Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Infos für Lehrkräfte: Unterschied zwischen den Versionen

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K (Grundvorstellungen)
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{{Box|Info|In diesem Lernpfad werden '''Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff''' behandelt. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass sich Schülerinnen und Schüler die
  
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*Ableitung als momentane Änderungsrate
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*Ableitung als Änderungsdetektor
  
In diesem Lernpfad werden Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff behandelt. Der Lernpfad ist so Aufgebaut, dass sich Schülerinnen und Schüler die
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selbst erarbeiten können.  
  
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Gerade im Bereich der Differentialrechnung bietet sich eine computergestützte Lernumgebung sehr gut an, da der Grenzwertprozess mit Hilfe der dynamischen GeoGebra-Applets anschaulich vermittelt werden kann. Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des '''entdeckenden Lernens''' aufgebaut und bringt unter anderem folgende '''zwei Vorteile''' mit sich.
*Ableitung als
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*Ableitung als lokale lineare Approximation
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*Das selbständige Erarbeiten von neuem Wissen erfordert ein ständiges Aufrufen und neu Anordnen von bereits bekanntem Wissen und ist somit einer intensiven und sinnvollen Art des Übens gleichzusetzen.
  
Selbst erarbeiten können. Die Ableitung als Änderungsdetektor wird als ergänzende Grundvorstellung behandelt.
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*Aufgrund der persönlichen Bemühung der Problemlösung oder der Erschließung neuer Inhalte ist es wahrscheinlich, dass diese Inhalte langanhaltend und korrekt beibehalten werden und sie sich auch immer wieder aufs Neue selbst erschlossen werden können.
  
In dieser Handreichung werden nun Möglichkeiten aufgezeigt wie der Lernpfad in den Unterricht eingebaut werden kann, was bei den einzelnen Grundvorstellungen zu beachten ist und wieso es Sinn macht, dass Schülerinnen und Schüler diesen Lernpfad bearbeiten.  
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In dieser Handreichung wird nun aufgezeigt was bei den einzelnen Grundvorstellungen und Aufgaben zu beachten ist und wie der Lernpfad in den Unterricht eingebunden werden kann und .  
  
Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die benötigten Voraussetzungen, Lösungen und passenden Hilfestellungen vorhanden.   
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Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die '''benötigten Voraussetzungen''', '''Lösungen''' und '''passenden Hilfestellungen''' vorhanden.   |Kurzinfo
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==Grundvorstellungen==
 
==Grundvorstellungen==
 
[[Datei:Modellierungsprozess.png|mini|500x500px|Modellierungsprozess]]
 
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Grundvorstellungen sind Instrumente der Vermittlung zwischen Mathematik und Realität. Sie weisen mathematischen Begriffen eine inhaltliche Deutung und Sinnhaftigkeit zu, was eine wesentliche Voraussetzungen für einen verständnisvollen Umgang mit Begriffen darstellt. Mit diesen Eigenschaften spielen sie eine zentrale Rolle bei der mathematischen Modellierung und greifen im Modellierungskreislauf beim Prozess der Mathematisierung und der Interpretation.  
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Grundvorstellungen sind Instrumente der Vermittlung zwischen Mathematik und Realität. Sie weisen mathematischen Begriffen eine inhaltliche Deutung und Sinnhaftigkeit zu, was eine wesentliche Voraussetzungen für einen verständnisvollen Umgang mit Begriffen darstellt. Mit diesen Eigenschaften spielen sie eine zentrale Rolle bei der mathematischen Modellierung und greifen im Modellierungskreislauf beim Prozess der Mathematisierung und der Interpretation. Ein Repertoire an verschiedenen Grundvorstellungen hilft dabei Begriffe flexibel auf unbekannte Sachaufgaben anzuwenden.
  
 
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===Hinweise zu den Grundvorstellungen===
 
===Hinweise zu den Grundvorstellungen===
Wird der Lernpfad in den Unterricht eingebunden so ist auf folgenden Punkte bei Gruppenreflexionen oder der Sicherung der Aufgaben zu achten.
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Wird der Lernpfad in den Unterricht eingebunden, so ist bei Gruppenreflexionen oder Sicherungen der Aufgaben auf folgende Punkte zu achten.
  
