Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Lernziele:'''
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* Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
 
** absolute Häufigkeit und  
*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
** relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
**absolute Häufigkeit und
* Sie können  
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
** die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
*Sie können  
** die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.  
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
* Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
** als absolute Häufigkeitsverteilung und  
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
** als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.


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<!-- Beispiel absolute und relative Häufigkeiten -->
<!-- Beispiel absolute und relative Häufigkeiten -->
{|style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
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! align=left| <u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
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| Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:


:: <math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>
::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>


Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:
Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:


:: <math>16; 17; 18; 19; 20</math>
::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>


Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:
Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:
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{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
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! '''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math> !! <math>16</math> !! <math>17</math> !! <math>18</math> !! <math>19</math> !! <math>20</math> !! Summe
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
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| '''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>|| <math>3</math> || <math>4</math> || <math>2</math> || <math>8</math> || <math>3</math> || <math>20</math>  
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
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<!-- Tabelle Auswertung Alter der Lerngruppe nach absoluten Häufigkeiten -->
<!-- Tabelle Auswertung Alter der Lerngruppe nach absoluten Häufigkeiten -->
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| Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.


Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:
Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:
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{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
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! Merkmalsausprägung <math>x_i</math> !! <math>16</math> !! <math>17</math> !! <math>18</math> !! <math>19</math> !! <math>20</math> !! Summe
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
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| absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>|| <math>\frac{3}{20}=</math> || <math>\frac{4}{20}=</math> || <math>\frac{2}{20}=</math> || <math>\frac{8}{20}=</math> || <math>\frac{3}{20}=</math> || <math>1=</math>  
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
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| oder als Dezimal- oder Prozentzahl || <math>0,15=15%</math> || <math>0,2=20%</math> || <math>0,1=10%</math> || <math>0,4=40%</math> || <math>0,15=15%</math> || <math>100%</math>
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
|}
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<!-- Ende Tabelle Auswertung Alter der Lerngruppe nach relativen Häufigkeiten -->
<!-- Ende Tabelle Auswertung Alter der Lerngruppe nach relativen Häufigkeiten -->
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| Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.




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<!-- Definition absolute und relative Häufigkeiten -->
<!-- Definition absolute und relative Häufigkeiten -->
{{Merke||1=
{{Merke|Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.  
Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.  


Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.
Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.
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Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.  
Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.  


Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.
Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}
}}
<!-- Ende Definition absolute und relative Häufigkeiten -->
<!-- Ende Definition absolute und relative Häufigkeiten -->




<!-- Merksatz absolute und relative Häufigkeiten -->
<!-- Merksatz absolute und relative Häufigkeiten -->
{{Merke||1=
{{Merke|Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.
Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.


Mathematische Kurzschreibweise:
Mathematische Kurzschreibweise:
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wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.


Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.
Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}
}}
<!-- Ende Merksatz absolute und relative Häufigkeiten -->
<!-- Ende Merksatz absolute und relative Häufigkeiten -->


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[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]
[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]
<!-- Einführungsbeispiel Teil 5 -->
<!-- Einführungsbeispiel Teil 5 -->
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|colspan="4" |
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<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>


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{| class="wikitable"  
{| class="wikitable"  
| '''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>''' || '''männlich''' || '''weiblich''' || '''Summe'''
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
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| '''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>||''' <math>12</math> || <math>18</math> || <math>30</math>
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
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<!-- Ende Auswertung Geschlecht absolute Häufigkeiten -->
<!-- Ende Auswertung Geschlecht absolute Häufigkeiten -->
|colspan="4" |
| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


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<div style="float:left; margin-right:1em;">
<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"  
{| class="wikitable"  
| '''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>''' || '''männlich''' || '''weiblich''' || '''Summe'''
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
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|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
|}
<div>
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}}


== Übungen ==
==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|  
{|  
| Merkmalsausprägungen || <math>x_i</math> || alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
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|-
| Beobachtungswerte || <math>a_i</math> || Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste  
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
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| absolute Häufigkeit || <math>H_i</math> || <math>H(x_i)</math>|| Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
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|-
| relative Häufigkeit || <math>h_i</math> || <math>h(x_i)</math>|| Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
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{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|1=


[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]
[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]
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* Informationen,
* Informationen,
* Games und  
* Games und  
* E-Mails.
* E-Mails.|2=Lösung
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Bestimmen Sie  
Bestimmen Sie  
* die absolute Häufigkeit und  
 
* die relative Häufigkeit  
*die absolute Häufigkeit und
** als Bruch und  
*die relative Häufigkeit  
** als Prozentzahl.  
**als Bruch und
**als Prozentzahl.


Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?
Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?


[[Datei:1.4.6 Strichliste.PNG|500 px|Urliste Beobachtungswerte]]
[[Datei:1.4.06 Strichliste.PNG|500 px|Urliste Beobachtungswerte]]


Geben Sie  
Geben Sie  
* die Grundgesamtheit,
 
* den Stichprobenumfang,
*die Grundgesamtheit,
* das Merkmal und
*den Stichprobenumfang,
* die Merkmalsausprägungen an.
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.




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Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
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Version vom 14. Oktober 2022, 06:01 Uhr

Lernziele:

  • Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
    • absolute Häufigkeit und
    • relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
  • Sie können
    • die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
    • die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
  • Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
    • als absolute Häufigkeitsverteilung und
    • als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen Pfeil 2.gif   Übungen

Ansonsten sind Sie hier richtig.


Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in absoluten Zahlen angegeben werden oder als relativer Anteil am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.

Beispiel "Alter der Lerngruppe":
Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von und enthält folgende Beobachtungswerte:

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat Merkmalsausprägungen, nämlich:

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:

Merkmalsausprägung Summe
absolute Häufigkeit
Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man absolute Häufigkeitsverteilung.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:

Merkmalsausprägung Summe
absolute Häufigkeit
oder als Dezimal- oder Prozentzahl Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 0,15=15%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 0,2=20%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 0,1=10%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 0,4=40%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 0,15=15%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100%}
Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man relative Häufigkeitsverteilung.


Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.


Merke
{{{1}}}



Merke
{{{1}}}


Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen

Einführungsbeispiel - Teil 5

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon für männlich und für weiblich

Merkmalsausprägung männlich weiblich Summe
absolute Häufigkeit

Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:

Merkmalsausprägung männlich weiblich Summe
relative Häufigkeit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{12}{30}=0,4=40%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{18}{30}=0,6=60%} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1=100%}


Aufgabe


Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.

Übungen

Zuordnung
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.

Merkmalsausprägungen alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
Beobachtungswerte Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
absolute Häufigkeit Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
relative Häufigkeit Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang


Aufgabe

1.4.2 Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.

Beschreibende Statistik - Lösung


Aufgabe

1.4.3 Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.

Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe


Aufgabe

Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie

  • die absolute Häufigkeit und
  • die relative Häufigkeit
    • als Bruch und
    • als Prozentzahl.

Strichliste

Geben Sie

  • die Grundgesamtheit,
  • den Stichprobenumfang,
  • das Merkmal und
  • die Merkmalsausprägungen an.

Häufigkeiten

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:

  • Chatten,
  • Musikdownload,
  • Informationen,
  • Games und
  • E-Mails.


Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man absolute Häufigkeit.

Den Anteil von der Gesamtmenge nennt man relative Häufigkeit.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets 100 % oder 1, denn die Summe der Anteile ergibt ein Ganzes.

Rundungen können zu Abweichungen führen.



160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

  • die absolute Häufigkeit und
  • die relative Häufigkeit
    • als Bruch und
    • als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

Urliste Beobachtungswerte

Geben Sie

  • die Grundgesamtheit,
  • den Stichprobenumfang,
  • das Merkmal und
  • die Merkmalsausprägungen an.



Lösung

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.


Klassenbildung


Estatística ícone.svg

Lernpfad Beschreibende Statistik

  1. Grundbegriffe
  2. Graphische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen
  3. Lagemaße
    (arithmetisches Mittel, Modus, Median)
  4. Streuungsmaße
    (mittlere absolute Abweichung, mittlere quadratische Abweichung, Standardabweichung)
  5. Einsatz des Taschenrechners
    (Bedienung Casio fx-991DE PLUS)
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