Integralrechnung/Stammfunktion

Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

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Stammfunktion

Definition

Man nennt eine Funktion $F(x)$ eine Stammfunktion der Funktion $f(x)$ oder das unbestimmte Integral von $f(x)$, wenn gilt:

$F\ '(x)=f(x)$

Das heißt, die Ableitung der Stammfunktion oder des unbestimmten Integrals $F(x)$ ist die Funktion $f(x)$. Somit stellt das Auffinden einer Stammfunktion die Umkehrung zur Bestimmung der Ableitung einer Funktion dar und es gilt:

$F\ (x)=\int f(x)\ \mathrm {d} x$

Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation, d.h. man hat eine Funktion $f(x)$ gegeben und sucht eine Funktion $F(x)$, deren Ableitung die gegebene Funktion ist.

Beispiel

Gesucht ist eine Stammfunktion $F(x)$ zu der Funktion $f(x)=x^{2}$.
Wir wissen, dass die Ableitung der gesuchten Funktion unsere Ausgangsfunktion sein muss. Wir wissen weiter, dass bei der Ableitung einer Potenzfunktion der Exponent als Faktor vor die Ableitung geschrieben und danach um 1 erniedrigt wird. Also gilt
$F(x)={\frac {1}{3}}\ x^{3}$, denn $F\ '(x)=x^{2}$ und das wollten wir ja haben!

Aufgabe 9

1. Es gibt zu einer gegebenen Funktion $f(x)$ immer unendlich viele Stammfunktionen der Form $F(x)+c$ mit einer reellen Zahl $c$. Begründe diesen Satz mit Deinem mathematischen Wissen!
2. Bestimme eine Stammfunktion $F(x)$ zu $f(x)=x^{3}$. Mache auf jeden Fall die Probe $F\ '(x)=f(x)$.

1. Es gibt immer unendlich viele Stammfunktionen der Form $F(x)+c$ einer gegebenen Funktion $f(x)$, da die Ableitung einer solchen Stammfunktion immer wieder $f(x)$ ergibt. Konstanten werden ja zu null abgeleitet.
2. Es ist z.B. $F(x)={\frac {1}{4}}\ x^{4}$, i.A. aber $F(x)={\frac {1}{4}}\ x^{4}+c$

Im Applet unten wird Dir ein grafisches Beispiel einer Funktion $f(x)$ und zweier Stammfunktionen $F(x)$ und $G(x)=F(x)+c$ gezeigt.
Verschiebe dabei zuerst die Funktion $f(x)$ mit der Maus in alle möglichen Richtungen und beobachte, wie sich die Stammfunktionen verändern.
Verschiebe in einem zweiten Schritt die Konstante $c$ auf der y-Achse und abwechselnd die Ausgangsfunktion. Beobachte die Veränderung.

Verfeinertes Beispiel von oben

Wir haben jetzt gesehen, dass es unendlich viele Stammfunktionen zu einer gegebenen Funktion gibt, da die addierte Konstante bei der Ableitung wieder verschwindet. Also müssen wir das Ergebnis des Beispiels von oben etwas erweitern.
Im Allgemeinen gilt dann für $f(x)=x^{2}$:
$F(x)={\frac {1}{3}}\ x^{3}+c$

Aufgaben