 
=====Ableitung als Steigung der Tangente=====
 
=====Ableitung als Steigung der Tangente=====
  
*Erweiterung des Tangentenbegriffs als Schmiegegerade
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*Erweiterung des Tangentenbegriffs als lokale Schmiegegerade.
  
*Vermeidung der Ein Punkt Berührungs-Sichtweise
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*Vermeidung der Sichtweise die Tangente schneide den Graph nur in einem Punkt.
  
*Die Tangente hat die gleiche Steigung wie der Punkt den sie berührt
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*Die Tangente hat die gleiche Steigung wie der Graph an dem Punkt den sie berührt.
  
 
=====Ableitung als momentane Änderungsrate=====
 
=====Ableitung als momentane Änderungsrate=====
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Speziell bei dieser, aber auch bei den anderen Grundvorstellungen ist immer auf das Verständnis auf allen Beschreibungsebenen zu achten.
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{| class="wikitable"
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|'''Beschreibungsebene'''
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|Schritt 1
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|Schritt 2
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|Schritt 3
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|Schritt 4
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|Algebraisch
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|<math>f(x_0)</math>
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|<math>f(x_1)-f(x_0)</math>
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|<math>\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} </math>
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|<math>f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} </math>
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|-
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|Inhaltlich
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|Bestand zum Zeitpunkt x<sub>0</sub>
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|Absoluter Zuwachs in der Zeit von  x<sub>0</sub> bis x
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|Relativer Zuwachs im Zeitintervall  [x<sub>0</sub>,x] mittlere Änderungsrate
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|Momentane (lokale) Änderungsrate  zum Zeitpunkt x<sub>0</sub>
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|-
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|Terminologisch
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|Funktionswert
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|Differenz der Funktionswerte
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|Differenzenquotient
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|Differentialquotient
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 +
(Ableitung)
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|}
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Auch wenn der Übergang zum analytischen erst von Schritt 3 auf Schritt 4 vollzogen wird, sind die Schritte 1 und 2 nicht zu vernachlässigen.
  
*Das mit dem Zeug auf allen Ebenen
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Des Weiteren ist darauf zu achten, dass die lokale Änderungsrate auf graphischer Beschreibungsebene, mit der Steigung des Graphen in einem Punkt, also der Steigung der Tangente des Graphen in diesem Punkt gleichzusetzen ist. <br />
  
 
=====Ableitung als lineare Approximation=====
 
=====Ableitung als lineare Approximation=====
  
*In einer stark Vergrößerten Umgebung eines Punktes des Graphen einer differentzierbaren Funktion ist dieses Teilstück des Graphen geradlinig.
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*In einer stark Vergrößerten Umgebung eines Punktes des Graphen einer differenzierbaren Funktion ist dieses Teilstück des Graphen geradlinig.
  
*Da eine differenzierbare Funktion für in hinreichend kleinen Umgebungen linear ist, kann sie in dieser Umgebung durch die Tangente genähert werden.
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*Da eine differenzierbare Funktion in hinreichend kleinen Umgebungen linear ist, kann sie in dieser Umgebung durch die Tangente genähert werden.
  
 
==Möglichkeiten der Einbindung==
 
==Möglichkeiten der Einbindung==
Da es sich hier um einen Wiki - Lernpfad handelt, können verschiedene Aufgaben aus dem Lernpfad herauskopiert werden und an die Anforderungen der eigenen Lerngruppe angepasst werden. So können auch einzelne Aufgaben des Lernpfads im Unterricht bearbeitet werden.
 
  
Es kann jede Grundvorstellung allein stehend von den Schülern selbst erarbeitet werden und kann somit als Hausaufgabe oder Wochenaufgabe aufgegeben werden.
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*Da es sich hier um einen Wiki - Lernpfad handelt, können verschiedene Aufgaben aus dem Lernpfad herauskopiert und in einem eigenen Lernpfad an die Anforderungen der eigenen Lerngruppe angepasst werden. So können auch einzelne Aufgaben des Lernpfads herauskopiert werden und im Unterricht bearbeitet werden.
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*Da jede Grundvorstellung im Zuge des entdeckenden Lernens von den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeitet werden kann, können somit Teile des Lernpfads als Hausaufgabe oder Wochenaufgabe aufgegeben werden.
  
