Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Drei-Würfel-Problem: Unterschied zwischen den Versionen

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(Das „Drei-Würfel-Problem“)
 
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== Das „Drei-Würfel-Problem“ ==
  
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Das „Drei-Würfel-Problem“ stammt von {{wpde|Chevalier_de_Mere|Chevalier de Méré}} (1607 - 1684), einem französischen Edelmann im Zeitalter des Barocks. Er  behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind.
  
 
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[[Datei:Augensumme11.JPG|rechts|300px]]
{{Kasten Mathematik|Das „Drei-Würfel-Problem“ stammt von ''Chevalier de Méré'' (1607 - 1684), einem französischen Edelmann im Zeitalter des Barocks. Er  behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind.
 
  
 
Für die Augensumme 11 gibt es nämlich sechs verschiedene Möglichkeiten:  
 
Für die Augensumme 11 gibt es nämlich sechs verschiedene Möglichkeiten:  
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<math>\left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\}</math>  
 
<math>\left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\}</math>  
  
In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme 12. <br!> Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein.}}
 
  
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In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme 12. Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein.
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{{Box|1= Aufgabe 3.1|2= Welchen Fehler hatte ''Chevalier de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?
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Versuche die Aufgabe zuerst ohne Hilfen zu lösen!
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Vielleicht kann dir diese Urnensimulation weiterhelfen:
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[http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/_personelles/papers/stoc_pro/Urne/JavaUrne.html Urnensimulation öffnen]
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<div class="grid">
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<div class="width-1-2">
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{{Lösung versteckt|1=
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:*Mit Hilfe einer Urnensimulation kannst du unter anderem auch diesen dreifachen Würfelwurf simulieren.
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: Brauchst du einen Tipp? 6 Kugeln in der Urne; dreimaliges Ziehen mit Zurücklegen.
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: Funktioniert die Java-Simulation bei dir nicht, baue dir doch einfach eine „Socken-Urne“: sechs unterscheidbare Gegenstände in einer Socke! 
  
{{Aufgaben-M|1|Welchen Fehler hatte ''de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?}}
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:*Führe dies <u>mit</u> und <u>ohne</u> Beachtung der Reihenfolge durch. Was fällt dir auf?
  
Sollte das Problem noch zu schwierig sein, vereinfache es zunächst auf den zweifachen Würfelwurf!
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:*Denke nochmal an „Gustavs Glücksspiel“. Wenn er dir das Spiel mit zwei gleichartigen Würfeln angeboten hätte, hätten sich die Wahrscheinlichkeiten deshalb geändert?
  
Auf folgender englischsprachigen Seite kannst du ein Spiel zum zweifachen Würfelwurf
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:*Das Glücksspiel von Gustav war ein Laplace-Experiment. Ist das „Drei-Würfel-Problem“ von ''Chevalier de Méré'' auch eines?
durchführen:
 
  
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithTwoDie/ Racing Game with two Dice] (deutsch: Wettkampf mit zwei Würfeln)
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:*Stell dir vor, die Würfel von ''de Méré'' wären unterscheidbar. Was ist nun für die Ergebnismenge wichtig?
  
Wähle an der rechten Seite für die Augensumme 11 „Player A“ und für die Augensumme 12 „Player B“. Mit „Start the race“ geht es los! Du kannst auch automatisch viele Rennen durchlaufen lassen und die Gewinnerstatistik betrachten.
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:[[Datei:Augensumme11bunt.JPG|200px]]&nbsp;[[Datei:Augensumme11bunt2.JPG|200px]]
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|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
  
{{Aufgaben-M|2|Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf!
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</div>
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<div class="width-1-2">
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{{Lösung versteckt|1=
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:*Die angegebenen '''Ergebnisse''' von ''Chevalier de Méré'' sind <u>nicht</u> gleichwahrscheinlich! Also kann er gar nicht die Laplace-Wahrscheinlichkeiten der '''Ereignisse''' „Augensumme 11“ und „Augensumme 12“ mit der Behauptung der Gleichwahrscheinlichkeit berechnen.
  
