ||
[[Datei:AnnaundPia.jpg|right|240px]] | [[Datei:AnnaundPia.jpg|right|240px]] | ||
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{{Aufgaben-M|4.3| | {{Aufgaben-M|4.3|Welche weiteren Farbkombinationen gibt es noch, mit den „Würfeln von Efron“ gegeneinander zu spielen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten. | ||
Übertrage die Tabelle | Übertrage die unten stehende Tabelle auf dein Blatt und trage die Werte ein! | ||
Gibt es den „Superwürfel“?}} | |||
:Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt. | :Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt. | ||
:[[Datei:EfronTabelleLeer.jpg]] | |||
:Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen. | :Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen. | ||
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{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt|Es gibt insgesamt <math>4\ \cdot\ 3 = 12</math> verschiedene Spielpaarungen. | ||
Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen: | |||
Die beste Strategie zu gewinnen ist also '''höflich''' zu sein! | [[Datei:EfronGewinntabelle.jpg]] | ||
Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{2}{3}</math> gewinnt. | |||
Die beste Strategie zu gewinnen ist also '''höflich''' zu sein und em Anderen den Vortritt zu lassen! | |||
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[[Datei:4bunteWürfel.jpg|rechts|400px]] | [[Datei:4bunteWürfel.jpg|rechts|400px]] | ||
Lösungshilfe: {{versteckt|Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen. Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}} | Lösungshilfe: {{versteckt|Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen. | ||
Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}} | |||
Version vom 9. September 2009, 19:45 Uhr
Die „Würfel von Efron“
Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.
Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt
Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt
- Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
- Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit
- Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:
- Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:
- Betrachte noch folgende 36-Felder-Tafel:
- Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.
- Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert.
- Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:
- Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den violetten Würfel.
- Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein!
- Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt.
- Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen.
Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau: Vorlage:Versteckt
Es gibt insgesamt verschiedene Spielpaarungen.
Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen:
Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von gewinnt.
Die beste Strategie zu gewinnen ist also höflich zu sein und em Anderen den Vortritt zu lassen!
Für Interessierte:
Vorlage:Aufgaben-M
Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt
Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.
Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende.
Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.
Als nächstes kann der türkise Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt. Der Pfad ist zu Ende.
Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.
Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel.
Für Interessierte:
Spielt das Spiel zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.
