Integralrechnung/Ober- und Untersumme: Unterschied zwischen den Versionen

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An dieser Stelle erscheint nun eine Zusammenfassung des bisher Gelernten sinnvoll: <br>
{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}
{{Merke-M|
<!--==Ober- und Untersumme==-->
# In einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist die während eines bestimmten Zeitintervalls zurückgelegte Strecke gleich dem Flächeninhalt innerhalb dieses Zeitintervalls, der zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse liegt.
Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.  
# Bei einer konstanten Funktion (z.B. konstante Geschwindigkeit) entspricht der Flächeninhalt (zurückgelegter Weg) unter dem Graphen in einem beliebigen Intervall (Anfangs- und Endzeitpunkt) einfach dem Produkt aus der Intervalllänge (Zeitdauer) und dem konstanten Funktionswert (Geschwindigkeit).
 
# Bei einer allgemeinen (auch nicht-konstanten) linearen Funktion entspricht der Flächeninhalt unter dem Graphen dem Mittelwert aus oberer und unterer Rechteckfläche. Dies gilt insbesondere auch für die konstante Funktion!
 
# Im Allgemeinen kann der Flächeninhalt unter dem Graphen einer beliebigen Funktion durch viele schmale Rechtecke in der Ober- und Untersumme angenähert werden. Dabei wird wieder der Mittelwert aus Ober- und Untersumme gebildet.
Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden!  
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Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt. <br>
{{Kasten_blau|
Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden! <br>
Dazu wird immer wieder auf den Funktionsumfang der freien Software Geogebra zurückgegriffen werden.
Dazu wird immer wieder auf den Funktionsumfang der freien Software Geogebra zurückgegriffen werden.
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{{Aufgaben-M|3|
{{Box|1=Aufgabe 3|2=
Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen. <br>
Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen. <br>
Gezeigt ist der Graph der Funktion <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b].
Gezeigt ist der Graph der Funktion <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b].
# Verschiebe abwechselnd die Intervallgrenzen a und b (blaue Punkte auf der x-Achse) mit der Maus nach rechts und links. Beschreibe wie die Rechteckflächen der Ober- und Untersumme auf die Verschiebung der Intervallgrenzen reagieren. Was geschieht mit den Werten O, U und der Differenz?
# Variiere jetzt die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke durch Betätigung des Schiebereglers. Was passiert nun mit den Werten O, U und der Differenz? Wie und warum wird durch die Variation von <math>n</math> die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser oder schlechter beschrieben?
# Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl <math>n</math> der Rechtecke.
# Wie groß müsste <math>n</math> sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erwarten wäre?
|3=Arbeitsmethode}}
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# Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der Intervalllänge geteilt durch die Anzahl <math>n</math> der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann natürlich auch die Differenz.
# Je größer die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke wird, desto mehr nähern sich O und U einander an und desto kleiner wird somit deren Differenz. Durch die Vergrößerung von <math>n</math> wird die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser beschreiben, durch seine Verringerung schlechter. Das kommt daher, dass durch immer schmaler werdende Rechtecke der Fehler durch die "übrigbleibenden" Flächen an den oberen Rechteckrändern immer kleiner wird.
# Die Ergebnisse von 1. und 2. gelten für beliebige Intervalle!
# Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste <math>n</math> unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang <math>n \to \infty</math>.
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<center><ggb_applet height="600" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="integral1.ggb" /></center>
 
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</div>
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:40 Uhr

Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.


Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden!

Dazu wird immer wieder auf den Funktionsumfang der freien Software Geogebra zurückgegriffen werden.


Aufgabe 3

Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen.
Gezeigt ist der Graph der Funktion mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b].

  1. Verschiebe abwechselnd die Intervallgrenzen a und b (blaue Punkte auf der x-Achse) mit der Maus nach rechts und links. Beschreibe wie die Rechteckflächen der Ober- und Untersumme auf die Verschiebung der Intervallgrenzen reagieren. Was geschieht mit den Werten O, U und der Differenz?
  2. Variiere jetzt die Anzahl der Rechtecke durch Betätigung des Schiebereglers. Was passiert nun mit den Werten O, U und der Differenz? Wie und warum wird durch die Variation von die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser oder schlechter beschrieben?
  3. Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl der Rechtecke.
  4. Wie groß müsste sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von mehr zu erwarten wäre?



GeoGebra
  1. Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der Intervalllänge geteilt durch die Anzahl der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann natürlich auch die Differenz.
  2. Je größer die Anzahl der Rechtecke wird, desto mehr nähern sich O und U einander an und desto kleiner wird somit deren Differenz. Durch die Vergrößerung von wird die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser beschreiben, durch seine Verringerung schlechter. Das kommt daher, dass durch immer schmaler werdende Rechtecke der Fehler durch die "übrigbleibenden" Flächen an den oberen Rechteckrändern immer kleiner wird.
  3. Die Ergebnisse von 1. und 2. gelten für beliebige Intervalle!
  4. Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang .