Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ergebnis und Ergebnismenge: Unterschied zwischen den Versionen

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| [[Datei:Idee-Icon.png|40px]] || Stelle dir vor, du spielst Mensch ärgere dich nicht und du benötigst eine 1 oder eine 2 beim Würfeln, um deine Figur ins Haus stellen zu können. Nun würfelst du.
{{Box||Stelle dir vor, du spielst Mensch ärgere dich nicht und du benötigst eine 1 oder eine 2 beim Würfeln, um deine Figur ins Haus stellen zu können. Nun würfelst du.
Notiere dir alle möglichen Ausgänge, die bei diesem Zufallsexperiment herauskommen können.  
Notiere dir alle möglichen Ausgänge, die bei diesem Zufallsexperiment herauskommen können.  


Ist es wahrscheinlicher, dass du deine Figur ins Haus stellen kannst oder dass es dir nicht gelingt? Begründe deine Antwort und tausche dich anschließend mit deiner Übungspartnerin/ mit deinem Übungspartner aus.
Ist es wahrscheinlicher, dass du deine Figur ins Haus stellen kannst oder dass es dir nicht gelingt? Begründe deine Antwort und tausche dich anschließend mit deiner Übungspartnerin/ mit deinem Übungspartner aus.|Unterrichtsidee }}
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= Was ist ein Ergebnis und eine Ergebnismenge? =
= Was ist ein Ergebnis und eine Ergebnismenge? =
Nun wisst ihr, was Zufallsexperiment sind. Zu jedem durchgeführten Zufallsexperiment gibt es ein Ergebnis und man kann eine Ergebnismenge, die alle möglichen Ergebnisse umfasst, angeben.
Ihr wisst nach dem vorigen Abschnitt, was Zufallsexperiment sind. Zu jedem durchgeführten Zufallsexperiment gibt es ein Ergebnis und man kann eine Ergebnismenge, die alle möglichen Ergebnisse umfasst, angeben.
Eine formale Definition von Ergebnis und Ergebnismenge lauten folgendermaßen:
Eine formale Definition von Ergebnis und Ergebnismenge lautet folgendermaßen:


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{{Box||Ein '''Ergebnis''' ist der (mögliche) Ausgang eines durchgeführten Zufallsexperiments.
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| [[Datei:Definition-Icon.png|50px]] || Ein '''Ergebnis''' ist der (mögliche) Ausgang eines durchgeführten Zufallsexperiments.


Die '''Ergebnismenge''' fasst '''alle möglichen Ausgänge''' eines Zufallsexperiments zusammen.
Die '''Ergebnismenge''' fasst '''alle möglichen Ausgänge''' eines Zufallsexperiments zusammen.
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<u>Schreibweise:</u>
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<math>\Omega=\{1,2,3\}</math>  Die Ergebnismenge ''Omega'' besteht aus den Ergebnissen 1,2 und 3.
<math>\Omega=\{1,2,3\}</math>  Die Ergebnismenge ''Omega'' besteht aus den Ergebnissen 1,2 und 3.| Hervorhebung2}}
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Im obrigen Gedankenspiel solltet ihr die Ergebnismenge beim Würfeln bestimmen. Nun könnt ihr die Ergebnismenge mathematisch richtig aufschreiben! Da nur die AUgenzahlen 1 und 2 zum Erfolg führen und es mehr Augenzahlen gibt, die keinen Erfolg bringen, ist es eher unwahrscheinlich, dass man die Figur ins Haus stellen kann.


= Beispiele für Ergebnisse und Ergebnismengen =
== Beispiele für Ergebnisse und Ergebnismengen ==
Nun wollen wir uns auch hier konkrete Beispiele anschauen:
Nun wollen wir uns auch hier konkrete Beispiele anschauen:
* Bei der Shuffle-Funktion ist das Ergebnis der Song, der gerade gespielt wird.
 
Bei der '''Shuffle-Funktion''' ist das Ergebnis der Song, der gerade gespielt wird.
:: Die Ergebnismenge ist: <math>\Omega= </math> {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Summer of Lies, Turn up the Volume, I’m Insane, Get it together, Wicked madness, Bad lies, Hard chance}
:: Die Ergebnismenge ist: <math>\Omega= </math> {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Summer of Lies, Turn up the Volume, I’m Insane, Get it together, Wicked madness, Bad lies, Hard chance}
* Bei dem Münzwurf ist das Ergebnis, die Seite der Münze, die beim Durchgang oben liegt.
Bei dem '''Münzwurf '''ist das Ergebnis, die Seite der Münze, die beim Durchgang oben liegt.
:: Die Ergebnismenge bei einem Münzwurf ist: <math>\Omega=</math> {Kopf, Zahl}
:: Die Ergebnismenge bei einem Münzwurf ist: <math>\Omega=</math> {Kopf, Zahl}


= Aufgaben =
== Aufgaben ==
== Aufgabe 1 ==
{{Box|1. Würfel und Glücksräder|
Trage alle Ergebismengen für folgende Zufallsexperimente zusammen:
Trage alle Ergebismengen für folgende Zufallsexperimente zusammen:
:a) Würfeln mit folgenden Würfeln:
:a) Würfeln mit folgenden Würfeln:
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:b) Man dreht folgende Glücksrader:  
:b) Man dreht folgende Glücksrader:  
::1) [[Datei:Gluecksrad8.png|200px]]
::1) [[Datei:Gluecksrad8.png|200px]]
::2) [[Datei:Gluecksrad6 gewinn.png|200px]]
::2) [[Datei:Gluecksrad6 gewinn.png|200px]]
:c) Man würfelt zwei sechsseitige Würfel und addiert anschließend die Augensumme der Würfel.
:c) Man würfelt zwei sechsseitige Würfel und addiert anschließend die Augensumme der Würfel.
 
