Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben-M|4.2|Pia ist höflich und lässt Anna den Vortritt. Anna sucht sich den | {{Aufgaben-M|4.2|Pia ist höflich und lässt Anna den Vortritt. Anna sucht sich den violetten Würfel aus, weil das ihre Lieblingsfarbe ist. Danach nimmt Pia den grünen Würfel. Wer hat die besseren Gewinnchancen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Pia und Anna.}} | ||
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:Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den | :Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den violetten Würfel. | ||
:Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein! | :Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein! | ||
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:Wählt nun Pia zuerst den | :Wählt nun Pia zuerst den türkisen Würfel, sucht sich danach Anna den gelben aus. | ||
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:Der gelbe Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den | :Der gelbe Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den türkisen Würfel. | ||
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Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden. | Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden. | ||
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<br><br><br><br> Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der | <br><br><br><br> Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel. | ||
Version vom 9. September 2009, 19:25 Uhr
Die „Würfel von Efron“
Aufgabe
Findest du das Spiel fair?
Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.
Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.
Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt
Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt
- Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
- Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit
- Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:
- Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:
- Betrachte noch folgende 36-Felder-Tafel:
- Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.
- Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert.
- Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:
- Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den violetten Würfel.
- Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein!
- Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt.
- Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen.
Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau: Vorlage:Versteckt
Nein, es gibt keinen besten Würfel. Man findet zu jedem Würfel einen besseren, mit dem man mit einer Wahrscheinlichkeit von gewinnt.
Die beste Strategie zu gewinnen ist also höflich zu sein!
Für Interessierte:
Vorlage:Aufgaben-M
Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt
Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.
Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende.
Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.
Als nächstes kann der türkise Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt. Der Pfad ist zu Ende.
Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.
Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel.
Aufgabe
Für Interessierte:
Spielt das Spiel zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.
