Integralrechnung/Bestimmtes Integral: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}
==Das bestimmte Integral==
==Das bestimmte Integral==
Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen einer Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> immer durch die Obersumme <math>O_n</math> und die Untersumme <math>U_n</math> (jeweils bestehend aus <math>n</math> Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann: <br><br>
Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen einer Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> immer durch die Obersumme <math>O_n</math> und die Untersumme <math>U_n</math> (jeweils bestehend aus <math>n</math> Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann:
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<math>U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n</math> </div> <br><br>
<math>U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n</math> </div> <br>
Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für <math>n \to \infty</math> wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung: <br><br>
Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für <math>n \to \infty</math> wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung: <br><br>
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<math>\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A</math>
<math>\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A</math>
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Nun ist es Zeit für eine wichtige Definition:
 
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BACKGROUND = #AADDAA|
Die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen der Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> nennt man das '''bestimmte Integral''' von <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>, in Zeichen: <br>
BREITE =100%|
INHALT= Die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen der Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> nennt man das '''bestimmte Integral''' von <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>, in Zeichen: <br>
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Diese Definition ist zunächst vorläufig und wird im Folgenden noch um einen wichtigen Punkt erweitert werden.
Diese Definition ist zunächst vorläufig und wird im Folgenden noch um einen wichtigen Punkt erweitert werden.
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|3=Hervorhebung1}}
BILD=Nuvola_Icon_Kate.png|
 
ÜBERSCHRIFT=Definition|
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{{Merke-M|
{{Box|1=Merke|2=
Das Integralzeichen stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d<math>x</math>" ist ein sog. ''Differential'' und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe. <br>
Das Integralzeichen stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d<math>x</math>" ist ein sog. ''Differential'' und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe. <br>
Die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> sind die ''Grenzen des Integrals''. <math>a</math> ist die '''untere Grenze''', <math>b</math> die '''obere Grenze'''. <br>
Die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> sind die ''Grenzen des Integrals''. <math>a</math> ist die '''untere Grenze''', <math>b</math> die '''obere Grenze'''. <br>
Die Funktion <math>f(x)</math>, also alles, was ''unter'' dem Integral steht (alles außer d<math>x</math>), wird '''Integrand''' genannt. <br>
Die Funktion <math>f(x)</math>, also alles, was ''unter'' dem Integral steht (alles außer d<math>x</math>), wird '''Integrand''' genannt. <br>
Zwischen dem Integranden <math>f(x)</math> und dem Differential d<math>x</math> steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte <math>f(x)</math> und deren Breite durch das Differential d<math>x</math> gegeben sind. <br>
Zwischen dem Integranden <math>f(x)</math> und dem Differential d<math>x</math> steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte <math>f(x)</math> und deren Breite durch das Differential d<math>x</math> gegeben sind.
 
<math>f(x) \cdot \mathrm{d}x</math> ist dann der Flächeninhalt (Höhe <math>\cdot</math> Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!
<math>f(x) \cdot \mathrm{d}x</math> ist dann der Flächeninhalt (Höhe <math>\cdot</math> Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!
}}
|3=Merksatz}}
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{{Aufgaben-M|4|Berechne wieder mit Geogebra das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen, indem Du zuerst die Funktion <math>f(x)</math>, die Intervallgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> und dann den Befehl "A <math>=</math> Integral[f,a,b]" eingibst. Das Ergebnis wird Dir als Zahl "A" in der markierten Fläche und links im Algebra-Fenster angezeigt. <br>
 
{{Box|1=Aufgabe 4|2=
Berechne wieder mit Geogebra (eingebettetes Applet, installierte Version auf Deinem Gerät oder [https://www.geogebra.org geogebra.org]) das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen, indem Du zuerst die Funktion <math>f(x)</math>, die Intervallgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> und dann den Befehl "A <math>=</math> Integral[f,a,b]" eingibst. Das Ergebnis wird Dir als Zahl "A" in der markierten Fläche und links im Algebra-Fenster angezeigt.
 
Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern.
Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern.
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# <math>f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^2 + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
# <math>f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^2 + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
# <math>f(x)= \sqrt{x}</math> im Intervall <math>[0;8]</math>
# <math>f(x)= \sqrt{x}</math> im Intervall <math>[0;8]</math>
# <math>f(x)= x^3 - \frac{1}{5} \cdot x^2 - 2 \cdot x + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
# <math>f(x)= x^3 - \frac{1}{5} \cdot x^2 - 2 \cdot x + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
}}
|3=Arbeitsmethode}}
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<ggb_applet height="600" width="600" useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" />
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
{{Lösung versteckt|1=
# A <math>=</math> 7
# A <math>=</math> 7
# A <math>=</math> 15.08
# A <math>=</math> 15.08
# A <math>=</math> 6.15
# A <math>=</math> 6.15
}}}}
}}
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{{Aufgaben-M|5|
{{Box|1=Aufgabe 5|2=
Im Applet unten sollst Du folgende Aufgaben bearbeiten:
Im Applet unten sollst Du folgende Aufgaben bearbeiten:
# Verschiebe den Graphen der Funktion mit der Maus so, dass das bestimmte Integral (also die Fläche <math>A</math>) negativ wird. Wann passiert das? Was bedeutet das?
# Verschiebe den Graphen der Funktion mit der Maus so, dass das bestimmte Integral (also die Fläche <math>A</math>) negativ wird. Wann passiert das? Was bedeutet das?
# Verschiebe nun den Graphen und die Intervallgrenzen so, dass der Wert des Integrals 0 wird. Welche Bedingung ist dann erfüllt? Gibt es dafür mehrere Möglichkeiten? Was bedeutet dieser zu 0 gewordene Flächeninhalt?
# Verschiebe nun den Graphen und die Intervallgrenzen so, dass der Wert des Integrals 0 wird. Welche Bedingung ist dann erfüllt? Gibt es dafür mehrere Möglichkeiten? Was bedeutet dieser zu 0 gewordene Flächeninhalt?
# Offensichtlich gibt es einen Unterschied zwischen dem bestimmten Integral und dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Worin liegt dieser Unterschied? Wann sind beide gleich?
# Offensichtlich gibt es einen Unterschied zwischen dem bestimmten Integral und dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Worin liegt dieser Unterschied? Wann sind beide gleich?
}}
|3=Arbeitsmethode}}
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<center><ggb_applet id="zJr5DWGA" width="600" height="400" border="888888" /></center>
<ggb_applet height="400" width="600" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="best_integral.ggb" />
{{Lösung versteckt|1=
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# Das bestimmte Integral wird negativ, wenn die markierte Fläche unter der x-Achse größer wird als diejenige über der x-Achse. Dies bedeutet, dass Flächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen zugeschrieben wird. Man spricht dann von '''orientierten Flächeninhalten'''. Solche über der x-Achse sind positiv orientiert, diejenigen unter der x-Achse negativ orientiert.
# Das bestimmte Integral wird negativ, wenn die markierte Fläche unter der x-Achse größer wird als diejenige über der x-Achse. Dies bedeutet, dass Flächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen zugeschrieben wird. Man spricht dann von '''orientierten Flächeninhalten'''. Solche über der x-Achse sind positiv orientiert, diejenigen unter der x-Achse negativ orientiert.
# Die Fläche über der x-Achse ist genauso groß wie diejenige unter der x-Achse. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dafür. Der zu 0 gewordene Flächeninhalt bedeutet, dass sich die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse gegenseitig "ausgleichen" oder "aufheben" können.
# Die Fläche über der x-Achse ist genauso groß wie diejenige unter der x-Achse. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dafür. Der zu 0 gewordene Flächeninhalt bedeutet, dass sich die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse gegenseitig "ausgleichen" oder "aufheben" können.
# Das bestimmte Integral ist die Summe der orientierten Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse in den jeweiligen Grenzen, d.h. die Flächeninhalte oberhalb der x-Achse werden mit einem positiven Vorzeichen versehen und zu denjenigen unterhalb der x-Achse (mit einem negativen Vorzeichen versehen) addiert. Bestimmtes Integral sowie Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse sind dann gleich, wenn nur positiv orientierte Flächeninhalte existieren.
# Das bestimmte Integral ist die Summe der orientierten Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse in den jeweiligen Grenzen, d.h. die Flächeninhalte oberhalb der x-Achse werden mit einem positiven Vorzeichen versehen und zu denjenigen unterhalb der x-Achse (mit einem negativen Vorzeichen versehen) addiert. Bestimmtes Integral sowie Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse sind dann gleich, wenn nur positiv orientierte Flächeninhalte existieren.
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Die folgenden beiden Arbeitsblätter unterliegen einer public domain Lizenz und sind somit zum freien Gebrauch für Jedermann zugelassen. <br>
Die folgenden beiden Arbeitsblätter unterliegen einer public domain Lizenz und sind somit zum freien Gebrauch für Jedermann zugelassen. <br>
Das erste Arbeitsblatt ist zur Bearbeitung durch Ausfüllen der Lücken gedacht, während die Information zu quadratischen Funktionen dem reinen Durcharbeiten dient.
Das erste Arbeitsblatt ist zur Bearbeitung durch Ausfüllen der Lücken gedacht, während die Information zu quadratischen Funktionen dem reinen Durcharbeiten dient.
# {{pdf-extern|http://www.geogebra.org/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_linFkt.pdf|Arbeitsblatt lineare Funktion}}
 