{{Lösung versteckt|
 
'''a)'''Würfel mit acht Seiten: <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
<popup name="Lösung">
Würfel mit acht Seiten: <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8}


Würfel mit 20 Seiten: <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Würfel mit 20 Seiten: <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}


Das Glücksrad drehen:  
'''b)''':Das Glücksrad drehen:  
: 1) <math>\Omega=</math> {rot, blau, gelb, grün}
: 1) <math>\Omega=</math> {rot, blau, gelb, grün}
: 2) <math>\Omega=</math> {rot, orange/Hauptgewinn, gelb, grün, hellblau, dunkelblau}
: 2) <math>\Omega=</math> {rot, orange/Hauptgewinn, gelb, grün, hellblau, dunkelblau}


Die Augensumme bei einem Wurf mit zwei Würfeln: <math>\Omega=</math> {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
'''c)''':Die Augensumme bei einem Wurf mit zwei Würfeln: <math>\Omega=</math> {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
</popup>
}}
|Üben}}


== Aufgabe 2 ==
{{Box|2. Was könnte hier passiert sein?|
Beschreibe passende Zufallsexperimente für folgende Ergebnismengen:
Beschreibe passende Zufallsexperimente für folgende Ergebnismengen:
:a) <math>\Omega=</math> {Niete, kleiner Gewinn, mittlerer Gewinn, großer Gewinn}
:a) <math>\Omega=</math> {Niete, kleiner Gewinn, mittlerer Gewinn, großer Gewinn}
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:d) <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
:d) <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}


 
{{Lösung versteckt|
<popup name="Lösung">
'''Achtung:''' Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigenen Beispiele können und sollen ganz anders aussehen
'''Achtung:''' Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigenen Beispiele können und sollen ganz anders aussehen


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:'''d)''': Man zieht aus einer Urne mit 10 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 10 beschriftet sind.
:'''d)''': Man zieht aus einer Urne mit 10 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 10 beschriftet sind.
</popup>
}}
|Üben}}


== Aufgabe 3 ==
{{Box|3. Buntes Würfeln und Drehen|
Im Folgenden siehst du verschiedene Würfel(-netze) und Glücksräder. Schreibe zu den gegeben Zufallsexperimenten die Ergebnismenge des jeweiligen Würfels/Glücksrad auf:
Im Folgenden siehst du verschiedene Würfel(-netze) und Glücksräder. Schreibe zu den gegeben Zufallsexperimenten die Ergebnismenge des jeweiligen Würfels/Glücksrad auf:


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::1) Zuafllsexperiment: Man würfelt den Würfel einmal und betrachtet die Farbe als Ergebnis.
::1) Zuafllsexperiment: Man würfelt den Würfel einmal und betrachtet die Farbe als Ergebnis.
::2) Zufallsexperiment: Man würfelt und betrachtet die Augenzahl als Ergebnis.
::2) Zufallsexperiment: Man würfelt und betrachtet die Augenzahl als Ergebnis.
 
{{Lösung versteckt|
 
 
<popup name="Lösung">
'''Ergebnis zu a):'''
'''Ergebnis zu a):'''
::1) <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
::1) <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
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'''Ergebnis zu b):'''
'''Ergebnis zu b):'''
::1) <math>\Omega=</math> {violett, grün, gelb}
::1) <math>\Omega=</math> {violett, grün, gelb}
::2) <math>\Omega=</math> {(violett|violett), (violett|grün), (violett|gelb), (grün|grün), (grün|violett),(grün|gelb), (gelb|gelb), (gelb|violett), (gelb|grün)}
::2) <math>\Omega=</math> {(violett,violett), (violett,grün), (violett,gelb), (grün,grün), (grün,violett),(grün,gelb), (gelb,gelb), (gelb,violett), (gelb,grün)}


'''Ergebnis zu c):'''
'''Ergebnis zu c):'''
::1) <math>\Omega=</math> {pink, orange, hellblau}
::1) <math>\Omega=</math> {pink, orange, hellblau}
::2) <math>\Omega=</math> {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
::2) <math>\Omega=</math> {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
</popup>
}}
|Üben}}
 
 
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Version vom 23. November 2018, 13:07 Uhr

Zum Überlegen

Stelle dir vor, du spielst Mensch ärgere dich nicht und du benötigst eine 1 oder eine 2 beim Würfeln, um deine Figur ins Haus stellen zu können. Nun würfelst du. Notiere dir alle möglichen Ausgänge, die bei diesem Zufallsexperiment herauskommen können.

