Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Drei-Würfel-Problem: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 3. September 2009, 17:06 Uhr

Das „Drei-Würfel-Problem“

Bild von drei Würfeln einfügen!


Vorlage:Kasten Mathematik


Aufgabe
Welchen Fehler hatte de Méré wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?


Bevor wir Chevalier de Méré bei seinem Problem helfen wollen, beschäftigen wir uns zunächst mit einem einfacheren, aber ähnlichem Fall:

Vorlage:Kasten Mathematik


  Stift.gif   Aufgabe 1

Schreibe eine möglichst feine Ergebnismenge für das Zufallsexperiment hin.


  Stift.gif   Aufgabe 2

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E1: „Augensumme ist 2“ bis E12: „Augensumme ist 12“.


  Stift.gif   Aufgabe 3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst?


oder: Sollte das Problem noch zu schwierig sein, vereinfache es zunächst auf den zweifachen Würfelwurf!

Auf folgender englischsprachigen Seite kannst du ein Spiel zum zweifachen Würfelwurf ausprobieren (dazu benötigt du Java):

Vorlage:Rechtsklick Fenster Racing Game with two Dice Wähle an der rechten Seite für die Augensumme 11 „Player A“ und für die Augensumme 12 „Player B“. Mit „Start the race“ geht es los!

Du kannst auch automatisch viele Rennen durchlaufen lassen und die Gewinnerstatistik betrachten.
  Stift.gif   Aufgabe 2

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf!

(Info: Bei dieser Aufgabe irrte sich übrigens Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (1646 - 1716), einer der letzten Universalgelehrten.)

Tipp: Was fällt dir an den Würfeln im Spiel auf? Zeichne ein Baumdiagramm für die Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf.

Die Würfel sind unterschiedlich gefärbt. Man könnte auch sagen: 1. Wurf ist rot, 2. Wurf ist grün.

Damit wäre die Lösung nach de Méré der Art, dass es eine Möglichkeit für beide Augensummen gibt, nämlich beziehungsweise , falsch.

Das Baumdiagramm zeigt zwei Wege, welche die Augensumme 11 ergeben. <br!> Baum1.jpg


Aufgabe
Löse nun Aufgabe 1, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die gesuchten Augensummen beim dreifachen Würfelwurf berechnest.

Lösungshilfen:

  • Erstelle die Ergebnismenge, wie de Méré es gemacht hat. Handelt es sich mit dieser Ergebnissmenge um ein Laplaceexperiment?
  • Stelle dir vor die Würfel wären unterschiedlich. (Bild!)
  • Mit Hilfe dieser Urnensimulation kannst du unter anderem einen dreifachen Würfelwurf simulieren. Führe dies mit und ohne Beachtung der Reihenfolge durch. Was fällt dir auf?

Vorlage:Rechtsklick Fenster Urnensimulation

(→ Wie geht das?) Vorlage:Versteckt

  • Erstelle nun die Ergebnismenge, sodass es sich um ein Laplace-experiment handelt! Jetzt kannst du unter der Voraussetzung der Gliechwahrscheinlichkeit die gesuchten Wahrscheinlichkeiten berechnen.




Vorlage:Kasten Mathematik