Integralrechnung/Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral

Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche $A$ unter dem Graphen einer Funktion $f(x)$ im Intervall $[a;b]$ immer durch die Obersumme $O_n$ und die Untersumme $U_n$ (jeweils bestehend aus $n$ Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann:

$U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n$

Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für $n \to \infty$ wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung:

$\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A$

Nun ist es Zeit für eine wichtige Definition: Vorlage:Kastendesign1

Merke

Das Integralzeichen stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d$x$" ist ein sog. Differential und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe.
Die Zahlen $a$ und $b$ sind die Grenzen des Integrals. $a$ ist die untere Grenze, $b$ die obere Grenze.
Die Funktion $f(x)$, also alles, was unter dem Integral steht (alles außer d$x$), wird Integrand genannt.
Zwischen dem Integranden $f(x)$ und dem Differential d$x$ steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte $f(x)$ und deren Breite durch das Differential d$x$ gegeben sind.
$f(x) \cdot \mathrm{d}x$ ist dann der Flächeninhalt (Höhe $\cdot$ Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!

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Vorlage:Lösung

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Berechnung des bestimmten Integrals von Hand

An dieser Stelle sollst Du einmal das bestimmte Integral anhand eines einfachen Beispiels selbst von Hand berechnen. Dies ist nicht einfach und kann in jedem Fall auch in Zusammenarbeit innerhalb einer Gruppe geschehen!
Die Berechnung soll Dir aber einen vertiefenden Einblick in die Berechnung des bestimmten Integrals geben und Dir verdeutlichen, dass einfache Regeln zur Integration (Berechnung eines Integrals) eine wirkliche Vereinfachung darstellen.
Die folgenden beiden Arbeitsblätter unterliegen einer public domain Lizenz und sind somit zum freien Gebrauch für Jedermann zugelassen.
Das erste Arbeitsblatt ist zur Bearbeitung durch Ausfüllen der Lücken gedacht, während das zweite Arbeitsblatt dem reinen Durcharbeiten dient.

1. Vorlage:Pdf-extern
2. Vorlage:Pdf-extern

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