Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als Steigung der Tangente: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Info|In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als Steigung der Tangente selbst erarbeiten. Den Begriff der Tangente kennen Sie bereits aus der Sekundarstufe 1 im Zusammenhang mit Kreisen. In diesem Abschnitt wird diese bereits vorhandene vorhandene Vorstellung auf das analytische erweitert. Als Vorwissen sollten Sie über Kenntnisse von '''Sekanten''', '''linearer Funktionen''' und des '''Differenzenquotienten''' verfügen. Sollten die Hilfen auf dieser Seite nicht genügen, wird auf die Seite [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|Vorwissen]] verwiesen.|Kurzinfo
{{Box|Info|In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als Steigung der Tangente selbst erarbeiten. Tangenten haben Sie bereits in der Sekundarstufe 1 im Zusammenhang mit Kreisen kennengelernt. In diesem Abschnitt wird diese bereits vorhandene Vorstellung auf das analytische erweitert. Als Vorwissen sollten Sie über Kenntnisse von '''Sekanten''', '''linearer Funktionen''' und des '''Differenzenquotienten''' verfügen. Sollten die Hilfen auf dieser Seite nicht genügen, wird auf die Seite [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|Vorwissen]] verwiesen.|Kurzinfo
}}[[Datei:Tangentensteigung_Bild.png|rand|571x571px]]<br />
}}[[Datei:Tangentensteigung_Bild.png|rand|571x571px]]<br />


==Die Tangente==
==Die Tangente==
Sie hatten bereits in der Sekundarstufe 1 mit Tangenten zu tun und haben diese im Zusammenhang mit kreisen kennengelernt.{{Box|Aufgabe 1|a) In [[/Aufgabe 1a)/|diesem Applet]] sehen Sie zwei verschiedene Tangenten. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Tangenten  <br/>  
{{Box|Aufgabe 2.1|a) In [[/Aufgabe 1a)/|diesem Applet]] sehen Sie zwei verschiedene Tangenten. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Tangenten  <br/>  
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Text zum verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


b) Zoomen Sie in [[/Aufgabe 1b)/|diesem Applet]] in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was  Sie sehen. <br/>
b) Zoomen Sie in [[/Aufgabe 1b)/|diesem Applet]] in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was  Sie sehen. <br/>
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{{Lösung versteckt|1= Lösung |Merksatz}}
{{Lösung versteckt|1= Lösung |Merksatz}}
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d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist. {{Lösung versteckt|1={{Box|Die Tangente als Schmiegegerade|Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet.  |Merksatz}}|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist. {{Lösung versteckt|1={{Box|Die Tangente als Schmiegegerade|Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet.  |Merksatz}}|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
e) Treffen Sie eine Aussage über die Steigung der Tangente und die Steigung der Funktion im Berührpunkt mit der Tangente.
|Arbeitsmethode
}}
}}


==Die Steigung einer Sekante==
==Die Steigung einer Sekante==
[[Datei:Sekante Bild.png|rand|459x459px]]
[[Datei:Beispielbild Sekante.png|rand|459x459px]]
<br />{{Box|Aufgabe 2|a) Wie ist eine Sekante,wie Sie sie im obigen Bild sehen können, definiert? <br/>  
<br />{{Box|Aufgabe 2.2|a) Geben Sie die Definition einer Sekante, wie Sie sie im obigen Bild zu sehen ist an. <br/>
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1={{Box|Sekante|Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in (mindestens) zwei Punkten schneidet.|Merksatz}}|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
b) Geben Sie an wie sich die Steigung <math>m</math> einer Sekante der Funktion <math>f</math> durch die Punkte <math>P(x_0|f(x_0))</math> und <math>Q(x|f(x))</math> allgemein berechnen lässt. <br/>
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Differerenzenquotient Hilfe.png|rand|600x600px]]|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|Der Differenzenquotient|Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.
 
Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[x_0;x]</math> definiert, so gibt der Differenzenquotient
 
<math>\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}</math> die Steigung <math>m</math> der Geraden durch die Punkte <math>A=(x_0|f(x_0))</math> und <math>B=(x|f(x))</math> an.
 
Die Differenzen können auch als <math>\Delta{y} </math>und <math>\Delta{x}</math>geschrieben werden. Der griechische Großbuchstabe Delta steht hier als Symbol für die Differenz der x- und y-Werte.  |Merksatz}}|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


b) Berechnen Sie in [[Aufgabe 2 b)|diesem Applet]] die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q. <br/>
c) Berechnen Sie in folgender Graphik die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q. <br/>
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


c) Stellen Sie die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Steigung von Sekanten auf. <br/>
{{Lösung versteckt|1=Graphik {{Lösung versteckt|1=Hilfe|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}|2=Graphik anzeigen|3=Graphik verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Differerenzenquotient Hilfe.png|rand|600x600px]]|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}


