Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ereignis: Unterschied zwischen den Versionen

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= Definition=
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Es gibt neben Ergebnis und Ergebnismenge auch noch Ereignisse, die sehr wichtig bei den Zufallsexperimenten sind. Die Definiton ist etwas komplexer, aber die folgenden Beispiele sollen euch den Begriff verdeutlichen.


{| class="hintergrundfarbe3"
== Was ist ein Ereignis?==
|-
Es gibt neben Ergebnis und Ergebnismenge auch noch Ereignisse, die sehr wichtig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind. Den Ereignissen werden später die Wahrscheinlichkeiten zugeordnet.
| [[Datei:Definition-Icon.png|50px]] || Ein '''Ereignis''' ist eine Möglichkeit, wie ein Zufallsexperiment ausgehen kann. Daher bestehen Ereignisse aus einem oder mehreren Ergebnissen des Zufallsexperiments.
 
{{Box|1=|2=Ein '''Ereignis''' ist eine Möglichkeit, wie ein Zufallsexperiment ausgehen kann. Daher bestehen Ereignisse aus einem oder mehreren Ergebnissen des Zufallsexperiments.
Ein Ereignis ist also eine Teilmenge der Ergebnismenge.  
Ein Ereignis ist also eine Teilmenge der Ergebnismenge.  


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Wir benennen ein Ereignis mit einem Großbuchstaben und schreiben dann die Definition des Ereignisses hin:
Wir benennen ein Ereignis mit einem Großbuchstaben und schreiben dann die Definition des Ereignisses hin:


E: "Die Songs von Fiana Lovelace", als Menge werden dann alle passende Ergebnisse gesammelt
E: "Die Songs von Fiana Lovelace", in der Ereignismenge werden dann alle passende Ergebnisse gesammelt
E = {...}
E= {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Wicked madness}|3=Hervorhebung2}}
|}


Es gibt noch drei besondere Ereignisse:
 
<u>Es gibt drei besondere Ereignisse:</u>


Wenn ein Ereignis nur ein Ergebnis in der Menge enthält, dann nennt man es ein '''Elementarereignis'''.
Wenn ein Ereignis nur ein Ergebnis in der Menge enthält, dann nennt man es ein '''Elementarereignis'''.
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Wenn ein Ereignis kein Ergebnis enthält, dann nennt man es ein '''unmögliches Ereignis'''.
Wenn ein Ereignis kein Ergebnis enthält, dann nennt man es ein '''unmögliches Ereignis'''.


= Beispiele =
== Beispiele für Ereignisse ==
Die folgenden Beispiele sollen verdeutlichen, was Ereignisse nun wirkloch sind. Denn so kompliziert ist das eigentlich gar nicht:
Die folgenden Beispiele sollen verdeutlichen, was Ereignisse nun wirklich sind. Denn so kompliziert ist das eigentlich gar nicht:
* Bei der Shuffle Funktion kann man beispielsweise folgende Ereignisse festlegen:
 
Bei der '''Shuffle Funktion '''kann man beispielsweise folgende Ereignisse festlegen:
:* E1: "alle Lieder, die von Fiana Lovelace sind" : E1 = {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Wicked madness}
:* E1: "alle Lieder, die von Fiana Lovelace sind" : E1 = {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Wicked madness}
:* E2: "alle Lieder, die mit R beginnen" : E2 = { } -> Dies ist ein '''unmögliches Ereignis'''
:* E2: "alle Lieder, die mit R beginnen" : E2 = { } -> Dies ist ein '''unmögliches Ereignis'''
:* E3: "alle Lieder, die '''nicht''' von Mr. Regret sind" : E3 = {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Summer of Lies, Turn up the Volume, I’m Insane, Wicked madness, Hard chance}
:* E3: "alle Lieder, die '''nicht''' von Mr. Regret sind" : E3 = {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Summer of Lies, Turn up the Volume, I’m Insane, Wicked madness, Hard chance}
:* es gibt noch viele Ereignisse, die man betrachten könnte. Je nachdem, was für den Betrachter des Zufallsexperiments interessant ist - es gibt da keine Grenzen
:* es gibt noch viele Ereignisse, die man betrachten könnte. Je nachdem, was für den Betrachter des Zufallsexperiments interessant ist - es gibt da keine Grenzen!