Die Aufgaben des Lernpfads sind auch auf folgenden Arbeitsblättern festgehalten und können den Schülern somit ausgedruckt werden. So benötigt lediglich die Bedienung der Applets ein PC oder Tablet. Dies kann bei mangelnder Ausstattung von Vorteil sein.
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*Die Aufgaben des Lernpfads sind auch auf folgenden Arbeitsblättern festgehalten und können den Schülerinnen und Schülern somit ausgedruckt werden. So benötigt lediglich die Bedienung der Applets ein PC oder Tablet. Dies kann bei mangelnder Ausstattung von Vorteil sein.
  
 
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==Hinweise zu den Aufgaben==
 
==Hinweise zu den Aufgaben==
Das Ziel jeder Aufgabe des Lernpfads ist es, durch angeleitetes Selbsterkunden in den Applets oder mithilfe von Tabellen und Graphiken Erkenntnisse zu gewinnen. Trotz eingebauter Hilfestellungen und Lösungskontrollen ist es gerade bei der Vermittlung von Grundvorstellung wichtig die selbstgewonnen Erkenntnisse mit denen von Anderen zu vergleichen und somit auf ihre mathematische Korrektheit zu überprüfen. Es wird daher empfohlen an geeigneten Stellen gemeinsame Sicherungs- oder Reflexionsphasen einzubauen.
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Das Ziel jeder Aufgabe des Lernpfads ist es, durch angeleitetes Selbsterkunden in den Applets oder mit Hilfe von Tabellen und Graphiken Erkenntnisse zu gewinnen. Trotz eingebauter Hilfestellungen und Lösungskontrollen ist es gerade bei der Vermittlung von Grundvorstellung wichtig die selbstgewonnen Erkenntnisse mit denen von Anderen zu vergleichen und somit auf ihre mathematische Korrektheit zu überprüfen. Es wird daher empfohlen an geeigneten Stellen gemeinsame Sicherungs- oder Reflexionsphasen einzuplanen.

Aktuelle Version vom 20. August 2019, 08:42 Uhr

Info

In diesem Lernpfad werden Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff behandelt. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass sich Schülerinnen und Schüler die

  • Ableitung als momentane Änderungsrate
  • Ableitung als Steigung der Tangente
  • Ableitung als lokale lineare Approximation
  • Ableitung als Änderungsdetektor

selbst erarbeiten können.

Gerade im Bereich der Differentialrechnung bietet sich eine computergestützte Lernumgebung sehr gut an, da der Grenzwertprozess mit Hilfe der dynamischen GeoGebra-Applets anschaulich vermittelt werden kann. Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des entdeckenden Lernens aufgebaut und bringt unter anderem folgende zwei Vorteile mit sich.

  • Das selbständige Erarbeiten von neuem Wissen erfordert ein ständiges Aufrufen und neu Anordnen von bereits bekanntem Wissen und ist somit einer intensiven und sinnvollen Art des Übens gleichzusetzen.
  • Aufgrund der persönlichen Bemühung der Problemlösung oder der Erschließung neuer Inhalte ist es wahrscheinlich, dass diese Inhalte langanhaltend und korrekt beibehalten werden und sie sich auch immer wieder aufs Neue selbst erschlossen werden können.

In dieser Handreichung wird nun aufgezeigt was bei den einzelnen Grundvorstellungen und Aufgaben zu beachten ist und wie der Lernpfad in den Unterricht eingebunden werden kann und .

Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die benötigten Voraussetzungen, Lösungen und passenden Hilfestellungen vorhanden.   

