Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Laplace-Experiment

Du hast schon eine Strategie zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten durch das Gesetz der großen Zahlen kennengelernt. Nun lernst du noch eine weitere Strategie kennen, wie man Wahrscheinlichkeiten bei bestimmten Zufallsexperimenten bestimmen kann.

Zum Überlegen

Wir hatten bei der Shuffle-Funktion festgestellt, das alle Lieder gleichwahrscheinlich abgespielt werden. Überlege dir weitere Zufallsexperimente, bei dem alle Ausgänge gleichwahrscheinlich sind. Welche sind dir im Alltag schon begegnet?

Tausche dich anschließend mit deinem Übungspartner/ deiner Übungspartnerin aus.

Was ist ein Laplace-Experiment?

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Alle Ausgänge des Experiments sind also gleichwahrscheinlich.

Wie bestimmt man bei einem Laplace-Experiment nun Wahrscheinlichkeiten?

Dies geht ganz simpel mit dem folgenden Zusammenhang: $P(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} = \frac{\#E}{\#\Omega}$

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen, teilt man einfach die Anzahl der günstigen Ergebnisse für das Ereignis durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

Beispiel: Das Urnen-Experiment

Betrachtet folgendes Zufallsexperiment:

Man zieht eine der Kugeln aus der Urne. Da jede Kugel gleich groß ist, zieht man jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Es handelt sich also um ein Laplace-Experiment.

Wie wahrscheinlich ist es die Farbe grün zu ziehen?

Betrachtet man die gezogene Farbe als Ergebnis, dann haben wir 1-mal die Farbe grün und 3-mal die Farbe blau in der Urne.

Da es insgesamt 4 Kugeln gibt, folgt für die Wahrscheinlichkeit für die Farbe grün:

P(grün) = $\frac{1}{4} = 0,25$, da eine der 4 Kugeln die gewünschte Farbe hat.

Für blau gilt dementsprechend:

P(blau) = $\frac{3}{4} = 0,75$, da 3 der 4 Kugeln die gewünschte Farbe haben.

Wie wahrscheinlich ist es die Zahl Zwei zu ziehen?

Betrachtet man die gezogene Zahl als Ergebnis, dann haben wir 2-mal die Zahl Eins und 2-mal die Zahl Zwei in der Urne.

Da es insgesamt 4 Kugeln gibt, folgt für die Wahrscheinlichkeit der Zahl Zwei:

P(Zwei) = $\frac{2}{4} = 0,5$, da 2 der 4 Kugeln die gewünschte Zahl Zwei beschriftet haben.

Aufgaben zu Laplace-Experimenten

1. Gewinnregeln vergleichen

In einem Würfel-Spiel gibt es folgende Spielregeln: Du würfelst einmal mit einem normalen Spielwürfel und...

a) du gewinnst bei einer geraden Zahl

b) du gewinnst bei einer ungeraden Zahl

c) du gewinnst, wenn eine Zahl kleiner 5 fällt

d) du gewinnst, wenn eine Zahl größer 5 fällt.

• Für welche Spielregel würdest du dich entscheiden, um zu gewinnen?

Begründe deine Antwort!

• Berechne die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen bei allen Spielregeln.

Am besten du entscheidest dich für die Regel c), da es am wahrscheinlichsten ist eine Zahl kleiner 4 zu würfeln. Es gibt nämlich 6 mögliche Ergebnisse bei einem Würfelwurf $\Omega =${1, 2, 3, 4, 5, 6} und das Ereignis: C:"Es fällt eine Zahl kleiner 4" hat folgende Ereignismenge C={1, 2, 3, 4}, also 4 günstige Ergebnisse. Daher gilt für die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis C nach Laplace:

P(C) = $\frac{4}{6} = 0,833$.

Für die anderen Gewinnregeln gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:

a) A: "Es fällt eine gerade Zahl", die Ereignismenge lautet A={2, 4, 6}

P(A) = $\frac{3}{6} = 0,5$.

b) B: "Es fällt eine ungerade Zahl", die Ereignismenge lautet B={1, 3, 5}

P(B) = $\frac{3}{6} = 0,5$.

d) D: "Es fällt eine Zahl größer 4", die Ereignismenge lautet D={6}

P(D) = $\frac{1}{6} = 0,167$.