==Die Steigung der Tangente==
==Die Steigung der Tangente==
In dieser Aufgabe werden Sie sich die Berechnung der Steigung von Tangenten über den Differenzenquotienten herleiten.
<br />{{Box|Aufgabe 2.3|Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3+x</math>, den festen Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> mit <math>x_0=1</math>und den flexiblen Punkt <math>Q(x|f(x))</math>.  
<br />{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3+x</math>, den festen Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> mit <math>x_0=1</math>und den flexiblen Punkt <math>Q(x|f(x))</math>.  
<br/>
<br/>
a) Nähern Sie den Punkt Q so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P. <br/>
Nähern Sie den Punkt Q in 4 Schritten so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P. <br/>
Tuen Sie dies, indem Sie in 4 Schritten die Größe <math>x-x_0</math> verkleinern.
Halten Sie die Schritte in folgender Tabelle schriftlich fest. Entnehmen Sie die benötigten Werte [[/Aufgabe 3 a)|<u>diesem Applet</u>]].
<br/>
Nutzen Sie hierfür die folgende Tabelle und entnehmen Sie die benötigten Werte dem Applet.
{{Lösung versteckt|[[/Aufgabe 3 a)|Zur Tabelle und zum Applet]] [[Datei: Tabelle Intervallverkleinerung .png|rand|571x571px]]<ggb_applet id="tgks8yyz" width="50%" height="450" border="8888"></ggb_applet>|2=Tabelle und Applet anzeigen|3=Tabelle und Applet verbergen}}
 


{{Lösung versteckt| Text |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}{{Box|Aufgabe 4|Schätzen Sie in folgenden Applets durch Anlegen eines Stifts auf den Bildschirm die Steigung der Tangente im Punkt P.<br/>
}}
Lassen Sie sich dann die Lösung anzeigen.
{| class="wikitable"
|+
Tabelle: Aufgabe 3
!
!<math>x-x_0</math>
!<math>f(x)-f(x_0)</math>
!<math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
|-
|Schritt 1
|
|
|
|-
|Schritt 2
|
|
|
|-
|Schritt 3
|
|
|
|-
|Schritt 4
|
|
|
|}
<br />
{{Box|Aufgabe 2.4|
Beschreiben Sie auf was zu achten ist, wenn mit Hilfe der Steigung der Sekante durch zwei Punkte der Funktion die Steigung der Tangente möglichst genau bestimmen will.
{{Lösung versteckt|Applets|Applets anzeigen|Applets verbergen}}
{{Lösung versteckt|Applets|Applets anzeigen|Applets verbergen}}
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}

Aktuelle Version vom 21. August 2019, 10:17 Uhr

Info
In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als Steigung der Tangente selbst erarbeiten. Tangenten haben Sie bereits in der Sekundarstufe 1 im Zusammenhang mit Kreisen kennengelernt. In diesem Abschnitt wird diese bereits vorhandene Vorstellung auf das analytische erweitert. Als Vorwissen sollten Sie über Kenntnisse von Sekanten, linearer Funktionen und des Differenzenquotienten verfügen. Sollten die Hilfen auf dieser Seite nicht genügen, wird auf die Seite Vorwissen verwiesen.

Tangentensteigung Bild.png

Die Tangente

Aufgabe 2.1

a) In diesem Applet sehen Sie zwei verschiedene Tangenten. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Tangenten

Text zum verstecken

b) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

Text zum Verstecken

c) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

Merksatz


d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist.
Die Tangente als Schmiegegerade
Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet.

e) Treffen Sie eine Aussage über die Steigung der Tangente und die Steigung der Funktion im Berührpunkt mit der Tangente.

Die Steigung einer Sekante

Beispielbild Sekante.png

Aufgabe 2.2

a) Geben Sie die Definition einer Sekante, wie Sie sie im obigen Bild zu sehen ist an.

Sekante
Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in (mindestens) zwei Punkten schneidet.

b) Geben Sie an wie sich die Steigung einer Sekante der Funktion durch die Punkte und allgemein berechnen lässt.

Differerenzenquotient Hilfe.png
Der Differenzenquotient

Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.

Ist eine Funktion auf einem Intervall definiert, so gibt der Differenzenquotient

die Steigung der Geraden durch die Punkte und an.

Die Differenzen können auch als und geschrieben werden. Der griechische Großbuchstabe Delta steht hier als Symbol für die Differenz der x- und y-Werte.

c) Berechnen Sie in folgender Graphik die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q.

Graphik
Hilfe
Text zum Verstecken

Die Steigung der Tangente


Aufgabe 2.3

Wir betrachten die Funktion , den festen Punkt mit und den flexiblen Punkt .
Nähern Sie den Punkt Q in 4 Schritten so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P.
Halten Sie die Schritte in folgender Tabelle schriftlich fest. Entnehmen Sie die benötigten Werte diesem Applet.

Text
Tabelle: Aufgabe 3
Schritt 1
Schritt 2
Schritt 3
Schritt 4


Aufgabe 2.4

Beschreiben Sie auf was zu achten ist, wenn mit Hilfe der Steigung der Sekante durch zwei Punkte der Funktion die Steigung der Tangente möglichst genau bestimmen will.

Applets