Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Drei-Würfel-Problem: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Aufgabe|Welchen Fehler hatte ''de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?}}
{{Aufgaben-M|3.1|Welchen Fehler hatte ''de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?}}


Versuche die Aufgabe zuerst ohne Hilfen zu lösen!


{{Aufgaben-M|2|Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf!
Vielleicht kann dir diese Urnensimulation weiterhelfen:


(Info: Bei dieser Aufgabe irrte sich übrigens ''Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz'' (1646 - 1716), einer der letzten Universalgelehrten.)}}
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/_personelles/papers/stoc_pro/Urne/JavaUrne.html Urnensimulation]
 
Lösungshilfen: {{versteckt|
:*Mit Hilfe einer Urnensimulation kannst du unter anderem auch diesen dreifachen Würfelwurf simulieren. (Wie geht das? → 6 Kugeln in der Urne; dreimaliges Ziehen mit zurücklegen) Führe dies <u>mit</u> und <u>ohne</u> Beachtung der Reihenfolge durch.
 
:*Was fällt dir auf?
 
:*Denke nochmal an „Gustavs Glücksspiel“. Wenn er dir das Spiel mit zwei gleichartigen Würfeln angeboten hätte, hätten sich die Wahrscheinlichkeiten deswegen geändert?


Tipp: Was fällt dir an den Würfeln im Spiel auf? Zeichne ein Baumdiagramm für die Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf.
:*Das Glücksspiel von Gustav war ein Laplace-Experiment. Ist das „Drei-Würfel-Problem“ auch eines?


{{Lösung versteckt|Die Würfel sind unterschiedlich gefärbt. Man könnte auch sagen: ''1. Wurf ist rot, 2. Wurf ist grün''.
:*Stell dir vor, die Würfel von ''de Méré'' wären unterscheidbar. Was ist nun für die Ergebnismenge wichtig?
}}


Damit wäre die Lösung nach ''de Méré'' der Art, dass es eine Möglichkeit für beide Augensummen gibt, nämlich <math>\left\{ 5,6 \right\}</math> beziehungsweise <math>\left\{ 6,6 \right\}</math>, falsch.
{{Lösung versteckt|:*Die Ergebnisse von ''de Méré'' sind nicht gleichwahrscheinlich! Also kann er gar nicht die Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen.


Das Baumdiagramm zeigt zwei Wege, welche die Augensumme 11 ergeben. <math>\left\{ 5,6 \right\}, \left\{ 6,5 \right\}</math>  <br!> [[Datei:Baum1.jpg]]}}
:*Die Wahrscheinlichkeiten bei Gustavs Glücksspiel hätten sich ja auch nicht geändert, nur weil die Würfel anders gewesen wären. Denke daran, dass zum Beispiel eine farbenblinde Person die andersfarbigen Würfel gar nicht unterscheiden könnte.
}}




{{Aufgabe|Löse nun Aufgabe 1, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die gesuchten Augensummen beim dreifachen Würfelwurf berechnest.}}


Lösungshilfen:
{{Aufgaben-M|3.2|Gib nun die Ergebnismenge für den dreifachen Würfelwurf so an, dass die Laplace-Annahme gerechtfertigt ist.}}


* Erstelle die Ergebnismenge, wie ''de Méré'' es gemacht hat. Handelt es sich mit dieser Ergebnissmenge um ein Laplaceexperiment?