 
[[Datei:Würfelbecher.jpg|180px]]
* Bei einem Würfelwurf könnte man folgende Ereignisse betrachten:
Bei einem '''Würfelwurf''' könnte man folgende Ereignisse betrachten:
:* E1: "Die Zahl liegt zwischen 1 und 6" : E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} -> Dies ist ein '''sicheres Ereignis'''
:* E1: "Die Zahl liegt zwischen 1 und 6" : E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} -> Dies ist ein '''sicheres Ereignis'''
:* E2: "Die Zahl ist kleiner oder gleich 2" : E2 = {1, 2}
:* E2: "Die Zahl ist 1 '''oder''' 2" : E2 = {1, 2}
:* E3: "Die Zahl ist 4 " : E3 = {4} -> Dies ist ein '''Elementarereignis'''
:* E3: "Die Zahl ist 4 " : E3 = {4} -> Dies ist ein '''Elementarereignis'''
:* E4: "Die Zahl ist gerade '''und''' größer als 3" : E4 = {4, 6}


Es ist wichtig, dass es wirklich sehr viele Möglichkeiten gibt Ereignisse zu einem bestimmten Zufallsexperiment zu definieren. Je nachdem, was man betrachten möchte, formuliert man ein passendes Ereignis und überlegt sich, welche Ergebnisse zu dem Ereignis passen.
Es ist wichtig, dass es wirklich sehr viele Möglichkeiten gibt, Ereignisse zu einem bestimmten Zufallsexperiment zu definieren. Je nachdem, was man betrachten möchte, formuliert man ein passendes Ereignis und überlegt sich, welche Ergebnisse zu dem Ereignis passen.


= Aufgaben =
== Aufgaben ==
== Aufgabe 1: ==
{{Box|1. Ereignismengen bei bunten Experimenten|
Schreibe die Ereignismengen zu den folgenden Ereignissen auf:
Schreibe die Ereignismengen zu den folgenden Ereignissen auf:
:a) Bei einem Würfelwurf fällt eine ungerade Zahl
:a) A: Bei einem Würfelwurf fällt eine ungerade Zahl
:b) ...
:b) B: Beim Roulette wird kein schwarzes '''und''' kein rotes Feld getroffen
:c) ....
:c) C: Alle möglichen Geburtstage einer Person, die im Monat Februar stattfinden '''und''' nach dem 29. Februar sind.
:d) .....
:d) D: Aus einem Skat-Kartenspiel (32 Karten) wird eine Herz-Karte gezogen '''oder''' ein Ass gezogen
:e) E: Beim Würfeln fällt '''nicht''' eine Zahl größer 3
{{Lösung versteckt|1=
:a) A = {1, 3, 5}
:b) B = {Null}
:c) C = { }
:d) D = {Herz-7, Herz-8, Herz-9, Herz-10, Herz-Bube, Herz-Dame, Herz-König, Herz-Ass, Karo-Ass, Pik-Ass, Kreuz-Ass}
:e) E = {1, 2, 3}
}}
|Üben}}


 
{{Box|1=2. Was kann hier hinter stecken?|2=
<popup name="Lösung">
 
</popup>
== Aufgabe 2: ==
Formuliere ein passendes Ereignis zu den folgenden Ereignismengen bei einem Würfelwurf auf:
Formuliere ein passendes Ereignis zu den folgenden Ereignismengen bei einem Würfelwurf auf:
:a) A = {1, 2, 3}
:a) A = {1, 2, 3}
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:d) D = {5, 6}
:d) D = {5, 6}
:e) E = {6}
:e) E = {6}
 
{{Lösung versteckt|
 
<popup name="Lösung">
'''Achtung:''' Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen
'''Achtung:''' Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen
:a) A: "Es fällt eine Zahl kleiner 4"
:b) B: "Es fällt eine gerade Zahl"
:c) C: "Es fällt eine ungerade Zahl"
:d) D: "Es fällt eine Zahl, die größer oder gleich 5 ist"
:e) E: "Es fällt die Zahl 6"
}}
|3=Üben}}


a) A: "Es fältt eine Zahl kleiner 4"
{{Box|3. Aus der Urne ziehen|
 
Gegeben ist folgende Urne, die mit farbigen und nummerierten Kugeln gefüllt ist:
b) B: "Es fällt eine gerade Zahl"
 
c) C: "Es fällt eine ungerade Zahl"


d) D: "Es fällt eine Zahl, die größer oder gleich 5 ist"
[[Datei:Urn10.png|200px]]
 
e) E: "Es fällt die Zahl 6"
</popup>
 
== Aufgabe 3: ==
Gegeben ist folgende Urne, die mit farbigen Kugeln gefüllt ist:
 