# {{pdf-extern|http://www.geogebra.org/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_quadFkt.pdf|Information quadratische Funktion}}
#{{pdf|http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_linFkt.pdf|Arbeitsblatt lineare Funktion}}
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#{{pdf|http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_quadFkt.pdf|Information quadratische Funktion}}
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[[Mathematik-digital/Integral/Flächen bestimmen|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[Mathematik-digital/Integral/Flächeninhaltsfunktion|>>Weiter>>]]
 
</div>
{{Fortsetzung|weiter=Flächeninhaltsfunktion|weiterlink=Integral/Flächeninhaltsfunktion}}
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{{Navigation Lernpfad Integral}}
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Aktuelle Version vom 7. Mai 2022, 05:37 Uhr

Das bestimmte Integral

Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche unter dem Graphen einer Funktion im Intervall immer durch die Obersumme und die Untersumme (jeweils bestehend aus Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann:


Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung:


Definition

Die Fläche unter dem Graphen der Funktion im Intervall nennt man das bestimmte Integral von in den Grenzen und , in Zeichen:

Diese Definition ist zunächst vorläufig und wird im Folgenden noch um einen wichtigen Punkt erweitert werden.



Merke

Das Integralzeichen stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d" ist ein sog. Differential und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe.
Die Zahlen und sind die Grenzen des Integrals. ist die untere Grenze, die obere Grenze.
Die Funktion , also alles, was unter dem Integral steht (alles außer d), wird Integrand genannt.
Zwischen dem Integranden und dem Differential d steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte und deren Breite durch das Differential d gegeben sind.

ist dann der Flächeninhalt (Höhe Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!


Aufgabe 4

Berechne wieder mit Geogebra (eingebettetes Applet, installierte Version auf Deinem Gerät oder geogebra.org) das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen, indem Du zuerst die Funktion , die Intervallgrenzen und und dann den Befehl "A Integral[f,a,b]" eingibst. Das Ergebnis wird Dir als Zahl "A" in der markierten Fläche und links im Algebra-Fenster angezeigt.

Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern.

  1. im Intervall
  2. im Intervall
  3. im Intervall
GeoGebra
  1. A 7
  2. A 15.08
  3. A 6.15



Aufgabe 5

Im Applet unten sollst Du folgende Aufgaben bearbeiten:

  1. Verschiebe den Graphen der Funktion mit der Maus so, dass das bestimmte Integral (also die Fläche ) negativ wird. Wann passiert das? Was bedeutet das?
  2. Verschiebe nun den Graphen und die Intervallgrenzen so, dass der Wert des Integrals 0 wird. Welche Bedingung ist dann erfüllt? Gibt es dafür mehrere Möglichkeiten? Was bedeutet dieser zu 0 gewordene Flächeninhalt?
  3. Offensichtlich gibt es einen Unterschied zwischen dem bestimmten Integral und dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Worin liegt dieser Unterschied? Wann sind beide gleich?
GeoGebra
  1. Das bestimmte Integral wird negativ, wenn die markierte Fläche unter der x-Achse größer wird als diejenige über der x-Achse. Dies bedeutet, dass Flächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen zugeschrieben wird. Man spricht dann von orientierten Flächeninhalten. Solche über der x-Achse sind positiv orientiert, diejenigen unter der x-Achse negativ orientiert.
  2. Die Fläche über der x-Achse ist genauso groß wie diejenige unter der x-Achse. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dafür. Der zu 0 gewordene Flächeninhalt bedeutet, dass sich die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse gegenseitig "ausgleichen" oder "aufheben" können.
  3. Das bestimmte Integral ist die Summe der orientierten Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse in den jeweiligen Grenzen, d.h. die Flächeninhalte oberhalb der x-Achse werden mit einem positiven Vorzeichen versehen und zu denjenigen unterhalb der x-Achse (mit einem negativen Vorzeichen versehen) addiert. Bestimmtes Integral sowie Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse sind dann gleich, wenn nur positiv orientierte Flächeninhalte existieren.


Berechnung des bestimmten Integrals von Hand

An dieser Stelle sollst Du einmal das bestimmte Integral anhand eines einfachen Beispiels selbst von Hand berechnen. Dies ist nicht einfach und kann in jedem Fall auch in Zusammenarbeit innerhalb einer Gruppe geschehen!
Die Berechnung soll Dir aber einen vertiefenden Einblick in die Berechnung des bestimmten Integrals geben und Dir verdeutlichen, dass einfache Regeln zur Integration (Berechnung eines Integrals) eine wirkliche Vereinfachung darstellen.
Die folgenden beiden Arbeitsblätter unterliegen einer public domain Lizenz und sind somit zum freien Gebrauch für Jedermann zugelassen.
Das erste Arbeitsblatt ist zur Bearbeitung durch Ausfüllen der Lücken gedacht, während die Information zu quadratischen Funktionen dem reinen Durcharbeiten dient.

  1. Pdf20.gif Arbeitsblatt lineare Funktion
  2. Pdf20.gif Information quadratische Funktion