Integralrechnung/Vorüberlegungen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lösung versteckt|A-6-Antwort6<br>Frage:Welche Schadstoffmenge wurde durch den Kraftwerkskamin ausgestoßen?;<br>B-2-Antwort4<br>Frage:Wie viel Arbeit wird aufgewendet wenn ein Auto über 4m geschoben wird?;<br>C-4-Antwort1<br>Frage:Welche Wassermenge fließt an einem Tag ab?;<br>D-5-Antwort5<br>Frage:Wie weit fährt das Auto während der 25-minütigen Fahrt durch die Ortschaft?;<br>E-3-Antwort3<br>Frage:Wie viel Kubikmeter Öl fließen zwischen 13 und 19 Uhr durch die Pipeline?;<br>F-1-Antwort2<br>Frage:Wie viele Zuschauer sind bis Spielbeginn in die Halle gelassen worden?}}<br><br>
{{Lösung versteckt|A-6-Antwort6<br>Frage:Welche Schadstoffmenge wurde durch den Kraftwerkskamin ausgestoßen?;<br>B-2-Antwort4<br>Frage:Wie viel Arbeit wird aufgewendet wenn ein Auto über 4m geschoben wird?;<br>C-4-Antwort1<br>Frage:Welche Wassermenge fließt an einem Tag ab?;<br>D-5-Antwort5<br>Frage:Wie weit fährt das Auto während der 25-minütigen Fahrt durch die Ortschaft?;<br>E-3-Antwort3<br>Frage:Wie viel Kubikmeter Öl fließen zwischen 13 und 19 Uhr durch die Pipeline?;<br>F-1-Antwort2<br>Frage:Wie viele Zuschauer sind bis Spielbeginn in die Halle gelassen worden?}}<br><br>
{{Frage|Aber wie kann man diesen Flächeninhalt denn nun '''genau''' bestimmen bzw. berechnen?}}
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<div align="center">
Dies ist die zentrale Frage des vorliegenden Lernpfades!
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Um einer Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen vor, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!
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{{Aufgaben-M|3|
Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen. <br>
Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise!
}}
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a) Konstante Funktion: &nbsp; <math>f(x)=5</math> &nbsp; in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>
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[[Bild:const_fkt.png|zentriert|500px]]
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|Flächeninhalt: <math>A = 20.</math> <br>
Die Fläche ist rechteckig, also berechnet sich der Flächeninhalt nach der Formel <math>A = </math>  Breite <math>\cdot</math> Höhe. <br>
Die Breite ist dabei durch die Grenzen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> festgelegt, misst also
<math>x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4.</math> <br>
Die Höhe ist durch den (konstanten) Funktionswert <math>f(x)=5</math> festgelegt. <br>
Also: <math>A=4 \cdot 5 = 20.</math>
}}}}
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b) Lineare, nicht-konstante Funktion: &nbsp; <math>f(x)= 0,5 x + 1</math> &nbsp; in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>
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[[Bild:lin_fkt.png|zentriert|500px]]
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|Flächeninhalt: <math>A = 12.</math> <br>
Die Fläche lässt sich aufteilen in einen rechteckigen Teil ( Höhe <math> = y_1 = 2,</math> Breite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=8</math> <br>
und einen dreieckigen Teil ( Höhe <math> = y_2-y_1 = 2,</math> Grundseite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=4</math>. <br>
Also: <math>A = A_{\mathrm{Rechteck}} + A_{\mathrm{Dreieck}} = 8 + 4 = 12.</math>
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{{Merke-M|
Allgemein berechnet sich eine solche aus Rechteck- und Dreieckfläche zusammengesetzte Fläche natürlich nach der Formel <math>A = a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot h \cdot b</math>, wenn <math>a</math> die Höhe des Rechtecks, <math>h</math> die Höhe des Dreiecks und <math>b</math> die Breite des Dreiecks bzw. Rechtecks sind. <br>
Diese Summe aus den beiden Einzelflächen kann nun interpretiert werden als der Mittelwert der  unteren Rechteckfläche (Rechteck ABCD) und der oberen Rechteckfläche (Rechteck BCEF)! <br>
Seine Fläche entspricht dem Rechteck BCGH.
[[Bild:Flaeche_mittelwert.png|zentriert|350px]]
}}
}}}}
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c) Ausgehend von den Aufgabenteilen a) und b) sollst Du hier nur eine Möglichkeit beschreiben, wie man die markierte Fläche zumindest näherungsweise bestimmen könnte. Dazu soll eine
Funktion dritten Grades als Beispiel für eine Funktion im Allgemeinen dienen: <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> &nbsp; in den Grenzen -8 und 10.<br>
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[[Bild:flaeche_allgemein.png|zentriert|500px]]
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|Man könnte die Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> in viele schmale Trapeze aufteilen, deren Fläche berechnen und die gesuchte Fläche durch die Summe der Trapezflächen (''Trapezsumme'') annähern.
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Das Ganze sähe dann mit <math>n = 6</math> gleich breiten Trapezstreifen folgendermaßen aus: <br>
[[Bild:flaeche_allgemein_summen.png|zentriert|350px]]
{{Merke-M|
Mathematisch sehr viel einfacher zu handhaben sind jedoch Rechteckflächen. Man unterscheidet ''Obersumme'' und ''Untersumme''. Die gesuchte Fläche liegt dann zwischen Ober- und Untersumme.
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[[Bild:flaeche_summen.png|zentriert|350px]]
}}
}}}}
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Version vom 8. November 2012, 18:32 Uhr

Vorlage:Kasten blau

Vorlage:Aufgaben-M

Vorlage:Versteckt

Hier ein kleiner Zwischencheck!
Hast Du die Zusammenhänge verstanden?
Notiere die zusammengehörenden Buchstaben der Graphen, die Nummern der Aussagen und die zugehörige Antwort!

Nic3381 Testfragen.JPG



Formuliere anschließend passende Fragestellungen zu diesen sechs Zusammenhängen!




A-6-Antwort6
Frage:Welche Schadstoffmenge wurde durch den Kraftwerkskamin ausgestoßen?;
B-2-Antwort4
Frage:Wie viel Arbeit wird aufgewendet wenn ein Auto über 4m geschoben wird?;
C-4-Antwort1
Frage:Welche Wassermenge fließt an einem Tag ab?;
D-5-Antwort5
Frage:Wie weit fährt das Auto während der 25-minütigen Fahrt durch die Ortschaft?;
E-3-Antwort3
Frage:Wie viel Kubikmeter Öl fließen zwischen 13 und 19 Uhr durch die Pipeline?;
F-1-Antwort2
Frage:Wie viele Zuschauer sind bis Spielbeginn in die Halle gelassen worden?










Vorlage:Navigation Lernpfad Integral

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