Integralrechnung/Bestimmtes Integral: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben-M|4|Berechne wieder mit Geogebra das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen, indem Du zuerst die Funktion <math>f(x)</math>, die Intervallgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> und dann den Befehl "A <math>=</math> Integral[f,a,b]" eingibst. Das Ergebnis wird Dir als Zahl "A" in der markierten Fläche und links im Algebra-Fenster angezeigt. | {{Aufgaben-M|4|Berechne wieder mit Geogebra (eingebettetes Applet, installierte Version auf Deinem Gerät oder [https://www.geogebra.org geogebra.org]) das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen, indem Du zuerst die Funktion <math>f(x)</math>, die Intervallgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> und dann den Befehl "A <math>=</math> Integral[f,a,b]" eingibst. Das Ergebnis wird Dir als Zahl "A" in der markierten Fläche und links im Algebra-Fenster angezeigt. | ||
Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern. | Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern. | ||
Version vom 8. November 2016, 16:21 Uhr
Das bestimmte Integral
Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche unter dem Graphen einer Funktion im Intervall immer durch die Obersumme und die Untersumme (jeweils bestehend aus Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann:
Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung:
Nun ist es Zeit für eine wichtige Definition:
Vorlage:Kastendesign1
Das Integralzeichen stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d" ist ein sog. Differential und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe.
Die Zahlen und sind die Grenzen des Integrals. ist die untere Grenze, die obere Grenze.
Die Funktion , also alles, was unter dem Integral steht (alles außer d), wird Integrand genannt.
Zwischen dem Integranden und dem Differential d steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte und deren Breite durch das Differential d gegeben sind.
ist dann der Flächeninhalt (Höhe Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!
Berechnung des bestimmten Integrals von Hand
An dieser Stelle sollst Du einmal das bestimmte Integral anhand eines einfachen Beispiels selbst von Hand berechnen. Dies ist nicht einfach und kann in jedem Fall auch in Zusammenarbeit innerhalb einer Gruppe geschehen!
Die Berechnung soll Dir aber einen vertiefenden Einblick in die Berechnung des bestimmten Integrals geben und Dir verdeutlichen, dass einfache Regeln zur Integration (Berechnung eines Integrals) eine wirkliche Vereinfachung darstellen.
Die folgenden beiden Arbeitsblätter unterliegen einer public domain Lizenz und sind somit zum freien Gebrauch für Jedermann zugelassen.
Das erste Arbeitsblatt ist zur Bearbeitung durch Ausfüllen der Lücken gedacht, während die Information zu quadratischen Funktionen dem reinen Durcharbeiten dient.
