Integralrechnung/Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion

Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion

Wir wollen nun die Flächeninhaltsfunktion $F(x)$ zu einer gegebenen Funktion $f(x)$ bestimmen. Dies wollen wir aber nicht durch Einschachtelung mit Ober- und Untersumme tun, da dies hier zu umständlich wäre.

Stattdessen werden wir wieder die Vorteile von Geogebra nutzen. Im Folgenden sollst Du wieder mit Hilfe eines Applets zu gegebenen Funktionen $f(x)$ die Funktionsgraphen der jeweils gesuchten Flächeninhaltsfunktion zeichnen lassen.

Anhand der gefundenen Funktionen $F(x)$ sollst Du dann evtl. innerhalb einer Gruppe die Funktionsvorschriften von $f(x)$ und $F(x)$ jeweils einander gegenüberstellen und versuchen, einen Zusammenhang zwischen beiden zu entdecken.

Aufgabe 8

In unterem Geogebra-Applet siehst Du den Graphen der Funktion $f(x)=x^{2}$ in blau gezeichnet und denjenigen der zugehörigen Flächeninhaltsfunktion in rot.

Gib nun die Funktionsvorschrift einer neuen Funktion $f(x)$ in der Eingabezeile des Geogebra-Applets ein, der Graph der neuen Flächeninhaltsfunktion wird automatisch gezeichnet und die Funktionsvorschrift angezeigt.

Notiere Dir so lange in einer tabellarischen Gegenüberstellung die Funktionsterme von $f(x)$ und $F(x)$ bis Du einen Zusammenhang erkennst. Welchen?

$f(x)=7x$
$f(x)=3x^{5}+4$
$f(x)=x^{2}-3x+2$
$f(x)=8$
$f(x)=0$
$f(x)=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+x-2$
Denke Dir weitere Funktionen selbst aus!

TIPP: Wenn Dir die Kommazahlen, die Geogebra anzeigt, Schwierigkeiten bereiten, dann schreibe sie in naheliegende Brüche um!

$F(x)={\frac {7}{2}}\ x^{2}$
$F(x)={\frac {1}{2}}\ x^{6}+4x$
$F(x)={\frac {1}{3}}\ x^{3}-{\frac {3}{2}}\ x^{2}+2x$
$F(x)=8x$
$F(x)=0$
$F(x)={\frac {1}{5}}\ x^{5}-{\frac {3}{4}}\ x^{4}+{\frac {2}{3}}\ x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{2}-2x$

Die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion ist jeweils gleich der Ausgangsfunktion

f(x)

. Es gilt:

F\ '(x)=f(x)

.

Stammfunktion