Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Drei-Würfel-Problem: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Kasten Mathematik|Das „Drei-Würfel-Problem“ stammt von ''Chevalier de Méré'' (1607 - 1684), einem französischen Edelmann im Zeitalter des Barocks. Er behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind. | {{Kasten Mathematik|Das „Drei-Würfel-Problem“ stammt von ''Chevalier de Méré'' (1607 - 1684), einem französischen Edelmann im Zeitalter des Barocks. Er behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind. | ||
Für die Augensumme 11 gibt es nämlich sechs verschiedene Möglichkeiten: | Für die Augensumme 11 gibt es nämlich sechs verschiedene Möglichkeiten: | ||
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<math>\left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\}</math> | <math>\left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\}</math> | ||
In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme 12. <br!> Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein.}} | In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme 12. <br!> Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein.}} | ||
{{ | {{Aufgabe|Welchen Fehler hatte ''de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?}} | ||
Bevor wir ''Chevalier de Méré'' bei seinem Problem helfen wollen, beschäftigen wir uns zunächst mit einem einfacheren, aber ähnlichem Fall: | |||
{{Kasten Mathematik|Peter bietet dir in der Pause ein Glücksspiel an: | |||
Du wirfst einen roten und einen grünen Würfel. Bei den Augensummen 2, 3, 4, 9, 10, 11 und 12 bekommst du deinen Einsatz doppelt zurück, bei den Augensummen 5, 6, 7 und 8 verlierst du deinen Einsatz. Da du bei 7 Augensummen gewinnst und nur bei 4 | |||
Augensummen verlierst, beträgt Deine Gewinnwahrscheinlichkeit <math>\frac{7}{11} \approx 64%</math>. | |||
Würdest du dich auf das Spiel einlassen? | |||
}} | |||
{{Aufgaben-M|1|Schreibe eine möglichst feine Ergebnismenge für das Zufallsexperiment hin.}} | |||
{{Aufgaben-M|2|Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E<sub>1</sub>: „Augensumme ist 2“ bis E<sub>12</sub>: „Augensumme ist 12“.}} | |||
{{Aufgaben-M|3|Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst?}} | |||
Sollte das Problem noch zu schwierig sein, vereinfache es zunächst auf den zweifachen Würfelwurf! | oder: Sollte das Problem noch zu schwierig sein, vereinfache es zunächst auf den zweifachen Würfelwurf! | ||
Auf folgender englischsprachigen Seite kannst du ein Spiel zum zweifachen Würfelwurf | Auf folgender englischsprachigen Seite kannst du ein Spiel zum zweifachen Würfelwurf | ||
Version vom 2. September 2009, 19:40 Uhr
Das „Drei-Würfel-Problem“
Bild von drei Würfeln einfügen!
Aufgabe
Welchen Fehler hatte de Méré wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?
Bevor wir Chevalier de Méré bei seinem Problem helfen wollen, beschäftigen wir uns zunächst mit einem einfacheren, aber ähnlichem Fall:
oder: Sollte das Problem noch zu schwierig sein, vereinfache es zunächst auf den zweifachen Würfelwurf!
Auf folgender englischsprachigen Seite kannst du ein Spiel zum zweifachen Würfelwurf ausprobieren (dazu benötigt du Java):
Vorlage:Rechtsklick Fenster Racing Game with two Dice Wähle an der rechten Seite für die Augensumme 11 „Player A“ und für die Augensumme 12 „Player B“. Mit „Start the race“ geht es los!
- Du kannst auch automatisch viele Rennen durchlaufen lassen und die Gewinnerstatistik betrachten.
Tipp: Was fällt dir an den Würfeln im Spiel auf? Zeichne ein Baumdiagramm für die Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf.
Die Würfel sind unterschiedlich gefärbt. Man könnte auch sagen: 1. Wurf ist rot, 2. Wurf ist grün.
Damit wäre die Lösung nach de Méré der Art, dass es eine Möglichkeit für beide Augensummen gibt, nämlich beziehungsweise , falsch.
Das Baumdiagramm zeigt zwei Wege, welche die Augensumme 11 ergeben. <br!>
Aufgabe
Löse nun Aufgabe 1, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die gesuchten Augensummen beim dreifachen Würfelwurf berechnest.
Lösungshilfen:
- Erstelle die Ergebnismenge, wie de Méré es gemacht hat. Handelt es sich mit dieser Ergebnissmenge um ein Laplaceexperiment?
- Stelle dir vor die Würfel wären unterschiedlich. (Bild!)
- Mit Hilfe dieser Urnensimulation kannst du unter anderem einen dreifachen Würfelwurf simulieren. Führe dies mit und ohne Beachtung der Reihenfolge durch. Was fällt dir auf?
Vorlage:Rechtsklick Fenster Urnensimulation
(→ Wie geht das?) Vorlage:Versteckt
- Erstelle nun die Ergebnismenge, sodass es sich um ein Laplace-experiment handelt! Jetzt kannst du unter der Voraussetzung der Gliechwahrscheinlichkeit die gesuchten Wahrscheinlichkeiten berechnen.
