Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Versionen

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* Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf.  
* Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf.  
* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 4.1.}}
* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 4.1.}}


{{Lösung versteckt|*Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
{{Lösung versteckt|*Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
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[[Datei:36 Felder Tafel rot grün.jpg|links|250px]]
[[Datei:36 Felder Tafel rot grün.jpg|links|250px]]
:Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:
:Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.


:Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von
:Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert.


:<math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math>
:Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:


:gegen den roten Würfel.
:Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von&nbsp;&nbsp;<math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math>&nbsp;&nbsp;gegen den roten Würfel.


:Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein!
:Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein!
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{{Aufgaben-M|4.4|Bestimme die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten. Übertrage die Tabelle in dein Heft und trage die Werte ein. Gibt es einen besten Würfel?}}
{{Aufgaben-M|4.4|Bestimme die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten mit zwei Würfeln von Efron gegeneinander zu spielen.  
 
Übertrage die Tabelle in dein Heft und trage die Werte ein. Gibt es einen besten Würfel?}}


[[Datei:EfronTabelleLeer.jpg]]
:[[Datei:EfronTabelleLeer.jpg]]


Tabelleneinträge: Wahrscheinlichkeit, dass Zeile gegen Spalte gewinnt.
:Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt.


Lösungshilfe: {{versteckt|Hier ist noch einmal ein Beispiel.
:Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen.
[[Datei:Efrongelbundblau.jpg|rechts|240px]]
Wählt nun Pia zuerst den blauen Würfel, sucht sich danach Anna den gelben aus.




Das zugehörige Baumdiagramm sieht so aus:


[[Datei:BaumEfrongelbundblau.jpg]]
Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau:


{{versteckt|
:[[Datei:Efrongelbundblau.jpg|rechts|240px]]
:Wählt nun Pia zuerst den blauen Würfel, sucht sich danach Anna den gelben aus.


Noch einmal eine 36-Felder-Tafel:


[[Datei:TafelEfrongelbundblau.jpg]]
:*Das zugehörige Baumdiagramm sieht so aus:


:[[Datei:BaumEfrongelbundblau.jpg]]


Der gelbe Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den blauen Würfel.
 
*Hat Pia schon wieder die besseren Chancen?
 
:Wir verfolgen alle Pfade, bei dennen sie sicher gewinnt:
 
[[Datei:BaumEfrongelbundblauPiarot.jpg]]
 
:Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Pia beträgt also&nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{3}\ .</math>
 
 
*Betrachten wir nun alle übrigen Pfade, wenn Anna gewinnt:
 
[[Datei:BaumEfrongelbundblauAnnarot.jpg]]
 
:Wir bekommen Annas Gewinnwahrscheinlichkeit, wen wir die Wahrscheinlichkeiten der Pfade zusammenzählen:
 
:<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = \frac{1}{3}\ +\ \frac{1}{6}\ +\ \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\ .</math>
 
 
:Dies bestätigt uns auch die Rechnung über das Gegenereignis:
 
:<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = 1 - p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math>
 
 
*Die 36-Felder-Tafel bestätigt das Ergebnis:
 
:[[Datei:TafelEfrongelbundblau.jpg]]
 
:Der gelbe Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den blauen Würfel.
}}
}}


{{Lösung versteckt|[[Datei:EfronGewinntabelle.jpg]]
{{Lösung versteckt|[[Datei:EfronGewinntabelle.jpg]]
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Du hast übrigens die Pfadregeln kennengelernt.


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Version vom 4. September 2009, 06:49 Uhr

Die „Würfel von Efron“

Vorlage:Kasten Mathematik


Aufgabe
Findest du das Spiel fair?

Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.

Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.


Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt


Vorlage:Aufgaben-M

AnnaundPia.jpg


Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt


  • Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit  
Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:


  • Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:

PiaundAnna.jpg


  • Betrachte noch folgende 36-Felder-Tafel:
36 Felder Tafel rot grün.jpg
Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.
Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert.
Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:
Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von    gegen den roten Würfel.
Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein!


Vorlage:Aufgaben-M

EfronTabelleLeer.jpg
Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt.
Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen.


Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau:

Vorlage:Versteckt


EfronGewinntabelle.jpg

Nein, es gibt keinen besten Würfel. Man findet zu jedem Würfel einen besseren, mit dem man mit einer Wahrscheinlichkeit von  gewinnt.

Die beste Strategie zu gewinnen ist also höflich zu sein!


Für Interessierte: Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt

Baum3.jpg


  Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.
  Dann sind die anderen Würfel uninteressant.

  Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.





  Als nächstes kann der blaue Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt.





  Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.





  Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt der rote Würfel.



Aufgabe
Spielt das Spiel zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.



Vorlage:Kasten Mathematik

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