BILD


Als Zufallsexperiment zieht man eine Kugel aus der Urne. Formuliere Ereignisse, die folgende Eigenschaften erfüllen:
Als Zufallsexperiment zieht man eine Kugel aus der Urne. Formuliere Ereignisse, die folgende Eigenschaften erfüllen:
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:d) Die Ereignismenge umfasst 6 Ergebnisse
:d) Die Ereignismenge umfasst 6 Ergebnisse
:e) Die Ereignismenge umfasst 1 Ergebniss
:e) Die Ereignismenge umfasst 1 Ergebniss
 
{{Lösung versteckt|
 
<popup name="Lösung">
'''Achtung:''' Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen  
'''Achtung:''' Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen  
 
:a) A: "Die Zahl der gezogenen Kugel ist durch drei teilbar", dann ist die Ereignismenge von A: {3, 6, 9}
:a) A: "Es fällt eine gerade Zahl", dann ist die Ereignismenge von A: {2, 4, 6}
:b) B: "Es wird eine weiße Kugel gezogen", dann ist die Ereignismenge von B: { }
 
:b) B: "Es fällt eine Zahl, die größer als sechs ist", dann ist die Ereignismenge von B: { }
 
:c) C: "Es fällt eine Zahl, die kleiner als fünf ist", dann ist die Ereignismenge von C: {1, 2, 3, 4}
:c) C: "Es fällt eine Zahl, die kleiner als fünf ist", dann ist die Ereignismenge von C: {1, 2, 3, 4}
:d) D: "Es wird eine Zahl zwischen eins und sechs gezogen", dann ist die Ereignismenge von D: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
:e) E: "Es wird eine gelbe Kugel gezogen", dann ist die Ereignismenge von E: {10}
}}
|Üben}}


:d) D: "Es fällt eine Zahl zwischen eins und sechs", dann ist die Ereignismenge von D: {1, 2, 3, 4, 5, 6}


:e) E: "Es fällt die Zahl drei", dann ist die Ereignismenge von E: {3}
{{Fortsetzung|weiter=Wahrscheinlichkeiten|weiterlink=../Wahrscheinlichkeit}}




</popup>
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Aktuelle Version vom 15. Mai 2020, 08:47 Uhr

Was ist ein Ereignis?

Es gibt neben Ergebnis und Ergebnismenge auch noch Ereignisse, die sehr wichtig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind. Den Ereignissen werden später die Wahrscheinlichkeiten zugeordnet.


Ein Ereignis ist eine Möglichkeit, wie ein Zufallsexperiment ausgehen kann. Daher bestehen Ereignisse aus einem oder mehreren Ergebnissen des Zufallsexperiments. Ein Ereignis ist also eine Teilmenge der Ergebnismenge.

Schreibweise:

Wir benennen ein Ereignis mit einem Großbuchstaben und schreiben dann die Definition des Ereignisses hin:

E: "Die Songs von Fiana Lovelace", in der Ereignismenge werden dann alle passende Ergebnisse gesammelt

E= {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Wicked madness}


Es gibt drei besondere Ereignisse:

Wenn ein Ereignis nur ein Ergebnis in der Menge enthält, dann nennt man es ein Elementarereignis.

Wenn ein Ereignis alle Ergebnisse enthält, dann nennt man es ein sicheres Ereignis.

Wenn ein Ereignis kein Ergebnis enthält, dann nennt man es ein unmögliches Ereignis.