(Info: Bei dieser Aufgabe irrte sich übrigens ''Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz'' (1646 - 1716), einer der letzten Universalgelehrten.)}}
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:*Die Wahrscheinlichkeiten bei Gustavs Glücksspiel hätten sich nicht geändert, nur weil die Würfel gleichfarbig gewesen wären. Denke daran, dass zum Beispiel eine farbenblinde Person die andersfarbigen Würfel gar nicht unterscheiden könnte.
  
Tipp: Was fällt dir an den Würfeln im Spiel auf? Zeichne ein Baumdiagramm für die Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf.
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:*Hätte sich denn die Wahrscheinlichkeit in Aufgabe 1.8 einen Pasch zu würfeln geändert wenn die Würfel gleichfarbig gewesen wären? Natürlich nicht...
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}}
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</div>
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</div>
  
{{Lösung versteckt|Die Würfel sind unterschiedlich gefärbt. Man könnte auch sagen: ''1. Wurf ist rot, 2. Wurf ist grün''.
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|3=Arbeitsmethode}}
  
Damit wäre die Lösung nach ''de Méré'' der Art, dass es eine Möglichkeit für beide Augensummen gibt, nämlich <math>\left\{ 5,6 \right\}</math> beziehungsweise <math>\left\{ 6,6 \right\}</math>, falsch.
 
  
Das Baumdiagramm zeigt zwei Wege, welche die Augensumme 11 ergeben. <math>\left\{ 5,6 \right\}, \left\{ 6,5 \right\}</math>  <br!> [[Datei:Baum1.jpg]]}}
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{{Box|1=Aufgabe 3.2|2=
  
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Gib nun die Ergebnismenge für den dreifachen Würfelwurf so an, dass die Laplace-Annahme gerechtfertigt ist.
  
{{Aufgaben-M|3|Löse nun Aufgabe 1, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die gesuchten Augensummen beim dreifachen Würfelwurf berechnest.}}
+
{{Lösung versteckt|1=
  
Lösungshilfen:  
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:<math>\Omega = \{(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6),(1,2,1),...,(6,6,4),(6,6,5),(6,6,6)\} </math>
  
* Erstelle die Ergebnismenge, wie ''de Méré'' es gemacht hat. Handelt es sich um ein Laplaceexperiment?
+
:<math>\vert \Omega \vert = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216</math>
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}}
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|3=Arbeitsmethode}}
  
* Stelle dir vor die Würfel wären unterschiedlich. (Bild!)
 
  
* Mit Hilfe dieser Urnensimulation kannst du unter anderem einen dreifachen Würfelwurf simulieren. Führe dies mit und ohne Beachtung der Reihenfolge durch. Was fällt dir auf?
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{{Box|1= Aufgabe 3.3|2=
  
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/_personelles/papers/stoc_pro/Urne/JavaUrne.html Urnensimulation]
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Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse '''E<sub>1</sub>: „Augensumme 11“''' und '''E<sub>2</sub>: „Augensumme 12“''' beim dreifachen Würfelwurf.
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{{Lösung versteckt|1=
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:*Für Ergebnisse mit drei verschiedenen Augenzahlen müssen wir nicht nur eines beachten, sondern sechs verschiedene (Zählprinzip).
  
(→ Wie geht das?) {{versteckt|6 Kugeln in der Urne; dreimaliges Ziehen mit zurücklegen und Beachtung der Reihenfolge.}}
+
::Beispiel:<math>\{1,4,6\}\ \rightarrow \{(1,4,6),(1,6,4),(4,1,6),(4,6,1),(6,1,4),(6,4,1)\}</math>
  
*Erstelle nun die Ergebnismenge, sodass es sich um ein Laplace-experiment handelt! Jetzt kannst du unter der Voraussetzung der Gliechwahrscheinlichkeit die gesuchten Wahrscheinlichkeiten berechnen.
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:*Für Ergebnisse mit zwei verschiedenen Augenzahlen müssen wir drei verschiedene Ergebnisse beachten.
  
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:*Für Ergebnisse wie <math>\{3,3,3\}</math>&nbsp;gibt es nur ein Ergebnis.
  