2. Welcher Würfel ist besser zum Gewinnen?

Du gewinnst, wenn du die Augenzahl 6 würfelst. Für welchen Würfel entscheidest du dich?

1) Sechsseiter 2) Achtseiter

Begründe deine Antwort, berechne dazu die Gewinnwahrscheilichkeiten für beide Würfel.

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3. Welcher Würfel?

Zwei Würfel stehen für dich zur Auswahl:

- Sechsseiter

- Zwölfseiter

a) Du gewinnst, wenn du eine ungerade Zahl würfelst. Für welchen Würfel würdest du dich entscheiden? Begründe deine Antwort!

b) Du gewinnst, wenn du eine Zahl würfelst, die durch 4 teilbar ist. Für welchen Würfel würdest du dich entscheiden? Begründe deine Antwort!

{{{1}}}

4.Aus Urnen ziehen

Folgende Urnen sind gegeben:

a)

1) 2)

• Wenn du eine rote Kugel ziehen müsstest, um zu gewinnen, für welche Urne würdest du dich entscheiden? Begründe deine Antwort.

Berechne die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen in beiden Urnen.

b)

1) 2)

• Wenn du eine rote Kugel ziehen müsstest, um zu gewinnen, für welche Urne würdest du dich entscheiden? Begründe deine Antwort.

Berechne die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen in beiden Urnen.

c)

1) 2)

• Wenn du eine rote Kugel ziehen müsstest, um zu gewinnen, für welche Urne würdest du dich entscheiden? Begründe deine Antwort.

Berechne die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen in beiden Urnen.

{{{1}}}

5.Urne mit Kugeln

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 20 beschriftet sind.

Felix zieht eine Kugel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit...

a) zieht er die Kugel mit der Zahl 12?

b) zieht er eine Zahl, die durch 3 teilbar ist?

c) zieht er eine Zahl, die größer als 11 ist?

d) zieht er eine Quadratzahl?

Schreibe für jede Teilaufgabe die passenden Ereignismengen auf.

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6. Vergleich zweier Glücksräder

Du siehst hier zwei Glücksräder

1.) 2.)

a) Du gewinnst, wenn das Glücksrad auf der Farbe Grün landet.

Bei welchem ist die Gewinnchance höher? Begründe deine Antwort!

b) Wie wahrscheinlich ist es beim Glücksrad 1 einen Sektor zu bekommen, der neben einem grünen Sektor liegt?

c) Wieviele rote Sektoren müsste Glücksrad 2 haben, damit die Wahrscheinlichkeit für einen roten Sektor bei 75% liegt?

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7.Gewinnregeln beim Glücksrad

Du siehst folgendes Glücksrad

Es werden folgende Regeln zum Gewinnen angeboten:

a) Du gewinnst bei einer Zahl die durch 3 teilbar ist

b) Du gewinnst bei rot und einer geraden Zahl

c) Du gewinnst bei grün oder blau

d) Du gewinnst bei 4, 5, 6

• Für welche Regel entscheidest du dich, um zu gewinnen? Begründe deine Antwort.

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8.Urne oder Würfel?

Du hast zwei Möglichkeiten dich für ein Gewinnspiel zu entscheiden:

1) Entweder du ziehst aus der folgenden Urne und gewinnst bei der Farbe gelb oder blau

2) Oder du Würfelst einen sechsseitigen Würfel und gewinnst bei den Zahlen kleiner als 3

Für welches Gewinnspiel entscheidest du dich? Berechne zur Begründung deiner Etscheidung die Gewinnwahrscheinlichkeiten der Spiele aus.

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9.Spielkarten ziehen

Ein Kartenspiel hat 32 Karten mit den vier Farben: Herz, Karo, Pik und Kreuz. In jeder Farbe gibt es jeweils die Karten 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König und Ass.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

a) Es wird eine Karte der Farbe Karo gezogen?

b) Es wird eine Dame gezogen?

c) Es wird nicht eine schwarze 10 gezogen?

d) Es wird keine Bildkarte gezogen?

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10.Urnen befüllen

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Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Weißt du noch? Absolute und relative Häufigkeiten
2. Einstiegsproblem: Die zufällige Shuffle-Funktion
3. Simulation der Shuffle-Funktion
4. Noch mehr Simulation zur Shuffle-Funktion
5. Abschluss des Einstiegsproblems
6. Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
   

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