Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff

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Auf dieser Seite finden Sie die Grundvorstellungen, die Sie sich in diesem Lernpfad selbst erschließen können in einer detaillierten Zusammenfassung.

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Die Ableitung als lokale (momentane) Änderungsrate

Die Grundvorstellung der Ableitung als lokale oder auch momentane Änderungsrate baut auf dem Verständnis von Änderungsprozessen auf, die bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt wurden. Es wird nun also neben der absoluten Änderung und der mittleren (durchschnittlichen) Änderungsrate die lokale Änderungsrate beschrieben.

Wie auch in der Bearbeitung des Lernpfades lässt sich diese Grundvorstellung am besten mit einem Weg-Zeit-Zusammenhang erschließen.

So entspricht im Kontext eines Weg-Zeit-Zusammenhangs die absolute Änderung der Wegzunahme $f(x_1)-f(x_0)$vom Zeitpunkt $x_0$bis $x_1$die mittlere Änderungsrate $\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$der mittleren (durchschnittlichen) Geschwindigkeit im Intervall $[x_0,x_1]$. Da sich die mittlere Änderungsrate über ein Steigungsdreieck, also über den Differenzenquotieten berechnen lässt, ist sie graphisch mit der Steigung der Sekante zu deuten.

Durch sukzessive Verkleinerung dieses Intervalls lässt sich dann einer Stelle $x_0$eine lokale (momentane) Änderungsrate $f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$zuschreiben, die der momentanen Geschwindigkeit entspricht. Die Verkleinerung des Intervalls kann sowohl tabellarisch (siehe Aufgabe ??) als auch graphisch-dynamisch (siehe Aufgabe ??) erfolgen. Die lokale Änderungsrate ist dementsprechend graphisch als die Steigung des Graphen an der Stelle $x_0$, also der Steigung der Tangente im Berührpunkt $P(x_0|f(x_0)$zu interpretieren.

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