Integralrechnung/Integrationsregeln: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Aufgaben-M|12|
{{Aufgaben-M|12|
Formuliere selbstst"andig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral einer Summe von Funktionen gebildet wird. Benutze dafür wieder die Software Geogebra, indem Du die Integrale der Funktionen <math>f(x)=3x^2</math> und <math>g(x)=4x</math> im Intervall <math>[2;6]</math> bestimmst und mit <math>\int_2^6 3x^2+4x \ \mathrm{d}x</math> vergleichst.
Formuliere selbstst"andig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral einer Summe von Funktionen gebildet wird. Benutze dafür wieder die Software Geogebra, indem Du die Integrale zweier beliebiger Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\int_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst.
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Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Intergale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert.
Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Intergale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert.
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{{Aufgaben-M|13|
Warum ist die Lösung von Aufgabe 12 plausibel?
# Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge!
# Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte!
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# Die Funktionswerte der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> addieren sich zu den Funktionswerten einer neuen Funktion <math>f(x) + g(x)</math>. Somit addieren sich auch die Flächeninhalte zwischen den Graphen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> und der x-Achse.
# Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der einzelnen Grenzwerte, falls die Grenzwerte existieren: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} \left( f(x_i)+g(x_i) \right) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} g(x_i) \cdot \Delta x</math>
}}}}
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{{Aufgaben-M|14|
Formuliere selbstst"andig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl <math>c</math> mit einer Funktion <math>f(x)</math> gebildet wird. Benutze dafür erneut  Geogebra, indem Du das Integral einer beliebigen Funktion <math>f(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\int_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst.
}}
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{{Kastendesign1|
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Version vom 15. November 2009, 19:06 Uhr

Integrationsregeln

Im Folgenden wirst Du einige elementare Integrationsregeln kennenlernen, die Du beim Integrieren ständig benötigen wirst.
Vorlage:Aufgaben-M
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GeoGebra



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