Integralrechnung/Integrationsregeln: Unterschied zwischen den Versionen

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\int_a^b \left( f(x) + g(x) \right) \ \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x + \int_a^b g(x) \ \mathrm{d}x
\int_a^b \left( f(x) + g(x) \right) \ \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x + \int_a^b g(x) \ \mathrm{d}x
</math>. <br>
</math>. <br>
Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Intergale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert.
Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Integrale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert.
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# Die Funktionswerte der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> addieren sich zu den Funktionswerten einer neuen Funktion <math>f(x) + g(x)</math>. Somit addieren sich auch die Flächeninhalte zwischen den Graphen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> und der x-Achse.
# Die Funktionswerte der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> addieren sich zu den Funktionswerten einer neuen Funktion <math>f(x) + g(x)</math>. Somit addieren sich auch die Flächeninhalte zwischen den Graphen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> und der x-Achse.
# Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der einzelnen Grenzwerte, falls die Grenzwerte existieren: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} \left( f(x_i)+g(x_i) \right) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} g(x_i) \cdot \Delta x</math>
# Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der einzelnen Grenzwerte, falls die Grenzwerte existieren: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} \left( f(x_i)+g(x_i) \right) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} g(x_i) \cdot \Delta x</math>
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Zur Schreibweise: <math>\sum</math> ist das Summenzeichen (großes griechisches Sigma), es gilt: <math>\sum_{i=0}^n f(x_i) = f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)</math>, d.h. der Index <math>i</math> durchläuft alle Zahlen von 0 (untere Summengrenze) bis <math>n</math> (obere Summengrenze). Es wird dann die Summe der einzelnen <math>f(x_i)</math> gebildet.
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{{Aufgaben-M|14|
{{Aufgaben-M|14|
Formuliere selbstst"andig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl <math>c</math> mit einer Funktion <math>f(x)</math> gebildet wird. Benutze dafür erneut  Geogebra, indem Du das Integral einer beliebigen Funktion <math>f(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\int_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst.
Formuliere selbstst"andig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl <math>c</math> mit einer Funktion <math>f(x)</math> gebildet wird. Benutze dafür erneut  Geogebra, indem Du das Integral einer beliebigen Funktion <math>f(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\int_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst, wobei <math>c</math> irgendeine reelle Zahl ist.
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Es gilt die '''Faktorregel für Integrale''': <br>
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\int_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x = c \cdot \int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x
</math>. <br>
Das Integral eines Produktes aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des konstanten Faktors und des Integrals der Funktion.
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{{Kastendesign1|
{{Kastendesign1|

Version vom 15. November 2009, 19:20 Uhr

Integrationsregeln

Im Folgenden wirst Du einige elementare Integrationsregeln kennenlernen, die Du beim Integrieren ständig benötigen wirst.
Vorlage:Aufgaben-M
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GeoGebra



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