Grundvorstellungen

Modellierungsprozess

Grundvorstellungen sind Instrumente der Vermittlung zwischen Mathematik und Realität. Sie weisen mathematischen Begriffen eine inhaltliche Deutung und Sinnhaftigkeit zu, was eine wesentliche Voraussetzungen für einen verständnisvollen Umgang mit Begriffen darstellt. Mit diesen Eigenschaften spielen sie eine zentrale Rolle bei der mathematischen Modellierung und greifen im Modellierungskreislauf beim Prozess der Mathematisierung und der Interpretation. Ein Repertoire an verschiedenen Grundvorstellungen hilft dabei Begriffe flexibel auf unbekannte Sachaufgaben anzuwenden.



Hinweise zu den Grundvorstellungen

Wird der Lernpfad in den Unterricht eingebunden, so ist bei Gruppenreflexionen oder Sicherungen der Aufgaben auf folgende Punkte zu achten.

Ableitung als Steigung der Tangente
  • Erweiterung des Tangentenbegriffs als lokale Schmiegegerade.
  • Vermeidung der Sichtweise die Tangente schneide den Graph nur in einem Punkt.
  • Die Tangente hat die gleiche Steigung wie der Graph an dem Punkt den sie berührt.
Ableitung als momentane Änderungsrate

Speziell bei dieser, aber auch bei den anderen Grundvorstellungen ist immer auf das Verständnis auf allen Beschreibungsebenen zu achten.

Beschreibungsebene Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4
Algebraisch
Inhaltlich Bestand zum Zeitpunkt x0 Absoluter Zuwachs in der Zeit von x0 bis x Relativer Zuwachs im Zeitintervall [x0,x] mittlere Änderungsrate Momentane (lokale) Änderungsrate zum Zeitpunkt x0
Terminologisch Funktionswert Differenz der Funktionswerte Differenzenquotient Differentialquotient

(Ableitung)

Auch wenn der Übergang zum analytischen erst von Schritt 3 auf Schritt 4 vollzogen wird, sind die Schritte 1 und 2 nicht zu vernachlässigen.

Des Weiteren ist darauf zu achten, dass die lokale Änderungsrate auf graphischer Beschreibungsebene, mit der Steigung des Graphen in einem Punkt, also der Steigung der Tangente des Graphen in diesem Punkt gleichzusetzen ist.

Ableitung als lineare Approximation
  • In einer stark Vergrößerten Umgebung eines Punktes des Graphen einer differenzierbaren Funktion ist dieses Teilstück des Graphen geradlinig.
  • Da eine differenzierbare Funktion in hinreichend kleinen Umgebungen linear ist, kann sie in dieser Umgebung durch die Tangente genähert werden.

Möglichkeiten der Einbindung

  • Da es sich hier um einen Wiki - Lernpfad handelt, können verschiedene Aufgaben aus dem Lernpfad herauskopiert und in einem eigenen Lernpfad an die Anforderungen der eigenen Lerngruppe angepasst werden. So können auch einzelne Aufgaben des Lernpfads herauskopiert werden und im Unterricht bearbeitet werden.
  • Da jede Grundvorstellung im Zuge des entdeckenden Lernens von den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeitet werden kann, können somit Teile des Lernpfads als Hausaufgabe oder Wochenaufgabe aufgegeben werden.
  • Die Aufgaben des Lernpfads sind auch auf folgenden Arbeitsblättern festgehalten und können den Schülerinnen und Schülern somit ausgedruckt werden. So benötigt lediglich die Bedienung der Applets ein PC oder Tablet. Dies kann bei mangelnder Ausstattung von Vorteil sein.


Hinweise zu den Aufgaben

Das Ziel jeder Aufgabe des Lernpfads ist es, durch angeleitetes Selbsterkunden in den Applets oder mit Hilfe von Tabellen und Graphiken Erkenntnisse zu gewinnen. Trotz eingebauter Hilfestellungen und Lösungskontrollen ist es gerade bei der Vermittlung von Grundvorstellung wichtig die selbstgewonnen Erkenntnisse mit denen von Anderen zu vergleichen und somit auf ihre mathematische Korrektheit zu überprüfen. Es wird daher empfohlen an geeigneten Stellen gemeinsame Sicherungs- oder Reflexionsphasen einzuplanen.