Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Aufgaben-M|1|Findest du das Spiel fair?}}
{{Aufgabe|Findest du das Spiel fair?}}


Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den '''Spielregeln'''.
Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den '''Spielregeln'''.


{{Lösung versteckt|Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.}}
{{Lösung versteckt|Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.}}




{{Aufgaben-M|2|Kannst du Ergebnisräume angeben, sodass es sich beim Wurf mit den „Würfeln von Efron“ um ein Laplace-Experiment handelt?}}
{{Aufgaben-M|1|Kannst du Ergebnisräume angeben, sodass es sich beim Wurf mit den „Würfeln von Efron“ um ein Laplace-Experiment handelt?}}


{{Lösung versteckt|Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel <math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math> für den grünen Würfel. Wichtig ist, dass <math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math> gilt. Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln <math>p\left(0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit).
{{Lösung versteckt|Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel <math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math> für den grünen Würfel. Wichtig ist, dass <math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math> gilt. Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln <math>p\left(0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit).
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{{Aufgaben-M|3|Pia ist höflich und lässt Anna den Vortritt. Anna sucht sich den roten Würfel aus, weil das ihre Lieblingsfarbe ist. Danach nimmt Pia den grünen Würfel.  
{{Aufgaben-M|2|Pia ist höflich und lässt Anna den Vortritt. Anna sucht sich den roten Würfel aus, weil das ihre Lieblingsfarbe ist. Danach nimmt Pia den grünen Würfel. Wer hat die besseren Gewinnchancen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Pia und Anna.}}
[[Datei:AnnaundPia.jpg|right|240px]]


Wer hat die besseren Gewinnchancen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Pia und Anna.}}


Lösungshinweise: {{versteckt|* Erstelle ein Baumdiagramm.
Lösungshinweise: {{versteckt|* Erstelle ein Baumdiagramm.
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{{Aufgaben-M|4|Bestimme die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten!}}
{{Aufgaben-M|3|Bestimme die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten!}}


Tipp: Überlege dir alle Möglichkeiten mit zwei Würfeln gegeneinander zu spielen.
Tipp: Überlege dir alle Möglichkeiten mit zwei Würfeln gegeneinander zu spielen.
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{{Aufgaben-M|5|Übertrage die Tabelle in dein Heft und trage die fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein:}}
{{Aufgaben-M|4|Übertrage die Tabelle in dein Heft und trage die fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein:}}




'''Für Interessierte:'''
'''Für Interessierte:'''
{{Aufgaben-M|6|Hans und Franz wollen bei Pia und Anna mitspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeden der Würfel, dass er gewinnt, wenn alle vier Würfel geworden werden?}}
{{Aufgaben-M|5|Hans und Franz wollen bei Pia und Anna mitspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeden der Würfel, dass er gewinnt, wenn alle vier Würfel geworden werden?}}


Lösungshilfe: {{versteckt|Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen. Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}}
Lösungshilfe: {{versteckt|Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen. Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}}

Version vom 3. September 2009, 08:51 Uhr

Die „Würfel von Efron“

Vorlage:Kasten Mathematik


Aufgabe
Findest du das Spiel fair?

Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.

Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.


Vorlage:Aufgaben-M

Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel für den grünen Würfel. Wichtig ist, dass gilt. Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit).

Falsche Lösung: . Hier sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich!


Vorlage:Aufgaben-M

AnnaundPia.jpg


Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. Nach Aufgabe 2 ist diese Wahrscheinlichkeit . Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach so:

.

Dies lässt sich aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:

PiaundAnna.jpg


Erklärung: 36-Felder-Tafel


Vorlage:Aufgaben-M

Tipp: Überlege dir alle Möglichkeiten mit zwei Würfeln gegeneinander zu spielen.


Vorlage:Aufgaben-M


Für Interessierte: Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt

Der gelbe Würfel gewinnt, falls er die sechs zeigt. Also brauchst du diesen Zweig nicht weiter aufzuspalten. Als nächstes gewinnt der blaue Würfel, falls er 5 zeigt, usw.

Baum3.jpg


Aufgabe
Spielt das Spiel zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.




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