Integralrechnung/Vorüberlegungen: Unterschied zwischen den Versionen

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Um einer Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen vor, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!
Um einer Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen vor, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!
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Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen. <br>
Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen. <br>
Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise!
Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise!
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a) Konstante Funktion: &nbsp; <math>f(x)=5</math> &nbsp; in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>
a) Konstante Funktion: &nbsp; <math>f(x)=5</math> &nbsp; in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>
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Also: <math>A = A_{\mathrm{Rechteck}} + A_{\mathrm{Dreieck}} = 8 + 4 = 12.</math>
Also: <math>A = A_{\mathrm{Rechteck}} + A_{\mathrm{Dreieck}} = 8 + 4 = 12.</math>
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'''Merke'''
 
Allgemein berechnet sich eine solche aus Rechteck- und Dreieckfläche zusammengesetzte Fläche natürlich nach der Formel <math>A = a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot h \cdot b</math>, wenn <math>a</math> die Höhe des Rechtecks, <math>h</math> die Höhe des Dreiecks und <math>b</math> die Breite des Dreiecks bzw. Rechtecks sind. <br>
Allgemein berechnet sich eine solche aus Rechteck- und Dreieckfläche zusammengesetzte Fläche natürlich nach der Formel <math>A = a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot h \cdot b</math>, wenn <math>a</math> die Höhe des Rechtecks, <math>h</math> die Höhe des Dreiecks und <math>b</math> die Breite des Dreiecks bzw. Rechtecks sind. <br>
Diese Summe aus den beiden Einzelflächen kann nun interpretiert werden als der Mittelwert der  unteren Rechteckfläche (Rechteck ABCD) und der oberen Rechteckfläche (Rechteck BCEF)! <br>
Diese Summe aus den beiden Einzelflächen kann nun interpretiert werden als der Mittelwert der  unteren Rechteckfläche (Rechteck ABCD) und der oberen Rechteckfläche (Rechteck BCEF)! <br>
Seine Fläche entspricht dem Rechteck BCGH.
Seine Fläche entspricht dem Rechteck BCGH.
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[[../|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[../Ober- und Untersumme|>>Weiter>>]]
 
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Version vom 20. November 2018, 17:37 Uhr

Vorüberlegungen: Vom Speziellen zum Allgemeinen

Auf der ersten Seite hast Du gelernt, dass der zurückgelegte Weg in einem Diagramm, in dem die Geschwindigkeit gegen die Zeit aufgetragen ist, gleich dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ist.



Frage
Aber wie kann man diesen Flächeninhalt denn nun genau bestimmen bzw. berechnen?



Dies ist die zentrale Frage des vorliegenden Lernpfades!


Um einer Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen vor, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!

Aufgabe2

Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen.

Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise!


a) Konstante Funktion:     in den Grenzen und

Const fkt.png



b) Lineare, nicht-konstante Funktion:     in den Grenzen und

Lin fkt.png



c) Ausgehend von den Aufgabenteilen a) und b) sollst Du hier nur eine Möglichkeit beschreiben, wie man die markierte Fläche zumindest näherungsweise bestimmen könnte. Dazu soll eine Funktion dritten Grades als Beispiel für eine Funktion im Allgemeinen dienen:   in den Grenzen -8 und 10.


Flaeche allgemein.png