Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Grundwissen - Zusammenfassung: Unterschied zwischen den Versionen

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Auf dieser Seite werden alle Voraussetzung wiederholt, die du zur Bearbeitung des Lernpfades benötigst.  
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=Wiederholung=


==Lineare Funktionen==
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Lineare Funktion sind besondere Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form <math>f(x)= m*x+b</math>oder <math>y=m*x+b</math>haben. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl <math>m</math>gibt den Wert der Steigung an und die Zahl <math>b</math>gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.


===Bestimmung der Steigung===
=='''Lineare Funktionen'''==
<u>Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion</u> oder <u>die Steigung einer Geraden durch die Punkte A und B</u> kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.  
 
 
{{blau|Lineare Funktion sind Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form <math>f(x)= m*x+b</math>oder <math>y=m*x+b</math>haben. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl <math>m</math>gibt den Wert der Steigung an und die Zahl <math>b</math>gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an. }}
 
 
Lineare Funktion sind Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form <math>f(x)= m*x+b</math> oder  <math>y=m*x+b</math> haben. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl  <math>m</math> gibt den Wert der Steigung an und die Zahl <math>b</math>gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.
 
<br />
 
===='''Der Differenzenquotient'''====
Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.


====Der Differenzenquotient====
Ist eine Funktion f auf einem Intervall <math>[a;b]</math> definiert, so gibt der Differenzenquotient  
Ist eine Funktion f auf einem Intervall <math>[a;b]</math> definiert, so gibt der Differenzenquotient  


<math>\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> die Steigung <math>m</math> der Geraden durch die Punkte <math>A=(a|f(a))</math> und <math>B=(b|f(b))</math> an.  
<math>\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> die Steigung <math>m</math> der Geraden durch die Punkte <math>A=(a|f(a))</math> und <math>B=(b|f(b))</math> an.  


Die Differenzen können auch als <math>\Delta{y} </math>und <math>\Delta{x}</math>geschrieben werden. Der griechische Großbuchstabe Delta steht hier als Symbol für die Differenz der x- und y-Werte.  
Die Differenzen können auch als <math>\Delta{y} </math>und <math>\Delta{x}</math>geschrieben werden. Der griechische Großbuchstabe Delta steht hier als Symbol für die Differenz der x- und y-Werte.


=====Die h - Schreibweise=====
====='''Beispiele'''=====
Anstatt die Differenz <math>x_1-x_0=\Delta{x}</math>in Relation zur Änderung der y-Werte <math>f(x_1)-f(x_0)</math> zu setzen, kann man den Differenzenquotienten auch wie folgt schreiben:


<math>\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
[[Datei:BeispielDQ1.png|rand|470x470px]]                [[Datei:Beispiel_2DQ.png|rand|450x450px]]


====Die mittlere Änderungsrate====
<br />
<br />Mit Änderungsrate ist eine relative Änderung eines Bestandes pro Zeiteinheit zu verstehen. Beispiele für für solche Bestandsgrößen und Änderungen sind in folgender Tabelle illustriert.
 
===='''Die h - Schreibweise'''====
Anstatt die Änderung der y-Werte <math>\Delta{y}=f(x_1)-f(x_0)</math> in Relation zur Differenz <math>\Delta{x}=x_1-x_0</math> zu setzen, kann man den Differenzenquotienten auch wie folgt schreiben: <math>\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> [[Datei:h-Methode_Diff.png|alternativtext=|rand|zentriert|450x450px]]
 
 
 
 
 
<br />
 
===='''Die mittlere Änderungsrate'''====
Die mittlere Änderungsrate ist die relative Änderung eines Bestandes in einem gegebenen Intervall. Sie entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte <math>A=(a|f(a))</math> und <math>B=(b|f(b))</math>auf der Bestandsfunktion <math>f</math> und lässt sich mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnen.
 
[[Datei:Bestandsfunktion.png|rand|400x400px]]
{| class="wikitable"
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Beispiele für Bestandsgrößen und deren  Änderungen
!Bestandsgröße
!Bestandsgröße
!Zuflüsse
!Zuflüsse
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=====Beispiel=====
====='''Beispiel'''=====
[[Datei:Differenzenquotient_Temp.png|alternativtext=|rand|rechts|400x400px]]
[[Datei:Differenzenquotient_Temp.png|alternativtext=|rand|rechts|400x400px]]
Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer Flüssigkeit in 10 Minuten Abständen gemessen.  Die mittlere Änderungsrate der Temperatur lässt sich nun mit Hilfe des Differenzenquotient berechnen:  
Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer Flüssigkeit in 10 Minuten Abständen gemessen.  Die mittlere Änderungsrate der Temperatur lässt sich nun mit Hilfe des Differenzenquotient berechnen:  


<math>\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{T(b)-T(a)}{b-a}=\frac{9 C}{20 min}=0,45\frac{C}{min}</math>
<math>\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{T(b)-T(a)}{b-a}=\frac{9 C}{20 min}=0,45\frac{C}{min}</math>
<br />

Aktuelle Version vom 13. August 2019, 07:33 Uhr

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Lineare Funktionen

Lineare Funktion sind Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form oder haben. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl gibt den Wert der Steigung an und die Zahl gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.


Lineare Funktion sind Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form oder haben. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl gibt den Wert der Steigung an und die Zahl gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.


Der Differenzenquotient

Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.

Ist eine Funktion f auf einem Intervall definiert, so gibt der Differenzenquotient

die Steigung der Geraden durch die Punkte und an.

Die Differenzen können auch als und geschrieben werden. Der griechische Großbuchstabe Delta steht hier als Symbol für die Differenz der x- und y-Werte.

Beispiele

BeispielDQ1.png Beispiel 2DQ.png


Die h - Schreibweise

Anstatt die Änderung der y-Werte in Relation zur Differenz zu setzen, kann man den Differenzenquotienten auch wie folgt schreiben:




Die mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate ist die relative Änderung eines Bestandes in einem gegebenen Intervall. Sie entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte und auf der Bestandsfunktion und lässt sich mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnen.

Bestandsfunktion.png

Beispiele für Bestandsgrößen und deren Änderungen
Bestandsgröße Zuflüsse Abflüse
Anzahl der Schüler Einschulungen Schulabgänger
Treibstoffmenge im Tank Tanken an der Tankstelle Treibstoffverbrauch
Kontostand Zubuchung Abbuchung
Anzahl der Hotelgäste ankommende Gäste abreisende Gäste
Staatsverschuldung Staatseinnahmen Staatsausgaben
Beispiel

Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer Flüssigkeit in 10 Minuten Abständen gemessen. Die mittlere Änderungsrate der Temperatur lässt sich nun mit Hilfe des Differenzenquotient berechnen: