Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben-M|1|Kannst du Ergebnisräume angeben, sodass es sich beim Wurf mit den „Würfeln von Efron“ um ein Laplace-Experiment handelt?}} | {{Aufgaben-M|1|Kannst du Ergebnisräume angeben, sodass es sich beim Wurf mit den „Würfeln von Efron“ um ein Laplace-Experiment handelt?}} | ||
{{Lösung versteckt|Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel <math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math> für den grünen Würfel. Wichtig ist, dass <math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math> gilt. Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln <math>p\left(0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit). | {{Lösung versteckt|Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel | ||
<math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math> für den grünen Würfel. Wichtig ist, dass | |||
<math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math> gilt. Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln | |||
<math>p\left(0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> | |||
(siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit). | |||
Falsche Lösung: <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\} </math>. Hier sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich! | Falsche Lösung: <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\} </math>. Hier sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich! | ||
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* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 2.}} | * Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 2.}} | ||
{{Lösung versteckt|Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. Nach Aufgabe 2 ist diese Wahrscheinlichkeit <math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}</math> . Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach so: | {{Lösung versteckt|Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. Nach Aufgabe 2 ist diese Wahrscheinlichkeit | ||
<math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}</math> . Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach so: | |||
<math> p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} </math> . | <math> p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} </math> . | ||
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Version vom 3. September 2009, 09:53 Uhr
Die „Würfel von Efron“
Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.
Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel
für den grünen Würfel. Wichtig ist, dass
gilt. Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln
(siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit).
Falsche Lösung: . Hier sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich!
Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt
Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. Nach Aufgabe 2 ist diese Wahrscheinlichkeit
. Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach so:
.
Dies lässt sich aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:
Tipp: Überlege dir alle Möglichkeiten mit zwei Würfeln gegeneinander zu spielen.
Für Interessierte:
Vorlage:Aufgaben-M
Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt
Der gelbe Würfel gewinnt, falls er die sechs zeigt. Also brauchst du diesen Zweig nicht weiter aufzuspalten. Als nächstes gewinnt der blaue Würfel, falls er 5 zeigt, usw.
→ Weiter zu dem Ziegen-Problem!