Beispiele für Ereignisse

Die folgenden Beispiele sollen verdeutlichen, was Ereignisse nun wirklich sind. Denn so kompliziert ist das eigentlich gar nicht:

Bei der Shuffle Funktion kann man beispielsweise folgende Ereignisse festlegen:

  • E1: "alle Lieder, die von Fiana Lovelace sind" : E1 = {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Wicked madness}
  • E2: "alle Lieder, die mit R beginnen" : E2 = { } -> Dies ist ein unmögliches Ereignis
  • E3: "alle Lieder, die nicht von Mr. Regret sind" : E3 = {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Summer of Lies, Turn up the Volume, I’m Insane, Wicked madness, Hard chance}
  • es gibt noch viele Ereignisse, die man betrachten könnte. Je nachdem, was für den Betrachter des Zufallsexperiments interessant ist - es gibt da keine Grenzen!

Würfelbecher.jpg Bei einem Würfelwurf könnte man folgende Ereignisse betrachten:

  • E1: "Die Zahl liegt zwischen 1 und 6" : E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} -> Dies ist ein sicheres Ereignis
  • E2: "Die Zahl ist 1 oder 2" : E2 = {1, 2}
  • E3: "Die Zahl ist 4 " : E3 = {4} -> Dies ist ein Elementarereignis
  • E4: "Die Zahl ist gerade und größer als 3" : E4 = {4, 6}

Es ist wichtig, dass es wirklich sehr viele Möglichkeiten gibt, Ereignisse zu einem bestimmten Zufallsexperiment zu definieren. Je nachdem, was man betrachten möchte, formuliert man ein passendes Ereignis und überlegt sich, welche Ergebnisse zu dem Ereignis passen.

Aufgaben

1. Ereignismengen bei bunten Experimenten

Schreibe die Ereignismengen zu den folgenden Ereignissen auf:

a) A: Bei einem Würfelwurf fällt eine ungerade Zahl
b) B: Beim Roulette wird kein schwarzes und kein rotes Feld getroffen
c) C: Alle möglichen Geburtstage einer Person, die im Monat Februar stattfinden und nach dem 29. Februar sind.
d) D: Aus einem Skat-Kartenspiel (32 Karten) wird eine Herz-Karte gezogen oder ein Ass gezogen
e) E: Beim Würfeln fällt nicht eine Zahl größer 3
a) A = {1, 3, 5}
b) B = {Null}
c) C = { }
d) D = {Herz-7, Herz-8, Herz-9, Herz-10, Herz-Bube, Herz-Dame, Herz-König, Herz-Ass, Karo-Ass, Pik-Ass, Kreuz-Ass}
e) E = {1, 2, 3}


2. Was kann hier hinter stecken?

Formuliere ein passendes Ereignis zu den folgenden Ereignismengen bei einem Würfelwurf auf:

a) A = {1, 2, 3}
b) B = {2, 4, 6}
c) C = {1, 3, 5}
d) D = {5, 6}
e) E = {6}

Achtung: Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen

a) A: "Es fällt eine Zahl kleiner 4"
b) B: "Es fällt eine gerade Zahl"
c) C: "Es fällt eine ungerade Zahl"
d) D: "Es fällt eine Zahl, die größer oder gleich 5 ist"
e) E: "Es fällt die Zahl 6"


3. Aus der Urne ziehen

Gegeben ist folgende Urne, die mit farbigen und nummerierten Kugeln gefüllt ist:

Urn10.png

Als Zufallsexperiment zieht man eine Kugel aus der Urne. Formuliere Ereignisse, die folgende Eigenschaften erfüllen:

a) Die Ereignismenge umfasst 3 Ergebnisse
b) Die Ereignismenge umfasst kein Ergebnis
c) Die Ereignismenge umfasst 4 Ergebnisse
d) Die Ereignismenge umfasst 6 Ergebnisse
e) Die Ereignismenge umfasst 1 Ergebniss

Achtung: Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen

a) A: "Die Zahl der gezogenen Kugel ist durch drei teilbar", dann ist die Ereignismenge von A: {3, 6, 9}
b) B: "Es wird eine weiße Kugel gezogen", dann ist die Ereignismenge von B: { }
c) C: "Es fällt eine Zahl, die kleiner als fünf ist", dann ist die Ereignismenge von C: {1, 2, 3, 4}
d) D: "Es wird eine Zahl zwischen eins und sechs gezogen", dann ist die Ereignismenge von D: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
e) E: "Es wird eine gelbe Kugel gezogen", dann ist die Ereignismenge von E: {10}