Ist es wahrscheinlicher, dass du deine Figur ins Haus stellen kannst oder dass es dir nicht gelingt? Begründe deine Antwort und tausche dich anschließend mit deiner Übungspartnerin/ mit deinem Übungspartner aus.


Was ist ein Ergebnis und eine Ergebnismenge?

Ihr wisst nach dem vorigen Abschnitt, was Zufallsexperiment sind. Zu jedem durchgeführten Zufallsexperiment gibt es ein Ergebnis und man kann eine Ergebnismenge, die alle möglichen Ergebnisse umfasst, angeben. Eine formale Definition von Ergebnis und Ergebnismenge lautet folgendermaßen:


Ein Ergebnis ist der (mögliche) Ausgang eines durchgeführten Zufallsexperiments.

Die Ergebnismenge fasst alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments zusammen.

Schreibweise:

Die Ergebnismenge Omega besteht aus den Ergebnissen 1,2 und 3.


Im obrigen Gedankenspiel solltet ihr die Ergebnismenge beim Würfeln bestimmen. Nun könnt ihr die Ergebnismenge mathematisch richtig aufschreiben! Da nur die AUgenzahlen 1 und 2 zum Erfolg führen und es mehr Augenzahlen gibt, die keinen Erfolg bringen, ist es eher unwahrscheinlich, dass man die Figur ins Haus stellen kann.

Beispiele für Ergebnisse und Ergebnismengen

Nun wollen wir uns auch hier konkrete Beispiele anschauen:

Bei der Shuffle-Funktion ist das Ergebnis der Song, der gerade gespielt wird.

Die Ergebnismenge ist: {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Summer of Lies, Turn up the Volume, I’m Insane, Get it together, Wicked madness, Bad lies, Hard chance}

Bei dem Münzwurf ist das Ergebnis, die Seite der Münze, die beim Durchgang oben liegt.

Die Ergebnismenge bei einem Münzwurf ist: {Kopf, Zahl}

Aufgaben

1. Würfel und Glücksräder

Trage alle Ergebismengen für folgende Zufallsexperimente zusammen:

a) Würfeln mit folgenden Würfeln:
1) D8.jpg
2) D20 - blauer Würfel.jpg
b) Man dreht folgende Glücksrader:
1) Gluecksrad8.png
2) Gluecksrad6 gewinn.png
c) Man würfelt zwei sechsseitige Würfel und addiert anschließend die Augensumme der Würfel.

a)Würfel mit acht Seiten: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Würfel mit 20 Seiten: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

b):Das Glücksrad drehen:

1) {rot, blau, gelb, grün}
2) {rot, orange/Hauptgewinn, gelb, grün, hellblau, dunkelblau}

c):Die Augensumme bei einem Wurf mit zwei Würfeln: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}


2. Was könnte hier passiert sein?

Beschreibe passende Zufallsexperimente für folgende Ergebnismengen:

a) {Niete, kleiner Gewinn, mittlerer Gewinn, großer Gewinn}
b) {Song 1, Song 2, Song 3, Song 4}
c) {weiß, schwarz, rot, blau}
d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Achtung: Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigenen Beispiele können und sollen ganz anders aussehen

a): Man zieht aus einer Lostrommel, die Nieten, kleine, mittlere und große Gewinne enthält.
b): Man drückt auf die zufällige Wiedergabe bei einer Playliste, die nur 4 Songs enthält.
c): Man dreht ein Glücksrad, dass vier Sektoren enthält in den Farben weiß, schwarz, rot und blau.
d): Man zieht aus einer Urne mit 10 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 10 beschriftet sind.


3. Buntes Würfeln und Drehen

Im Folgenden siehst du verschiedene Würfel(-netze) und Glücksräder. Schreibe zu den gegeben Zufallsexperimenten die Ergebnismenge des jeweiligen Würfels/Glücksrad auf:

a) D12 - orangener Würfel.jpg
1) Zufallsexperiment: Man würfelt den Würfel einmal.
2) Zufalsexperiment: Man würfelt den Würfel zweimal und subtrahiert die kleinere Augenzahl von der größeren.
b) Gluecksrad6.png
1) Zufallsexperiment: Man dreht das Glücksrad einmal
2) Zufallsexperiment: Man dreht das Glücksrad zweimal hintereinander und notiert die beiden Ergebnisse in der aufgetretenen Reihenfolge.
c) Dodeca.png
1) Zuafllsexperiment: Man würfelt den Würfel einmal und betrachtet die Farbe als Ergebnis.
2) Zufallsexperiment: Man würfelt und betrachtet die Augenzahl als Ergebnis.

Ergebnis zu a):

1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Ergebnis zu b):

1) {violett, grün, gelb}
2) {(violett,violett), (violett,grün), (violett,gelb), (grün,grün), (grün,violett),(grün,gelb), (gelb,gelb), (gelb,violett), (gelb,grün)}

Ergebnis zu c):

1) {pink, orange, hellblau}
2) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}