* Stelle dir vor die Würfel wären unterschiedlich. (Bild!)
{{Lösung versteckt|:<math>\Omega = \{(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6),(1,2,1),...,(6,6,4),(6,6,5),(6,6,6)\} </math>


* Mit Hilfe dieser Urnensimulation kannst du unter anderem einen dreifachen Würfelwurf simulieren. Führe dies mit und ohne Beachtung der Reihenfolge durch. Was fällt dir auf?
:<math>\left|\Omega\right|=6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216</math>
}}


{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/_personelles/papers/stoc_pro/Urne/JavaUrne.html Urnensimulation]


(→ Wie geht das?) {{versteckt|6 Kugeln in der Urne; dreimaliges Ziehen mit zurücklegen und Beachtung der Reihenfolge.}}
{{Aufgaben-M|3.3|Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse '''E<sub>1</sub>''': „Augensumme 11“ und '''E<sub>2</sub>''': „Augensumme 12“ beim dreifachen Würfelwurf.}}
 
{{Lösung versteckt|
:*Für Ergebnisse mit drei verschiedenen Augenzahlen müssen wir nicht nur eines beachten, sondern sechs verschiedene (Zählprinzip).
 
::Beispiel:<math>\{1,4,6\}\ \rightarrow \{(1,4,6),(1,6,4),(4,1,6),(4,6,1),(6,1,4),(6,4,1)\}</math>
 
:*Für Ergebnisse mit zwei verschiedenen Augenzahlen müssen wir drei verschieden Ergebnisse beachten.
 
:*Für Ergebnisse wie <math>\{3,3,3\}</math>&nbsp;gibt es nur ein Ergebnis.
 
:<math>\Rightarrow \quad \left|E_1\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 3=27 \quad \Rightarrow \quad p(E_1)= \frac{27}{216}=12{,}5\ %</math>
 
:<math>\Rightarrow \quad \left|E_2\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 1=25 \quad \Rightarrow \quad p(E_2)= \frac{25}{216}\approx11{,}6\ %</math>


*Erstelle nun die Ergebnismenge, sodass es sich um ein Laplace-experiment handelt! Jetzt kannst du unter der Voraussetzung der Gliechwahrscheinlichkeit die gesuchten Wahrscheinlichkeiten berechnen.


{{Lösung versteckt|}}
:Da der Unterschied nicht sehr groß ist, müssen ''de Méré'' und seine Freunde sehr oft gewürfelt haben, damit ihnen das Problem aufgefallen ist!
}}





Version vom 3. September 2009, 19:44 Uhr

Das „Drei-Würfel-Problem“

Bild von drei Würfeln einfügen!


Vorlage:Kasten Mathematik


Vorlage:Aufgaben-M

Versuche die Aufgabe zuerst ohne Hilfen zu lösen!

Vielleicht kann dir diese Urnensimulation weiterhelfen:

Vorlage:Rechtsklick Fenster Urnensimulation

Lösungshilfen: Vorlage:Versteckt

  • Die Ergebnisse von de Méré sind nicht gleichwahrscheinlich! Also kann er gar nicht die Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen.
  • Die Wahrscheinlichkeiten bei Gustavs Glücksspiel hätten sich ja auch nicht geändert, nur weil die Würfel anders gewesen wären. Denke daran, dass zum Beispiel eine farbenblinde Person die andersfarbigen Würfel gar nicht unterscheiden könnte.


Vorlage:Aufgaben-M



Vorlage:Aufgaben-M

  • Für Ergebnisse mit drei verschiedenen Augenzahlen müssen wir nicht nur eines beachten, sondern sechs verschiedene (Zählprinzip).
Beispiel:
  • Für Ergebnisse mit zwei verschiedenen Augenzahlen müssen wir drei verschieden Ergebnisse beachten.
  • Für Ergebnisse wie  gibt es nur ein Ergebnis.
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \Rightarrow \quad \left|E_1\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 3=27 \quad \Rightarrow \quad p(E_1)= \frac{27}{216}=12{,}5\ %}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \Rightarrow \quad \left|E_2\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 1=25 \quad \Rightarrow \quad p(E_2)= \frac{25}{216}\approx11{,}6\ %}


Da der Unterschied nicht sehr groß ist, müssen de Méré und seine Freunde sehr oft gewürfelt haben, damit ihnen das Problem aufgefallen ist!




Vorlage:Kasten Mathematik