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:<math>\Rightarrow \quad \left|E_1\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 3=27 \quad \Rightarrow \quad p(E_1)= \frac{27}{216}=12{,}5\ %</math>
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:<math>\Rightarrow \quad \left|E_2\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 1=25 \quad \Rightarrow \quad p(E_2)= \frac{25}{216}\approx11{,}6\ %</math>
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:Da der Unterschied nicht sehr groß ist, muss ''Chevalier de Méré'' sehr oft gewürfelt haben, damit ihm das Problem aufgefallen ist!!
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}}
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|3=Arbeitsmethode}}
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{{Fortsetzung|weiter=Würfeln von Efron|weiterlink=../Efron}}
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[[File:Efron_dice.png|center|175px]]
  
 
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[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Efron| <big> → Weiter zu den „Würfeln von Efron“! </big> ]]
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{{Lernpfad Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen}}
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{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
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[[Kategorie:Mathematik]]
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[[Kategorie:ZUM2Edutags]]

Aktuelle Version vom 23. November 2018, 14:26 Uhr

Das „Drei-Würfel-Problem“

Das „Drei-Würfel-Problem“ stammt von Chevalier de MéréWikipedia-logo.png (1607 - 1684), einem französischen Edelmann im Zeitalter des Barocks. Er behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind.

Augensumme11.JPG

Für die Augensumme 11 gibt es nämlich sechs verschiedene Möglichkeiten:

Für die Augensumme 12 gibt es ebenfalls sechs verschiedene Möglichkeiten:


In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme 12. Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein.


Aufgabe 3.1

Welchen Fehler hatte Chevalier de Méré wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?

Versuche die Aufgabe zuerst ohne Hilfen zu lösen!

Vielleicht kann dir diese Urnensimulation weiterhelfen:

Urnensimulation öffnen

  • Mit Hilfe einer Urnensimulation kannst du unter anderem auch diesen dreifachen Würfelwurf simulieren.
Brauchst du einen Tipp? 6 Kugeln in der Urne; dreimaliges Ziehen mit Zurücklegen.
Funktioniert die Java-Simulation bei dir nicht, baue dir doch einfach eine „Socken-Urne“: sechs unterscheidbare Gegenstände in einer Socke!
  • Führe dies mit und ohne Beachtung der Reihenfolge durch. Was fällt dir auf?
  • Denke nochmal an „Gustavs Glücksspiel“. Wenn er dir das Spiel mit zwei gleichartigen Würfeln angeboten hätte, hätten sich die Wahrscheinlichkeiten deshalb geändert?
  • Das Glücksspiel von Gustav war ein Laplace-Experiment. Ist das „Drei-Würfel-Problem“ von Chevalier de Méré auch eines?
  • Stell dir vor, die Würfel von de Méré wären unterscheidbar. Was ist nun für die Ergebnismenge wichtig?
Augensumme11bunt.JPG Augensumme11bunt2.JPG
  • Die angegebenen Ergebnisse von Chevalier de Méré sind nicht gleichwahrscheinlich! Also kann er gar nicht die Laplace-Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse „Augensumme 11“ und „Augensumme 12“ mit der Behauptung der Gleichwahrscheinlichkeit berechnen.
  • Die Wahrscheinlichkeiten bei Gustavs Glücksspiel hätten sich nicht geändert, nur weil die Würfel gleichfarbig gewesen wären. Denke daran, dass zum Beispiel eine farbenblinde Person die andersfarbigen Würfel gar nicht unterscheiden könnte.
  • Hätte sich denn die Wahrscheinlichkeit in Aufgabe 1.8 einen Pasch zu würfeln geändert wenn die Würfel gleichfarbig gewesen wären? Natürlich nicht...


Aufgabe 3.2

Gib nun die Ergebnismenge für den dreifachen Würfelwurf so an, dass die Laplace-Annahme gerechtfertigt ist.


Aufgabe 3.3

Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse E1: „Augensumme 11“ und E2: „Augensumme 12“ beim dreifachen Würfelwurf.

  • Für Ergebnisse mit drei verschiedenen Augenzahlen müssen wir nicht nur eines beachten, sondern sechs verschiedene (Zählprinzip).
Beispiel:
  • Für Ergebnisse mit zwei verschiedenen Augenzahlen müssen wir drei verschiedene Ergebnisse beachten.
  • Für Ergebnisse wie  gibt es nur ein Ergebnis.


Da der Unterschied nicht sehr groß ist, muss Chevalier de Méré sehr oft gewürfelt haben, damit ihm das Problem aufgefallen ist!!


Efron dice.png